傳聞這世間存在一只妖，它神通廣大，善推演，無所不知。
只要它愿意動動手指，記錄下某一刻宇宙中每個原子確切的位置和動量，就能根據(jù)牛頓定律，瞬間算出宇宙的過去與未來。這就是大名鼎鼎的拉普拉斯妖。
這只妖是宏觀經(jīng)典力學的守護者，也是牛頓理論的信仰者，對于它來說，過去和未來盡在它的掌控之中，沒有什么是不確定的，一切都可以通過現(xiàn)在的狀態(tài)計算得知。
然而，這樣一只科學神獸，很快就被熱力學和量子力學聯(lián)合“掐死”在威斯特敏斯特大教堂牛頓的墳墓前，而主刀的劊子手有個美麗的名字，叫作蝴蝶效應。
蝴蝶效應
差之毫厘，謬以千里
根據(jù)經(jīng)典力學，我們能精確地預言哈雷彗星每 76 年回歸地球一次，那么，對于未來的天氣預報，我們是否也能精準預測呢？
1961 年之前，美國氣象學家洛倫茲認為自己一定能找到一個精準預測天氣變化的數(shù)學模型。為此，他每日都待在計算機房里，用那臺占滿整間實驗室的龐然大物，模擬著影響氣象的大氣流。這一過程耗時數(shù)月，并且順利輸出了一系列數(shù)據(jù)，但為了確認計算結果的精準，洛倫茲決定再算一遍。不過這次他在計算過程中偷了個小懶，在輸入中間一個數(shù)據(jù)時，將原來的 0.506127 省略為 0.506。
沒想到這初始值的微小差別，最終卻使計算結果千差萬別，如圖19-1 所示。
圖 19-1 洛倫茲的兩次計算結果
實線和虛線分別代表了洛倫茲的兩次計算過程，如果初始值稍稍變化，結果就會大相徑庭。一個晴空萬里，一個電閃雷鳴，那這樣的預報還有實際意義嗎？對此，洛倫茲感到挫敗不已。畢竟根據(jù)經(jīng)典理論，初始值偏離一點點，結果也只會偏離一點點。由此，科學家才可以提前相當長的時間預測極復雜的系統(tǒng)的行為。這一點，是拉普拉斯妖決定論的理論基礎，也是洛倫茲夢想進行長期天氣預報的根據(jù)。
為了走出困境，洛倫茲決定深入研究他的微分方程組解的穩(wěn)定性，也正是這個方程組，在后來成了歷史上第一次讓科學家從中認識到混沌可能性的動態(tài)體系：
這是一個不能用解析方法求解的非線性方程組，是洛倫茲以其非凡的抽象能力，將氣象預報模型里的上百個參數(shù)和方程簡化成一個僅有三個變量和時間的系數(shù)的微分方程組。
方程組中的 x、y、z 并非運動粒子在三維空間的坐標，而是三個變量。這三個變量由氣象預報中的諸多物理量，如流速、溫度、壓力等簡化而來。其中，μ 在流體力學中稱為瑞利數(shù) 1，與流體的浮力及黏度等性質有關。當 μ=28 時，利用計算機對變量 x、y、z 進行反復迭代，模擬出來的三維圖形就宛若一只展翅欲飛的蝴蝶，如圖 19-2所示，這便是蝴蝶效應的由來。
為什么模擬系統(tǒng)最終會出現(xiàn)這樣一幅奇妙而復雜的“洛倫茲吸引子 ”圖？正常來說，大部分系統(tǒng)的“最后歸屬”，即吸引子的形狀，可歸納為如圖 19-3 所示的三種經(jīng)典吸引子。
圖 19-2 洛倫茲方程組三維模擬圖
例如，任何一個鐘擺，如果不給它不斷地補充能量，最終都會由于摩擦和阻力而停止下來。也就是說，鐘擺系統(tǒng)的最后狀態(tài)會是相空間中的一個點。
圖 19-3 洛倫茲吸引子
