2016-2017學年江西省贛中南五校高三（上）第一次聯(lián)考數(shù)學試卷（特色班）
參考答案與試題解析
一、選擇題：在下列每題所給的ABCD四個選項中，只有一個為符合題意的最佳選項．
1．“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．
【分析】根據(jù)橢圓的性質，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．
【解答】解：若方程+=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓，
則，
即，
解得1＜m＜2，即“1＜m＜2”是“方程+=1表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓”的充要條件，
故選：C
2．復數(shù)z=1+i， 為z 的共軛復數(shù)，則z﹣z﹣1=（ ）
A．﹣2i B．﹣i C．i D．2i
【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算．
【分析】求出復數(shù)z的共軛復數(shù)，代入表達式，求解即可．
【解答】解： =1﹣i，所以=（1+i）（1﹣i）﹣1﹣i﹣1=﹣i
故選B
3．要得到函數(shù)y=cos2x的圖象，只需將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象沿x軸（ ）
A．向左平移個單位 B．向左平移個單位
C．向右平移個單位 D．向右平移個單位
【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．
【分析】把y=sin（2x+）化為cos[2（x﹣）]，故把cos[2（x﹣）]的圖象向左平移個單位，即得函數(shù)y=cos2x的圖象．
【解答】解：y=sin（2x+）=cos[﹣（2x+）]=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）=cos[2（x﹣）]．
故把cos[2（x﹣）]的圖象向左平移個單位，即得函數(shù)y=cos2x的圖象，
故選 A．
4．如圖所示，墻上掛有邊長為a的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是（）
A．1﹣ B．
C．1﹣ D．與a的取值有關
【考點】幾何概型．
【分析】欲求擊中陰影部分的概率，則可先求出擊中陰影部分的概率對應的平面區(qū)域的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式易求解．
【解答】解：利用幾何概型求解，
圖中陰影部分的面積為：
，
則他擊中陰影部分的概率是：
=1﹣，
故選A．
5．某廠節(jié)能降耗技術改造后，在生產過程中記錄了產量x（噸）與相應的生產能耗y（噸）的幾組對應數(shù)據(jù)如右表所示，
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
根據(jù)右表提供的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程為=0.7x+a，那么a的值等于（ ）
A．0.35 B．3.15 C．3.5 D．0.4
【考點】線性回歸方程．
【分析】先計算平均數(shù)，利用線性回歸方程恒過樣本中心點，即可得到結論．
【解答】解：由題意，，
代入線性回歸方程為，可得3.5=0.7×4.5+a，∴a=0.35
故選A．
6．為調查高中三年級男生的身高情況，選取了5000人作為樣本，如圖是此次調查中的某一項流程圖，若輸出的結果是3800，則身高在170cm以下的頻率為（）
A．0.24 B．0.38 C．0.62 D．0.76
【考點】程序框圖．
【分析】本題考查循環(huán)結構，由圖可以得出，此循環(huán)結構的功能是統(tǒng)計出身高不小于170cm的學生人數(shù)，由此即可解出身高在170cm以下的學生人數(shù)，然后求解頻率，選出正確選項．
【解答】解：由圖知輸出的人數(shù)的值是身高不小于170cm的學生人數(shù)，
由于統(tǒng)計總人數(shù)是5000，又輸出的S=3800，
故身高在170cm以下的學生人數(shù)是5000﹣3800．
身高在170cm以下的頻率是： =0.24
故選：A．
7．設x1，x2分別是方程x·2x=1和x·log2x=1的實根，則x1+x2的取值范圍是（）
A．（1，+∞） B．[1，+∞） C．[2，+∞） D．（2，+∞）
【考點】反函數(shù)．
【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性、互為反函數(shù)的性質即可得出．
【解答】解：方程x·2x=1和x·log2x=1變形為：2x=，log2x=．
∵函數(shù)y=2x與y=log2x互為反函數(shù)，
∴，
∴x1+x2=＞2，
∴x1+x2的取值范圍是（2，+∞）．
故選：D．
