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2011年高考熱點(diǎn)：數(shù)列問題熱點(diǎn)預(yù)測(cè)

江蘇省

知識(shí)點(diǎn)梳理

１．等差、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式及遞推關(guān)系式

２．判斷或者證明數(shù)列為等差數(shù)列（或等比數(shù)列）數(shù)列的四種常用方法：定義法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和的公式法、等差（或等比）中項(xiàng)法．

３．在等差數(shù)列中，有關(guān) 的最值問題的解決方法：一是用相鄰項(xiàng)異號(hào)法求解；二是用 關(guān)于n的二次函數(shù)，由配方求得最值；特別要注意各項(xiàng)絕對(duì)值的數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值，必須使用轉(zhuǎn)化、化歸的思想方法來解決．

４．數(shù)列求和的常用方法：通過數(shù)列的通項(xiàng)的構(gòu)成可有拆項(xiàng)分組（適用數(shù)列的構(gòu)成是由幾個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差）；裂項(xiàng)相消（“裂”成某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，后疊加）；錯(cuò)位相減（適用于一個(gè)等差數(shù)列的各項(xiàng)與等比數(shù)列的各項(xiàng)的相應(yīng)乘積構(gòu)成的數(shù)列）．

５．注意在數(shù)列中的函數(shù)思想、方程的思想、分類討論的思想方法在數(shù)列綜合題中的應(yīng)用．

一、             高考考點(diǎn)綜述

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的得要內(nèi)容，是高考的熱點(diǎn)，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此高考對(duì)這部分知識(shí)的考查的題型多樣、解答題的難度也較高．縱觀近幾年的高考，關(guān)于數(shù)列的考查主要有以三個(gè)方面的內(nèi)容：一是數(shù)列本身的知識(shí)，主要是等差數(shù)列、等比數(shù)列概念、通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式；二是數(shù)列與其它知識(shí)的交匯如：與函數(shù)、方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)的結(jié)合；三是數(shù)列的應(yīng)用問題，主要是增長率、分期付款等．試題主要體現(xiàn)中低檔題為小題，數(shù)列與幾何、函數(shù)、三角、不等式知識(shí)的結(jié)合為綜合性高難度大的解答題．

二、             例題精析

1．?dāng)?shù)列本身的知識(shí)考查

例1．若等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， ， 則公比           ．

點(diǎn)拔：本題是等比數(shù)列中問題，常用的方法是以 和 為未知數(shù)建立方程，解出 和

解析：2或    Þ  q＝2或

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的填空題與選擇題，常常是考查數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式等，解決問題的方法，基本上是轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再用方程與數(shù)列性質(zhì)來解決，即建立以 和 （或 ）為未知數(shù)建立方程，解出 和 （或 ），問題基本就可以解決了．

2．?dāng)?shù)列與函數(shù)相結(jié)合的考查

例2．已知數(shù)列 滿足 ，且 ．

（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；

（2）數(shù)列 是否存在最大項(xiàng)？若存在最大項(xiàng)，求出該項(xiàng)和相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)；若不存在，說明理由．

點(diǎn)拔：根據(jù)所給的條件， ，從方程的角度來思考，將 當(dāng)成末知數(shù)，則可得到一個(gè)關(guān)于 的一元二次方程，用求根公式可求得．第（2）問建立關(guān)于n的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求得最值．

解析：（1）由 得  

由一元二次方程求根公式得

∵    ∴

（2）由 知數(shù)列 各項(xiàng)滿足函數(shù)

∵     當(dāng) 時(shí)，

∴當(dāng) 時(shí) ，即函數(shù) 在 上為減函數(shù)

即有 ∴數(shù)列 有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)為第一項(xiàng) ．

點(diǎn)評(píng)：本題第（1）問是用方程的思想看待等式 ，則可以用解方程來求解，通常在解等差數(shù)列、等比數(shù)列的問題時(shí)，常常將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于 和d（或q）的方程（組）通過求解方程（組）來解決問題．求數(shù)列中的最值問題一般是建立n的函數(shù)，但要注意n的取值為正自然數(shù)．

