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“康托爾連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”是世界級(jí)難題，自從希爾伯特將它公布出來的一個(gè)世紀(jì)以來，至今沒有人能夠解決（證明或者否證）。其內(nèi)容為：

偶數(shù)集、自然數(shù)集、有理數(shù)集……等集合的元素個(gè)數(shù)（稱為基數(shù)）是相等的，這個(gè)基數(shù)叫“阿列夫0”；

無(wú)理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、平面點(diǎn)集、空間點(diǎn)集……等集合的基數(shù)也是相等的，這個(gè)基數(shù)叫“阿列夫1”.

也就是說，“阿列夫1”和“阿列夫0”都是“無(wú)窮大”，但這兩個(gè)“無(wú)窮大”卻不相等。

康托爾已經(jīng)證明：阿列夫1=2^(阿列夫0)，即：阿列夫1＞阿列夫0。

“康托爾連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”的內(nèi)容是：是否存在一個(gè)X，使得：阿列夫1＞X＞阿列夫0？

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現(xiàn)在還有一個(gè)類似的問題：

哥德爾不完全性定理說的是，在一個(gè)“足夠豐富的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)”中，一致性和完備性是不能兩全的。并明確指出這個(gè)“足夠豐富的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)”至少包含初等數(shù)論或皮亞諾算術(shù)系統(tǒng)。

可見初等數(shù)論或皮亞諾算術(shù)系統(tǒng)就是滿足哥德爾不完全性定理的最小系統(tǒng)。

而歐氏幾何、非歐幾何、一階命題邏輯、一階謂詞邏輯都曾被證明，既滿足一致性，又滿足完備性。也就是說，它們都不是哥德爾不完全性定理中說的“足夠豐富的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)”，而是“不夠豐富的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)”。

現(xiàn)在的問題是：“足夠豐富的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)”和“不夠豐富的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)”的分界線在那里？

下面提供一些推測(cè)：

不夠豐富的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)有：歐氏幾何、非歐幾何、一階命題邏輯、一階謂詞邏輯……

足夠豐富的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)有：初等數(shù)論、皮亞諾算術(shù)系統(tǒng)、射影幾何、素樸集合論……

不太明確的數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)有：仿射幾何、ZFC公理系統(tǒng)、BNG公理系統(tǒng)……

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希望有興趣的網(wǎng)友修改、補(bǔ)充和完善以上推測(cè)。