有趣的是，洛倫茲系統(tǒng)的吸引子卻無法歸類到任何一種經(jīng)典吸引子，只能被稱為奇異吸引子 。經(jīng)典吸引子對初始值都是穩(wěn)定的，奇異吸引子表現(xiàn)出對初始值的敏感性，即初始狀態(tài)接近的軌跡之間的距離隨著時間的增長而指數(shù)增長。
看著這個圖形，洛倫茲愈發(fā)覺得這個系統(tǒng)的長期行為十分有趣。
在這個三維空間的雙重繞圖里，軌線看起來是在繞著兩個中心點轉圈，但又不是真正在轉圈，因為它們雖然被限制在兩翼邊界之內，但決不與自身相交。這意味著系統(tǒng)的狀態(tài)永不重復，是非周期性的。也就是說，這個具有確定系數(shù)、確定方程、確定初始值的系統(tǒng)的解，其外表呈現(xiàn)出規(guī)則而有序的兩翼蝴蝶形態(tài)，內在卻包含了隨機而無序的混沌過程的復雜結構。
當時，史上最偉大的氣象員洛倫茲準確地將此現(xiàn)象表述為“確定性非周期流”，并由此斷言：準確地做出長期天氣預報是不可能的。因為氣象預報的初始條件是由極不穩(wěn)定的環(huán)球的大氣流所決定的，這個初始條件的任何細微變化，都可能導致預報結果千差萬別。
1963 年，這篇論文被發(fā)表在《大氣科學》雜志上，洛倫茲形象地將這個結論稱為蝴蝶效應：一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可以在兩周以后引起美國得克薩斯州的一場龍卷風。
蝴蝶扇動翅膀卻可以促使空氣系統(tǒng)發(fā)生變化，并產(chǎn)生微弱的氣流運動。而微弱氣流的產(chǎn)生又會引起四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應的變化，由此引起一系列微妙連鎖反應，最終導致系統(tǒng)的變化。
混沌的一個重要特征：系統(tǒng)的長期行為對初始條件的敏感依賴性，初值的微小差別會導致未來的混沌軌道的巨大差別。正如中國古人的智慧所言：“失之毫厘，謬以千里?！?/span>
此后，洛倫茲也因此被譽為“混沌理論之父”。
海岸線究竟有多長？
找到一種描述不規(guī)則世界的法則
云朵不是球形的，山巒不是錐形的，海岸線不是圓形的，樹皮不是光滑的，閃電也不是一條直線。
組成這個世界的大多數(shù)事物都是混沌的，紛繁而復雜，其整體或局部特征不是簡單地用傳統(tǒng)的歐式幾何語言就可以表述的，處處顯現(xiàn)著不可預測性。
當你到海邊游玩時，你可曾想過是否能測出海岸線的長度？其實，你永遠測不出它的長度。盡管維基百科告訴你：“中國有32000km 長的海岸線。”但從物理的角度來看，海岸線實際是不可測量的，最多只能說：中國海岸線“輪廓”的長度是多少千米。1940年，英國政府就曾試圖對自己國土的海岸線長度進行測量，結果發(fā)現(xiàn)使用的度量尺寸越精確，得出的數(shù)據(jù)就越長，最后導致最新數(shù)據(jù)總與已有的任何數(shù)據(jù)差別很大。
所以，我們究竟要怎樣去描述海岸線及這個世界的不規(guī)則？這個問題過去了很久都沒有得到解決。
直到 1967 年，本華·曼德勃羅找到了混沌背后的法則 —— 分形。
在美國權威雜志《科學》上，本華·曼德勃羅發(fā)表了一篇題為“英國的海岸線到底有多長”的劃時代論文，該文標志著分形萌芽的出現(xiàn)，證明了在一定意義上任何海岸線都是無限長的，因為海灣和半島會顯露出越來越小的子海灣和子半島，如圖 19-4 所示。