3．?dāng)?shù)列與向量相結(jié)合的問題

例3．設(shè) 軸、 軸正方向上的單位向量分別是 、 ，坐標(biāo)平面上點(diǎn) 、 分別滿足下列兩個(gè)條件：① 且 ＝ ＋ ；② 且 ＝ ．

（1）求 及 的坐標(biāo)；

（2）若四邊形 的面積是 ，求 的表達(dá)式；

（3）對(duì)于（2）中的 ，是否存在最小的自然數(shù)M，對(duì)一切 都有 ＜M成立？若存在，求M；若不存在，說明理由．

點(diǎn)拔：本題首先利用有向線段的向量加法寫出向量 及 的坐標(biāo)，（2）問中利用直角坐標(biāo)平面內(nèi)的四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積來求解，（3）問是開放性的問題，常是先假設(shè)存在，然后去尋找或證明．

解：（1） ．

．

（2）

．

（3）

．

∴ ， ， ． ，

  ， ，等等．

即在數(shù)列 中， 是數(shù)列的最大項(xiàng)，所以存在最小的自然數(shù) ，對(duì)一切 ，都有 ＜M成立

點(diǎn)評(píng)：本題是向量與數(shù)列的結(jié)合，其實(shí)這里的向量只是個(gè)“外衣”，是個(gè)載體，利用向量的運(yùn)算，就可以將向量的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列的問題．

4．?dāng)?shù)列與解析幾何結(jié)合問題的考查

 例4．如圖，在直角坐標(biāo)系 中，有一組對(duì)角線長為 的正方形 ，其對(duì)角線 依次放置在 軸上（相鄰頂點(diǎn)重合）. 設(shè) 是首項(xiàng)為 ，公差為 的等差數(shù)列，點(diǎn) 的坐標(biāo)為 .

（2）在（1）的條件下，證明：所有頂點(diǎn) 均落在拋物線 上；

（3）為使所有頂點(diǎn) 均落在拋物線 上，求 與 之間所應(yīng)滿足的關(guān)系式.

點(diǎn)拔：數(shù)列與解析幾何相結(jié)合，常常通過點(diǎn)的坐標(biāo)來聯(lián)系．（1）中要證三點(diǎn)不在同一直線上，只要說明它們的斜率不等就可以了，（2）說明點(diǎn)在曲線上，就是說明點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程．（3）說明所有的點(diǎn)在曲線上，只要說明第n個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程，就可以尋找到關(guān)系式．

解析：（1）由題意可知， ，

     ∴  .                       

     ，

      頂點(diǎn) 不在同一條直線上.                               

    （2）由題意可知，頂點(diǎn) 的橫坐標(biāo) ，

                     頂點(diǎn) 的縱坐標(biāo) .               

       對(duì)任意正整數(shù) ，點(diǎn) 的坐標(biāo)滿足方程 ，

       所有頂點(diǎn) 均落在拋物線 上.  

（3）[解法一] 由題意可知，頂點(diǎn) 的橫、縱坐標(biāo)分別是

    消去 ，可得 .                         

    為使得所有頂點(diǎn) 均落在拋物線 上，則有

      解之，得 .                     

      所應(yīng)滿足的關(guān)系式是： .                           

    [解法二] 點(diǎn) 的坐標(biāo)為

     點(diǎn) 在拋物線 上，

      .                                         

    又點(diǎn) 的坐標(biāo)為  且點(diǎn) 也在拋物線上，

    ，把點(diǎn) 代入拋物線方程，解得 .    

    因此， ，  拋物線方程為 .

    又

     所有頂點(diǎn) 落在拋物線 上.                    

      所應(yīng)滿足的關(guān)系式是： .                           

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于數(shù)列與解析幾何相結(jié)合的問題，這里是正方形的對(duì)角線為數(shù)列的項(xiàng)，通過它得到 的坐標(biāo)作為數(shù)列中的項(xiàng)，將數(shù)列與解析幾何結(jié)合起來．這類題的綜合性和探索性較強(qiáng)，知識(shí)的交匯清新自然且難度較大，能有效地考查深層次的數(shù)學(xué)品質(zhì)和數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)，因而極易在高考中出現(xiàn)。