8．正三棱錐的三視圖如圖所示，則其外接球的體積為（ ）
A．9π B．π C．18π D．6π
【考點】球的體積和表面積；簡單空間圖形的三視圖．
【分析】由題意，正三棱錐的高為2，底面三角形的高為3，設外接球的半徑為R，則R2=（2﹣R）2+（）2，求出R，再求出正三棱錐的外接球的體積．
【解答】解：由題意，正三棱錐的高為2，底面三角形的高為3，
設外接球的半徑為R，則R2=（2﹣R）2+（）2，
∴R=，
∴外接球的體積為=9π，
故選：A．
9．設直線ax+by=1（其中a，b為實數(shù)）與圓x2+y2=1相交于A，B兩點，△AOB是直角三角形（O為坐標原點），則點P（a，b）到點M（0，1）的距離的最大值為$（）
A． +1 B．2 C．2+3 D．﹣1
【考點】直線與圓的位置關系．
【分析】根據(jù)圓的方程找出圓心坐標和半徑，由|OA|=|OB|根據(jù)題意可知△AOB是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理求出|AB|的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得圓心到直線的距離等于|AB|的一半，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，兩者相等即可得到a與b的軌跡方程為一個橢圓，由圖形可知點P（a，b）到焦點（0，1）的距離的最大值．
【解答】解：由圓x2+y2=1，所以圓心（0，0），半徑為1
所以|OA|=|OB|=1，則△AOB是等腰直角三角形，得到|AB|=，
則圓心（0，0）到直線ax+by=1的距離為，
∴2a2+b2=2，即a2+=1．
因此所求距離為橢圓a2+=1上點P（a，b）到焦點（0，1）的距離，
如圖得到其最大值PF=+1
故選A
10．設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且（2b﹣c）cosA=acosC，則角A的大小為（ ）
A． B． C． D．
【考點】正弦定理．
【分析】利用正弦定理、和差公式、三角形內角和定理即可得出．
【解答】解：∵（2b﹣c）cosA=acosC，
∴（2sinB﹣sinC）cosA=sinAcosC，
∴2sinBcosA=（sinCcosA+sinAcosC）=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，∴cosA=，A∈（0，π），
∴A=．
故選：B．
11．橢圓的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，弦AB過F1，若△ABF2的內切圓周長為π，A，B兩點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則|y1﹣y2|值為（）
A． B． C． D．
【考點】橢圓的簡單性質．
【分析】先根據(jù)橢圓方程求得a和c，及左右焦點的坐標，進而根據(jù)三角形內切圓周長求得內切圓半徑，進而根據(jù)△ABF2的面積=△AF1F2的面積+△BF1F2的面積求得△ABF2的面積=3|y2﹣y1|進而根據(jù)內切圓半徑和三角形周長求得其面積，建立等式求得|y2﹣y1|的值．
【解答】解：橢圓：，a=5，b=4，∴c=3，
左、右焦點F1（﹣3，0）、F2（ 3，0），
△ABF2的內切圓周長為π，則內切圓的半徑為r=，
而△ABF2的面積=△AF1F2的面積+△BF1F2的面積=×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|=×（|y1|+|y2|）×|F1F2|=3|y2﹣y1|（A、B在x軸的上下兩側）
又△ABF2的面積=×|r（|AB|+|BF2|+|F2A|）=×（2a+2a）=a=5．
所以 3|y2﹣y1|=5，
|y2﹣y1|=．
故選A．
12．函數(shù)f（x）=x3+x，x∈R，當時，f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）
A．（0，1） B．（﹣∞，0） C． D．（﹣∞，1）
【考點】函數(shù)恒成立問題；函數(shù)奇偶性的性質；奇偶性與單調性的綜合．
【分析】由f（x）=x3+x，可知f（x）為奇函數(shù)，增函數(shù)，得出msinθ＞m﹣1，根據(jù)sinθ∈[0，1]，即可求解．
【解答】解：由f（x）=x3+x，∴f（x）為奇函數(shù)，增函數(shù)，∴f（msinθ）+f（1﹣m）＞0恒成立，
即f（msinθ）＞f（m﹣1），
∴msinθ＞m﹣1，當時，sinθ∈[0，1]，
∴，解得m＜1，
故實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，1），
故選D．
二、填空題：每題5分，共20分．
13．已知x、y為正實數(shù)，則+的最小值為 ．
【考點】基本不等式．
【分析】x、y為正實數(shù)，則+=+，令=t＞0，可得+=+t=+﹣，利用基本不等式的性質即可得出．
【解答】解：∵x、y為正實數(shù)，則+=+，