圖 19-4 曼德勃羅“海岸線分形”示意圖
曼德勃羅將這種部分與整體的某種相似稱為自相似性，它是一種特殊的跨越不同尺度的對稱性，意味著圖案之中遞歸地套著圖案。
事實上，具有自相似性的現(xiàn)象廣泛存在于自然界中，這些現(xiàn)象包括連綿起伏的山川，自由飄浮的云彩，以及花菜、樹冠，甚至人體的大腦皮層和各種器官。
這種現(xiàn)象最終被曼德勃羅抽象為分形，從而建立起了有關斑痕、麻點、破碎、纏繞、扭曲的幾何學。這種幾何學的維數(shù)可以不是整數(shù)，如英國的海岸線是 1.25 維的分形，眾多山川地形的表面是 2.2 維的分形，洛倫茲吸引子的分形維數(shù)則在 2.06 左右。
更有意思的是，曼德勃羅發(fā)現(xiàn)從數(shù)學上來看，分形大多數(shù)是用非線性迭代法產(chǎn)生的，可由一個簡單的非線性迭代公式描述：Z(n+1)=Z(n)^2+C。
式中，Z(n+1) 和 Z(n) 都是復變量 ，而 C 是復參數(shù)。對于某些參數(shù)值 C，迭代會在復平面上的某幾點之間循環(huán)反復；而對另一些參數(shù)值 C，迭代結果卻毫無規(guī)則可言。前一種參數(shù)值稱為吸引子，后一種所對應的現(xiàn)象稱為混沌，而所有吸引子構成的復平面子集則稱為曼德勃羅集，如圖 19-5 所示。
圖 19-5 曼德勃羅集
由此，曼德勃羅曾經(jīng)留下了迄今為止最奇異、魔幻的幾何圖形 —— 曼德勃羅集，史稱“上帝的指紋”和“魔鬼的聚合物”。
透過它，人們驚嘆地發(fā)現(xiàn)許多復雜瑰麗的圖形背后原來都是由這么一個簡單的圖形所構成，都可由這么一個簡單的非線性迭代公式來描述。
而混沌也并非純粹的無序，其所呈現(xiàn)的無規(guī)行為或無秩序只是一種表面現(xiàn)象，若是深入它的內心，就能發(fā)現(xiàn)其深刻的規(guī)律性 —— 分形。
混沌的兩面性
有序與無序的統(tǒng)一
我們把混沌和分形各自分開來看，前者儼如魔鬼，阻撓著人們對真理的探索，帶來混亂與挑戰(zhàn)；后者儼然是宇宙中的天使，為萬物奠定秩序和生機。
但實際上，它們密不可分，混沌是時間上的分形，而分形是空間上的混沌。
它們共同組成了我們的混沌世界，體現(xiàn)著這個非線性系統(tǒng)的兩個主要特性：初值敏感性和非規(guī)則的有序性。
南美洲亞馬孫河流域的那只蝴蝶的行為雖然充滿了隨機不確定性，但它的內心同樣遵循著秩序。美妙的洛倫茲吸引子，實際就是一個具有無窮結構的分形，它是混沌和分形的橋梁，提供了混沌從無序邁向有序的鐵證。
所以，自然界實際既有規(guī)律又無規(guī)律，混沌理論神奇地將有序與無序統(tǒng)一在一起，將確定性與隨機性統(tǒng)一在一起，深刻地為我們揭示了這個世界的本質；同時也使科學界長期對立、互不相容的兩大體系 —— 決定論和概率論之間的鴻溝正在逐步消除。
20 世紀 90 年代，混沌理論開始走向應用階段。雖然我們無法對系統(tǒng)的長期行為進行預測，但我們完全可以利用混沌的規(guī)律對系統(tǒng)進行短期的行為預測，這比傳統(tǒng)的統(tǒng)計學方法有效。
