小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理
小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)梳理
一、計(jì)算
1． 四則混合運(yùn)算繁分?jǐn)?shù)
⑴ 運(yùn)算順序
⑵ 分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運(yùn)算技巧
一般而言：
① 加減運(yùn)算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；
② 乘除運(yùn)算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。
⑶帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化
⑷繁分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)
2． 簡(jiǎn)便計(jì)算
⑴湊整思想
⑵基準(zhǔn)數(shù)思想
⑶裂項(xiàng)與拆分
⑷提取公因數(shù)
⑸商不變性質(zhì)
⑹改變運(yùn)算順序
① 運(yùn)算定律的綜合運(yùn)用
② 連減的性質(zhì)
③ 連除的性質(zhì)
④ 同級(jí)運(yùn)算移項(xiàng)的性質(zhì)
⑤ 增減括號(hào)的性質(zhì)
⑥ 變式提取公因數(shù)
3．估算
求某式的整數(shù)部分：擴(kuò)縮法
4．比較大小
① 通分
a. 通分母
b. 通分子
②跟“中介”比
③利用倒數(shù)性質(zhì)
5． 定義新運(yùn)算
6． 特殊數(shù)列求和
二、數(shù)論
1． 奇偶性問題
奇＋奇=偶 奇×奇=奇
奇＋偶=奇 奇×偶=偶
偶＋偶=偶 偶×偶=偶
2． 位值原則
3． 數(shù)的整除特征：
2末尾是0、2、4、6、8
3各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)
5末尾是0或5
9各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)
11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)
4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)
8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)
7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差是7（或11或13）的倍數(shù)
4． 整除性質(zhì)
①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。
②如果bc|a，那么b|a，c|a。
③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。
④如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤a個(gè)連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個(gè)數(shù)能被a整除。
5．帶余除法
一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,那么一定有另外兩個(gè)整數(shù)q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r
當(dāng)r=0時(shí)，我們稱a能被b整除。
當(dāng)r≠0時(shí)，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡(jiǎn)稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=q……r, 0≤r＜b
a=b×q+r
6. 唯一分解定理
任何一個(gè)大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即
n= p1 × p2 ×...×pk
7. 約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理
設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1 × p2 ×...×pk 那么：
n的約數(shù)個(gè)數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1 +…p1 ）（1+P2+P2 +…p2 ）…（1+Pk+Pk +…pk ）
8. 同余定理
① 同余定義：若兩個(gè)整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對(duì)于模m同余，用式子表示為a≡b(mod m)
②若兩個(gè)數(shù)a，b除以同一個(gè)數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。
③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)和。
④兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)差。
⑤兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個(gè)數(shù)分別除以m的余數(shù)積。
9．完全平方數(shù)性質(zhì)
①平方差： A -B =（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。