令=t＞0，∴+=+t=+﹣≥﹣=，
當且僅當t=時取等號．
∴+的最小值為．
故答案為：．
14．已知雙曲線的漸近線與圓x2+（y+2）2=1沒有公共點，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（1，2） ．
【考點】雙曲線的簡單性質．
【分析】先根據(jù)雙曲線方程求得雙曲線的漸近線，進而利用圓心到漸近線的距離大于半徑，求得a和b的關系，進而利用c2=a2+b2求得a和c的關系，則雙曲線的離心率可求．
【解答】解：∵雙曲線漸近線為bx±ay=0，與圓x2+（y+2）2=1沒有公共點，
∴圓心到漸近線的距離大于半徑，即＞1
∴3a2＞b2，
∴a2＜c2=a2+b2＜4a2，
由e=，
∴1＜e＜2
故答案為：（1，2）
15．設（ax+3）（x2﹣b）≤0對任意x∈[0，+∞）恒成立，其中a、b是整數(shù)，則a+b的取值的集合為{8，﹣2} ．
【考點】函數(shù)恒成立問題．
【分析】利用換元法設f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，根據(jù)一元一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的圖象和性質進行判斷求解即可．
【解答】解：∵（ax+3）（x2﹣b）≤0對任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴當x=0時，不等式等價為﹣3b≤0，即b≥0，
當x→+∞時，x2﹣b＞0，此時ax+3＜0，則a＜0，
設f（x）=ax+3，g（x）=x2﹣b，
若b=0，則g（x）=x2＞0，
函數(shù)f（x）=ax+3的零點為x=﹣，則函數(shù)f（x）在（0，﹣）上f（x）＞0，此時不滿足條件．
若a=0，則f（x）=3＞0，而此時x→+∞時，g（x）＞0不滿足條件．
故b＞0，
∵函數(shù)f（x）在（0，﹣）上f（x）＞0，則（﹣，+∞））上f（x）＜0，
而g（x）在（0，+∞）上的零點為x=，且g（x）在（0，，）上g（x）＜0，則（，+∞））上g（x）＞0，
∴要使（ax+3）（x2﹣b）≤0對任意x∈[0，+∞）恒成立，
則函數(shù)f（x）與g（x）的零點相同，即﹣=，
∵a，b，是整數(shù)，
∴﹣a是3的約數(shù)，即﹣a=1，或﹣a=3，
即a=﹣1，或a=﹣3，
當a=﹣1時，3=，即b=9，
當a=﹣3時，1=，即b=1，
即a+b=﹣1+9=8或a+b=﹣3+1=﹣2，
即a+b的取值的集合為{8，﹣2}，
故答案為：{8，﹣2}．
16．已知點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x﹣3y+1=0的兩側，則下列說法正確的是 ③④ ．
①2a﹣3b+1＞0；
②a≠0時，有最小值，無最大值；
③?M∈R+，使＞M恒成立；
④當a＞0且a≠1，b＞0時，則的取值范圍為（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．
【考點】簡單線性規(guī)劃；不等式．
【分析】由已知點P（a，b）與點Q（1，0）在直線2x﹣3y+1=0的兩側可得2a﹣3b+1＜0，結合不等式的性質可得當a＞0時，＞+，從而對①②作出判斷；對于③，是看有沒有極小值，據(jù)的幾何即可得出；對于④，利用式子蘊含的斜率的幾何意義即可解決．
【解答】解：由已知（2a﹣3b+1）（2﹣0+1）＜0，
即2a﹣3b+1＜0，∴①錯；
當a＞0時，由3b＞2a+1，
可得＞+，
∴不存在最小值，∴②錯；
表示為（a，b）與（0，0）兩點間的距離，由線性規(guī)劃知識可得：
＞=恒成立，
∴③正確；
表示為（a，b）和（1，0）兩點的斜率．
∵表示點（a，b）與點（1，0）連線的]斜率，由線性規(guī)劃知識可知④正確．
故答案是：③④．
三、綜合題
17．已知向量=（1+sin2x，sinx﹣cosx），=（1，sinx+cosx），函數(shù)f（x）=·．
（1）求f（x）的最大值及相應的x的值；
（2）若f（θ）=，求cos2（﹣2θ）的值．
【考點】三角函數(shù)的最值；平面向量數(shù)量積的運算；三角函數(shù)的化簡求值．
【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積的運算法則可求得函數(shù)f（x）的解析式，進而利用二倍角公式和兩角和公式化簡整理利用正弦函數(shù)的性質求得函數(shù)的最大值和相應的x的值．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式和求得兩邊平方利用同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角公式求得sin4θ的值，最后利用誘導公式，把sin4θ的值代入即可．
【解答】解：（1）因為，，
所以f（x）=1+sin2x+sin2x﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=
