離散型隨機(jī)變量的分布列反映了隨機(jī)變量所有可能取值的概率分布的總體情況，課本求離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義公式
就是在概率分布列的基礎(chǔ)上給出的。因此求離散型隨機(jī)變量
的數(shù)學(xué)期望的一般方法是：先求的概率分布列，然后用期望的定義公式進(jìn)行計(jì)算。然而，當(dāng)隨機(jī)變量的取值較多或背景復(fù)雜時(shí)，直接求的分布列往往困難重重或運(yùn)算量較大。若能將背景復(fù)雜的隨機(jī)變量
分解成若干個(gè)背景單一的隨機(jī)變量，即，則可運(yùn)用隨機(jī)變量線性的期望等于隨機(jī)變量期望的線性即公式①來求的期望。
一、兩個(gè)重要分布數(shù)學(xué)期望公式的簡證
二項(xiàng)分布和超幾何分布是兩種重要的常用的概率分布，它們的地位和作用如同等差數(shù)列等比數(shù)列在數(shù)列中的地位和作用一樣，舉足輕重至關(guān)重要。下面給出這兩個(gè)重要分布數(shù)學(xué)期望公式的一個(gè)簡證。
1.二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式
若隨機(jī)變量，則②。
課本是利用組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明的，有一定難度，現(xiàn)用分解的方法給出如下簡證。
證明 令，則，易知服從兩點(diǎn)分布，即，所以，故。
2.超幾何分布的數(shù)學(xué)期望公式
在含有件次品的件產(chǎn)品中，不放回地任取件，其中恰有件次品，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布，則有③。
文[1]、[2]用組合數(shù)性質(zhì)證明了此公式，但過程較復(fù)雜證明難度較大。下面將次品數(shù)分解成每次抽取的次品數(shù)之和，然后用公式①求期望，簡證如下：
證明 令，則，易知服從兩點(diǎn)分布，即，所以，故。
二、運(yùn)用變量分解期望公式簡求數(shù)學(xué)期望舉例
下面通過典型例題說明用隨機(jī)變量分解的期望公式在簡求數(shù)學(xué)期望的作用，讀者可用直接求的分布列然后求期望的方法進(jìn)行解法比較，體會(huì)分解隨機(jī)變量簡求數(shù)學(xué)期望的精妙。先看一個(gè)與錯(cuò)位排列有關(guān)的名題。
例1 設(shè)有標(biāo)號(hào)為的盒子和標(biāo)號(hào)為的個(gè)小球，將這個(gè)小球任意地放入這盒子，每個(gè)盒子放入一個(gè)小球。若號(hào)球放入號(hào)盒子，則稱該球放對(duì)了，否則稱放錯(cuò)了。表示放對(duì)了的球的個(gè)數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望。
文[3]由特例時(shí)發(fā)現(xiàn)，繼續(xù)驗(yàn)證知時(shí)仍然成立，于是猜想對(duì)任意的，恒有（實(shí)際上對(duì)任意的正整數(shù)恒有）。然后通過巧妙的構(gòu)造對(duì)比并結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)給出了證明，證法雖然精彩但很難想到。下面用分解隨機(jī)變量的方法給出簡解如下：
解 令，則，易知服從兩點(diǎn)分布，即，所以，故。
例2（2009年高考重慶卷理科第17題改編）某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲乙兩種大樹各兩株。設(shè)甲乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各株大樹是否成活互不影響。求移栽的4株大樹中成活的株數(shù)的期望。
解 用分別表示甲乙兩種大樹各成活的株數(shù)，則，且，。由公式②得，，再由公式①得，。
例3 某人從地面開始上一百級(jí)臺(tái)階，每步上一級(jí)的概率是，每步上兩級(jí)的概率是，若此人共走了10步，求他共上臺(tái)階級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)期望。
解 用分別表示每步上一級(jí)臺(tái)階和每步上兩級(jí)臺(tái)階的步數(shù)，則，且，。由公式②得，，再由公式①得，。
例4（2009高考全國卷Ⅱ理科第20題改編）某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人?，F(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣）從甲乙兩組中共抽3名工人進(jìn)行技術(shù)考核。
（Ⅰ）求從甲乙兩組中各抽取的人數(shù)；
（Ⅱ）記表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望。
解（Ⅰ）易求得甲組抽2人，乙組抽1人。
（Ⅱ）設(shè)甲組抽出的2人中男工人數(shù)為人，乙組抽出的1人中男工人數(shù)為人，則。由超幾何分布的數(shù)學(xué)期望公式③得，，，
再由公式①得，。
例5 口袋里裝有大小相同的卡片8張，其中三張標(biāo)有數(shù)字1，三張標(biāo)有數(shù)字2，兩張標(biāo)有數(shù)字3。第一次從口袋里任意抽取一張，放回口袋后，第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為，求的數(shù)學(xué)期望。
解 用表示第次取到卡片上的數(shù)字，則，易求得的分布列如表。所以，所以。
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例6（2008年高考湖南卷理科第16題改編）甲乙丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約。乙丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約。設(shè)每人面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響。求簽約人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。
解 設(shè)甲簽約人數(shù)為，乙丙兩人簽約總?cè)藬?shù)
為，則，且易求得的分布列如表所示。
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易求得，，，所以。
例7（2010年高考江蘇卷理科第22題改編）某工廠生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為％，二等品率為％；乙產(chǎn)品的一等品率為％，二等品率為％。生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元。設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨(dú)立，求生產(chǎn)兩件件甲產(chǎn)品和三件乙產(chǎn)品可獲得的利潤萬元的數(shù)學(xué)期望。
解 設(shè)生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品和一件乙產(chǎn)品獲
得的利潤分別為萬元，則。
易求得的分布列如表所示。
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則，。
所以。
綜上所述，將背景復(fù)雜的隨機(jī)變量分解成若干個(gè)背景單一的隨機(jī)變量，即將背景復(fù)雜的隨機(jī)變量用背景單一的若干個(gè)隨機(jī)變量線性表示，然后分別求出各個(gè)單一的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，最后用隨機(jī)變量線性的期望等于隨機(jī)變量期望的線性進(jìn)行求解。這樣通過分解隨機(jī)變量，將混合化為單一，將復(fù)雜化為簡單，將一般化為特殊（二項(xiàng)分布或超幾何分布），從而達(dá)到化難為易以簡馭繁簡化運(yùn)算之功效。
參考文獻(xiàn)：
①陳和平。對(duì)高中新教材（選修2-3）的一個(gè)補(bǔ)充。數(shù)學(xué)通訊，2009（2）下半月。
②蒲云飛。對(duì)高中新教材一個(gè)補(bǔ)充的補(bǔ)充。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2010（1）。
③鮑瑞華。一道概率題的拓展與證明。數(shù)學(xué)通訊，2010（7）上半月。
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