②約數(shù)：約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)的是完全平方數(shù)。
約數(shù)個(gè)數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。
③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。
④平方和。
10．孫子定理（中國(guó)剩余定理）
11．輾轉(zhuǎn)相除法
12．?dāng)?shù)論解題的常用方法：
枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對(duì)、估計(jì)
三、幾何圖形
1． 平面圖形
⑴多邊形的內(nèi)角和
N邊形的內(nèi)角和=(N-2)×180°
⑵等積變形（位移、割補(bǔ)）
① 三角形內(nèi)等底等高的三角形
② 平行線內(nèi)等底等高的三角形
③ 公共部分的傳遞性
④ 極值原理（變與不變）
⑶三角形面積與底的正比關(guān)系
S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4
⑷相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例）
① ; S1︰S2=a2︰A2
②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ; S=（a+b）2
⑸燕尾定理
S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；
S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；
S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；
⑹差不變?cè)?br>
知5-2=3，則圓點(diǎn)比方點(diǎn)多3。
⑺隱含條件的等價(jià)代換
⑻組合圖形的思考方法
①化整為零
②先補(bǔ)后去
③正反結(jié)合
2． 立體圖形
⑴規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式
⑵不規(guī)則立體圖形的表面積
整體觀照法
⑶體積的等積變形
①水中浸放物體：V升水=V物
②測(cè)啤酒瓶容積：V=V空氣+V水
⑷三視圖與展開圖
最短線路與展開圖形狀問題
⑸染色問題
幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長(zhǎng)、頂點(diǎn)、面數(shù)的關(guān)系。
四、典型應(yīng)用題
1． 植樹問題
①開放型與封閉型
②間隔與株數(shù)的關(guān)系
2． 方陣問題
外層邊長(zhǎng)數(shù)-2=內(nèi)層邊長(zhǎng)數(shù)
（外層邊長(zhǎng)數(shù)-1）×4=外周長(zhǎng)數(shù)
外層邊長(zhǎng)數(shù)2-中空邊長(zhǎng)數(shù)2=實(shí)面積數(shù)
3． 列車過橋問題
①車長(zhǎng)+橋長(zhǎng)=速度×時(shí)間
②車長(zhǎng)甲+車長(zhǎng)乙=速度和×相遇時(shí)間
③車長(zhǎng)甲+車長(zhǎng)乙=速度差×追及時(shí)間
列車與人或騎車人或另一列車上的司機(jī)的相遇及追及問題
車長(zhǎng)=速度和×相遇時(shí)間
車長(zhǎng)=速度差×追及時(shí)間
4． 年齡問題
差不變?cè)?br>
5． 雞兔同籠
假設(shè)法的解題思想
6． 牛吃草問題
原有草量=（牛吃速度-草長(zhǎng)速度）×時(shí)間
7． 平均數(shù)問題
8． 盈虧問題
分析差量關(guān)系
9． 和差問題
10．和倍問題
11．差倍問題
12．逆推問題
還原法，從結(jié)果入手
13．代換問題
列表消元法
等價(jià)條件代換
五、行程問題
1． 相遇問題
路程和=速度和×相遇時(shí)間
2． 追及問題
路程差=速度差×追及時(shí)間
3． 流水行船
順?biāo)俣?船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2
水速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2
4． 多次相遇
線型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)×2-1
環(huán)型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)
其中甲共行路程=單在單個(gè)全程所行路程×共行全程數(shù)
5． 環(huán)形跑道
6． 行程問題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用
路程一定，速度和時(shí)間成反比。
速度一定，路程和時(shí)間成正比。
時(shí)間一定，路程和速度成正比。
7． 鐘面上的追及問題。
①時(shí)針和分針成直線；
②時(shí)針和分針成直角。
8．結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問題的一些類型。
9．行程問題時(shí)常運(yùn)用“時(shí)光倒流”和“假定看成”的思考方法。
六、計(jì)數(shù)問題
1． 加法原理：分類枚舉
2． 乘法原理：排列組合
3． 容斥原理：
①總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC
②常用：總數(shù)量=A+B-AB
4．抽屜原理：
至多至少問題
5．握手問題
在圖形計(jì)數(shù)中應(yīng)用廣泛
① 角、線段、三角形，
② 長(zhǎng)方形、梯形、平行四邊形
③ 正方形
七、分?jǐn)?shù)問題
1．量率對(duì)應(yīng)