因此，當，即（k∈Z）時，f（x）取得最大值；
（2）由f（θ）=1+sin2θ﹣cos2θ及得，
兩邊平方得，即．
因此，．
18．某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量的分組區(qū)間為根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505克的產品數(shù)量．
（2）在上述抽取的40件產品中任取2件，設Y為重量超過505克的產品數(shù)量，求Y的分布列．
（3）從流水線上任取5件產品，求恰有2件產品合格的重量超過505克的概率．
【考點】頻率分布直方圖；組合及組合數(shù)公式．
【分析】（1）重量超過505克的產品結合頻率分布直方圖可知有兩個部分，求出兩矩形的面積，根據(jù)重量超過505克的產品數(shù)量等于該頻率乘以樣本容量即可；
（2）Y的所有可能取值為0，1，2，然后利用組合數(shù)分別求出它們的概率，列出分布列即可；
（3）從流水線上任取5件產品，恰有2件產品合格的重量超過505克，則有兩件合格，有三件不合格，利用組合數(shù)計算出概率即可．
【解答】解：（1）重量超過505克的產品數(shù)量是40×（0.05×5+0.01×5）=12件；
（2）Y的所有可能取值為0，1，2；
，，，
Y的分布列為
Y | 0 | 1 | 2 |
P |
|
|
|
（3）從流水線上任取5件產品，重量超過505克的概率為=，
重量不超過505克的概為1﹣=；
恰有2件產品合格的重量超過505克的概率為·．
19．廣場舞是現(xiàn)代城市群眾文化、娛樂發(fā)展的產物，其兼具文化性和社會性，是精神文明建設成果的一個重要指標和象征．2015年某高校社會實踐小組對某小區(qū)廣場舞的開展狀況進行了年齡的調查，隨機抽取了40名廣場舞者進行調查，將他們年齡分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如圖的頻率分布直方圖．問：
（1）估計在40名廣場舞者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)；
（2）求40名廣場舞者年齡的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值；
（3）若從年齡在[20，40）中的廣場舞者中任取2名，求這兩名廣場舞者中年齡在[30，40）恰有1人的概率．
【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．
【分析】（1）先求出40名廣場舞者中年齡分布在[40，70）的頻率，由此能估計在40名廣場舞者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)．
（2）利用頻率分布直方圖，能估計40名廣場舞者年齡的眾數(shù)和中位數(shù)．
（3）年齡在[20，40）中的廣場舞者共10人，其中[30，40）區(qū)間內有4人，由此能求出從年齡在[20，40）中的廣場舞者中任取2名，這兩名廣場舞者中年齡在[30，40）恰有1人的概率．
【解答】解：（1）40名廣場舞者中年齡分布在[40，70）的頻率為：
（0.020+0.030+0.025）×10=0.75，
∴估計在40名廣場舞者中年齡分布在[40，70）的人數(shù)為：
0.75×40=30．
（2）頻率分布直方圖中小矩形最高的是區(qū)間[50，60），
∴40名廣場舞者年齡的眾數(shù)的估計值為55．
∵[20，50）區(qū)間人的頻率為（0.005+0.010+0.020）×10=0.35，
∴40名廣場舞者年齡的中位數(shù)的估計值為：
50+=55．
（3）年齡在[20，40）中的廣場舞者共（0.005+0.010）×10×40=6人，
其中[30，40）區(qū)間內有0.010×40×10=4人，
∴從年齡在[20，40）中的廣場舞者中任取2名，這兩名廣場舞者中年齡在[30，40）恰有1人的概率：
P==．
20．如圖在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，設E、F分別為PC、BD的中點．
（Ⅰ） 求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求證：面PAB⊥平面PDC；
（Ⅲ） 求二面角B﹣PD﹣C的正切值．
【考點】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）利用線面平行的判定定理：連接AC，只需證明EF∥PA，利用中位線定理即可得證；
（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理：只需證明PA⊥面PDC，進而轉化為證明PA⊥PD，PA⊥DC，易證三角形PAD為等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性質及正方形ABCD的性質可證CD⊥面PAD，得CD⊥PA；