如今，不管是在天氣預報、股票市場、語言研究，還是工程技術、生物醫(yī)藥、計算機等領域，我們隨處可見混沌理論的身影。例如，經(jīng)濟學家就建立了各種非線性方程模型來研究經(jīng)濟金融市場的各種運動，其中典型的有證券市場股價指數(shù)、匯率變化等。匯率不是由簡單的確定性過程形成的，經(jīng)濟學家對匯率的不規(guī)則運動建模。經(jīng)濟學離不開各種假設，他們假設匯率以一種線性的方式回應決定性變量（自變量）的變化來建立各種模型進行分析，這是經(jīng)濟金融學中常見的線性回歸分析，也是計量經(jīng)濟學中的主要內容，主流的認識是匯率運動由白噪聲支配，潛在趨勢是存在的，并且是隨機誤差的。
假定一個完全市場化的自由股票市場，它是一個非線性動力學系統(tǒng)，受到多種人為及非人為因素的影響，各因素間存在著大量的非線性相互作用。股市具有自相似性，其混沌系統(tǒng)出在現(xiàn)象、表層、形式上的無序，而在本質、深層、內容上是有序的。通過建立有關股票市場行為的非線性模型，混沌理論為理解股票市場的動態(tài)變化提供了新的方法論指導。
再如，混沌控制的最早成就之一是僅用衛(wèi)星上遺留的極少量肼使一顆“死”衛(wèi)星改變軌道，而與一顆小行星相碰撞。美國國家航空與航天管理局利用蝴蝶效應，“操縱”了這顆衛(wèi)星圍繞月球旋轉五圈，每一圈用射出的少許肼將衛(wèi)星輕推一下，最后實現(xiàn)了碰撞。
結語
世界的本質是混沌的
20 世紀初期，相對論和量子物理的發(fā)展打亂了經(jīng)典力學建立的秩序。
相對論挑戰(zhàn)了牛頓的絕對時空觀，量子力學則質疑微觀世界的因果律。
然而，直接挑戰(zhàn)牛頓定律的，還要屬南美洲的這只蝴蝶。
蝴蝶扇一扇翅膀，即刻在科學界刮起了一場颶風。相比起量子力學只揭示了微觀世界的不可預測性，混沌理論在遵循牛頓定律的常規(guī)尺度下，就直指確定論系統(tǒng)本身也普遍具有內在的隨機性。
這使拉普拉斯妖無處遁形，最終只能倉皇逃竄。
混沌理論也由此被譽為 20 世紀自然科學的重要發(fā)現(xiàn)。在此之后，人類進一步觸及了世界的本質 —— 混沌，開始為無常的命運把脈，并且逐步掌握大自然的一把重要密鑰。
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北京大學出版社
《公式之美》
內容簡介
人類發(fā)明數(shù)學公式，來描繪浩瀚宇宙和人生百態(tài)。世界的繁華秀麗，映襯出符號公式的簡潔之美。愛因斯坦的質能方程和楊振寧的規(guī)范場，摸索出宇宙終極游戲的規(guī)則；費馬大定理和歐拉恒等式，揭示出宇宙變化背后的數(shù)學世界；從凱利公式到貝葉斯定理，逐漸完全預測人類行為；蝴蝶效應的洛倫茲方程組和三體問題，則告訴我們數(shù)學的界限。
量子學派傾心打造《公式之美》，包含23個普遍、深刻、實用的公式，書寫天才們探索自然和社會的輝煌歷史。
作者簡介
量子學派：是一個專注于自然科學領域（數(shù)理哲）的教育平臺，其公眾號 “量子學派”發(fā)布的自然科學類文章閱讀量大都是10萬+，全國十大科普教育平臺。平臺推出了一系列深受廣大讀者好評的課程，包括《數(shù)學之美》《邏輯之美》《理性之美》《科學之美》等。