2．以不變量為“1”
3．利潤(rùn)問題
4．濃度問題
倒三角原理
5． 工程問題
① 合作問題
② 水池進(jìn)出水問題
6． 按比例分配
八、方程解題
1． 等量關(guān)系
① 相關(guān)聯(lián)量的表示法
②解方程技巧
2． 二元一次方程組的求解
代入法、消元法
3． 不定方程的分析求解
以系數(shù)大者為試值角度
4． 不等方程的分析求解
九、找規(guī)律
⑴周期性問題
①年月日、星期幾問題
②余數(shù)的應(yīng)用
⑵數(shù)列問題
①等差數(shù)列
通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)d
求項(xiàng)數(shù)： n=
求和： S=
②等比數(shù)列
求和： S=
③裴波那契數(shù)列
⑶策略問題
①搶報(bào)30
② 放硬幣
⑷最值問題
① 最短線路
a.一個(gè)字符陣組的分線讀法
b.在格子路線上的最短走法數(shù)
② 最優(yōu)化問題
a.統(tǒng)籌方法
b.烙餅問題
十、算式謎
1． 填充型
2． 替代型
3． 填運(yùn)算符號(hào)
4． 橫式變豎式
5． 結(jié)合數(shù)論知識(shí)點(diǎn)
十一、數(shù)陣問題
1． 相等和值問題
2． 數(shù)列分組
⑴知行列數(shù)，求某數(shù)
⑵知某數(shù)，求行列數(shù)
3． 幻方
⑴奇階幻方問題：
楊輝法 羅伯法
⑵偶階幻方問題：
雙偶階：對(duì)稱交換法
單偶階：同心方陣法
十二、 二進(jìn)制
1． 二進(jìn)制計(jì)數(shù)法
① 二進(jìn)制位值原則
② 二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的互相轉(zhuǎn)化
③ 二進(jìn)制的運(yùn)算
2． 其它進(jìn)制（十六進(jìn)制）
十三、一筆畫
1． 一筆畫定理：
⑴一筆畫圖形中只能有0個(gè)或兩個(gè)奇點(diǎn)；
⑵兩個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)必須從一個(gè)奇點(diǎn)進(jìn)，另一個(gè)奇點(diǎn)出；
2． 哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈
3． 多筆畫定理
筆畫數(shù)=
十四、 邏輯推理
1． 等價(jià)條件的轉(zhuǎn)換
2． 列表法
3． 對(duì)陣圖
競(jìng)賽問題，涉及體育比賽常識(shí)
十五、 火柴棒問題
1． 移動(dòng)火柴棒改變圖形個(gè)數(shù)
2． 移動(dòng)火柴棒改變算式，使之成立
十六、 智力問題
1． 突破思維定勢(shì)
2． 某些特殊情境問題
十七、 解題方法
（結(jié)合雜題的處理）
1． 代換法
2． 消元法
3． 倒推法
4． 假設(shè)法
5． 反證法
6． 極值法
7． 設(shè)數(shù)法
8． 整體法
9． 畫圖法
10．列表法
11．排除法
12．染色法
13．構(gòu)造法
14．配對(duì)法
15．列方程
⑴方程 ⑵不定方程 ⑶不等方程
伯賀老師 發(fā)表于 2009-5-14 11:08
小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱
小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱
為了科學(xué)合理地開展小學(xué)數(shù)學(xué)的課外活動(dòng),為使學(xué)生更生動(dòng)活潑地全面發(fā)展,擬就幾年來小學(xué)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)的有關(guān)內(nèi)容提出如下小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)教學(xué)大綱草案(討論稿)。
一、計(jì)算題
1、基本題。
2、應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)及定律運(yùn)算的問題。
3、巧算的問題(找規(guī)律、分?jǐn)?shù)問題)。
4、估算。
二、應(yīng)用題
1、平均數(shù)問題。
2、行程問題。
3、工程問題。
4、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。
5、會(huì)用線段、面積等相應(yīng)方法解決應(yīng)用題。
三、整數(shù)的有關(guān)問題
1、整除概念,數(shù)字整除特征。
2、奇偶數(shù)的性質(zhì)。
3、帶余除法與十進(jìn)制表示法。
4、質(zhì)數(shù)與合數(shù),最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。
5、整數(shù)的拆、分。
四、幾何初步知識(shí)
1、幾何的計(jì)數(shù)與計(jì)算問題（數(shù)圖形、求長(zhǎng)度、面積與體積的問題）。
2、幾何形體的分、合、移、補(bǔ)的問題。
3.動(dòng)手、動(dòng)腦、操作、歸納。
五、數(shù)字問題
1、填運(yùn)算符號(hào)、字母等有關(guān)的豎式與模式問題。
2、數(shù)陣圖中找規(guī)律的問題。
3、數(shù)字串問題。
六、有關(guān)專題的內(nèi)容及方法
1、分析推理問題。
2、包含與排除問題。
3、某些有規(guī)律排列的數(shù)求和等問題。
4、數(shù)字游戲（雙人對(duì)等及最好的對(duì)策等問題）。
5、簡(jiǎn)單抽屜原理問題。
6、簡(jiǎn)單的最大、最小的問題。
七、其他
系指較為靈活的、綜合的一些問題,應(yīng)注意到小學(xué)生的知識(shí)和思維特征所能達(dá)到的水平。