（Ⅲ）設PD的中點為M，連結EM，MF，則EM⊥PD，由（Ⅱ）可證PD⊥平面EFM，則∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，通過解Rt△FEM可得所求二面角的正切值；
【解答】（Ⅰ）證明：ABCD為平行四邊形，
連結AC∩BD=F，F(xiàn)為AC中點，E為PC中點，
∴在△CPA中EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）證明：因為面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD為正方形，
∴CD⊥AD，CD?平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，
又，
所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD，
CD∩PD=D，且CD、PD?面ABCD，PA⊥面PDC，
又PA?面PAB，
∴面PAB⊥面PDC；
（Ⅲ）解：設PD的中點為M，連結EM，MF，則EM⊥PD，
由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，
Rt△FEM中，，，，
故所求二面角的正切值為；
21．已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，短軸兩個端點為A、B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．證明：為定值．
（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．
【考點】橢圓的標準方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．
【分析】（1）由題意知a=2，b=c，b2=2，由此可知橢圓方程為．
（2）設M（2，y0），P（x1，y1），，直線CM：，代入橢圓方程x2+2y2=4，得，然后利用根與系數(shù)的關系能夠推導出為定值．
（3）設存在Q（m，0）滿足條件，則MQ⊥DP．，再由，由此可知存在Q（0，0）滿足條件．
【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2；
∴橢圓方程為
（2）C（﹣2，0），D（2，0），設M（2，y0），P（x1，y1），
直線CM：，代入橢圓方程x2+2y2=4，
得
∵x1=﹣，∴，∴，∴
∴（定值）
（3）設存在Q（m，0）滿足條件，則MQ⊥DP
則由，從而得m=0
∴存在Q（0，0）滿足條件
22．已知函數(shù)f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．
（1）討論函數(shù)h（x）=的單調性；
（2）如果對任意的s，t∈[，2]，都有f（s）≥g（t）成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．
【分析】（1）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，即可討論函數(shù)h（x）=的單調性；
（2）求出g（x）max=g（2）=1，當x∈[，2]時，f（x）=+xlnx恒成立，等價于a≥x﹣x2lnx恒成立，然后利用導數(shù)求函數(shù)u（x）=x﹣x2lnx在區(qū)間[，2]上取得最大值，則實數(shù)a的取值范圍可求．
【解答】解：（1）h（x）==+lnx，h′（x）=，
①a≤0，h′（x）≥0，函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調遞增
②a＞0時，h'（x）＞0，則x∈（，+∞），函數(shù)h（x）的單調遞增區(qū)間為（，+∞），
h'（x）＜0，則x∈（0，），函數(shù)h（x）的單調遞減區(qū)間為（0，），．
（2）g（x）=x3﹣x2﹣3，g′（x）=3x（x﹣），
x |
|
|
|
| 2 |
g′（x） | 0 | ﹣ | 0 | + | |
g（x） | ﹣3 | 遞減 | 極小值 | 遞增 | 1 |
由上表可知，g（x）在x=2處取得最大值，即g（x）max=g（2）=1
所以當x∈[，2]時，f（x）=+xlnx≥1恒成立，等價于a≥x﹣x2lnx恒成立，
記u（x）=x﹣x2lnx，所以a≥u（x）max，u′（x）=1﹣x﹣2xlnx，可知u′（1）=0，
當x∈（，1）時，1﹣x＞0，2xlnx＜0，則u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（，2）上單調遞增；
當x∈（1，2）時，1﹣x＜0，2xlnx＞0，則u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上單調遞減；
故當x=1時，函數(shù)u（x）在區(qū)間[，2]，上取得最大值u（1）=1，
所以a≥1，故實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）．
[選修4-1：幾何證明選講]
23．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點E．
（Ⅰ）若D為AC的中點，證明：DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大?。?/p>
【考點】圓的切線的判定定理的證明．
【分析】（Ⅰ）連接AE和OE，由三角形和圓的知識易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）設CE=1，AE=x，由射影定理可得關于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．
【解答】解：（Ⅰ）連接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
連接OE，則∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）設CE=1，AE=x，
由已知得AB=2，BE=，
由射影定理可得AE2=CE·BE，
∴x2=，即x4+x2﹣12=0，
解方程可得x=
∴∠ACB=60°
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程選講]
24．在極坐標系中，P為曲線C1：p=2cosθ上的任意一點，點Q在射線OP上，且滿足|OP|·|OQ|=6，記Q點的軌跡為C2．
（Ⅰ）求曲線C2的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l：θ=分別交C1與C2于點A、B兩點，求|AB|．
【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）由已知得Q（ρ，θ），P（ρ′，α），由|OP|·|OQ|=6，得2ρcosθ=1，由此能求出曲線C2的直角坐標方程．
（Ⅱ）求出曲線C1：x2+y2﹣2x=0，曲線C2：x=3，直線l：y=，由此能求出|AB|．
【解答】解：（Ⅰ）∵P為曲線C1：ρ=2cosθ上的任意一點，點Q在射線OP上，
∴Q（ρ，θ），P（ρ′，α），
∵滿足|OP|·|OQ|=6，∴ρ·ρ′=6，
∵M是C1上任意一點，∴ρ2sinθ=3，即ρ1=3sinθ．
∴曲線C2的極坐標方程為ρ=3sinθ，
∴x=3．
即曲線C2的直角坐標方程x=3．
（Ⅱ）曲線C1：p=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，
∴曲線C1：x2+y2﹣2x=0，是以（1，0）為圓心，以=1為半徑的圓，
曲線C2：x=3，
直線l：θ=，即y=，
取立，得，
聯(lián)立，得，
∵直線l：θ=分別交C1與C2于點A、B兩點，
∴|AB|==5．
[選修4-5：不等式選講]
25．設函數(shù)f（x）=|x﹣a|．
（1）當a=2時，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；
（2）若f（x）≤1的解集為[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求證：m+4n≥2+3．
【考點】分段函數(shù)的應用；基本不等式．
【分析】（1）利用絕對值的應用表示成分段函數(shù)形式，解不等式即可．
（2）根據(jù)不等式的解集求出a=1，利用1的代換結合基本不等式進行證明即可．
【解答】解：（1）當a=2時，f（x）=|x﹣2|，
則不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等價為|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，
即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，
當x≥2時，不等式等價為x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此時x≥5；
當1＜x＜2時，不等式等價為2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此時不等式不成立，此時無解，
當x≤1時，不等式等價為﹣x+2﹣x+1≥7，則2x≤﹣4，得x≤﹣2，此時x≤﹣2，
綜上不等式的解為x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集為（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．
（2）若f（x）≤1的解集為[0，2]，
由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．
即得a=1，
即+=a=1，（m＞0，n＞0），
則m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．
當且僅當=，即m2=8n2時取等號，
故m+4n≥2+3成立．
2016年10月27日
