有關(guān)變換
什么是變換？
一般地說(shuō)，所謂變換是指某個(gè)集合中符合一定要求的一種對(duì)應(yīng)規(guī)律。就圖形的變換來(lái)講"因?yàn)閹缀螆D形都是點(diǎn)的集合" 所以圖形變換可以通過(guò)點(diǎn)的變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。如果一個(gè)平面圖形的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)于該平面內(nèi)某個(gè)新圖形的一個(gè)點(diǎn)"且新圖形中的每一個(gè)點(diǎn)只對(duì)應(yīng)于原圖形中的一個(gè)點(diǎn)"這樣的對(duì)應(yīng)就叫做變換。
什么是平移變換，旋轉(zhuǎn)變換和軸對(duì)稱變換？
如果原圖形中任意一個(gè)點(diǎn)到新圖形中相對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，方向相同，長(zhǎng)度相等，這樣的全等變換稱為平移變換，簡(jiǎn)稱平移。也就是說(shuō)，平移的基本特征是：圖形移動(dòng)前后“每一點(diǎn)與它對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的連線互相平行（或者重合），并且相等”。顯然，確定平移變換需要兩個(gè)要素：一是方向，二是距離。
如果新圖形中的每個(gè)點(diǎn)都是由原圖形中的一個(gè)點(diǎn)繞著一個(gè)固定點(diǎn)（叫做旋轉(zhuǎn)中心）轉(zhuǎn)動(dòng)相等角度得到的，這樣的全等變換稱為旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)。也就是說(shuō)，旋轉(zhuǎn)的基本特征是圖形旋轉(zhuǎn)前后，“對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，并且各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角都等于旋轉(zhuǎn)的角度”。顯然，確定旋轉(zhuǎn)變換需要三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角度。
如果連接新圖形與原圖形中每一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段都和同一條直線垂直且被該直線平分，這樣的全等變換稱為軸對(duì)稱變換（或反射變換）。每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)互為對(duì)稱點(diǎn)，垂直平分對(duì)稱點(diǎn)所連線段的直線叫做對(duì)稱軸。也就是說(shuō)軸對(duì)稱的基本特征是：連接任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段都被對(duì)稱軸垂直平分。顯然，確定軸對(duì)稱變換的關(guān)鍵在于找到對(duì)稱軸。
平移變換，旋轉(zhuǎn)變換與軸對(duì)稱變換有什么聯(lián)系？
首先這三種變換都能保持圖形的形狀、大小不發(fā)生變化，這是它們最主要的共同點(diǎn)。其次，如果連續(xù)進(jìn)行兩次軸對(duì)稱變換，在一般情況下：
（1）當(dāng)兩條對(duì)稱軸平行時(shí)，那么這兩次軸對(duì)稱變換的最后結(jié)果相當(dāng)于一次平移變換，平移的方向與對(duì)稱軸垂直， 平移的距離為兩條對(duì)稱軸之間距離的2倍。
（2）當(dāng)兩條對(duì)稱軸相交時(shí)，那么這兩次軸對(duì)稱變換的最后結(jié)果相當(dāng)于一次旋轉(zhuǎn)變換，旋轉(zhuǎn)中心為對(duì)稱軸交點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為兩條對(duì)稱軸夾角的2倍。
此外，上面兩條結(jié)論反過(guò)來(lái)同樣成立。即一次平移變換可以由兩次軸對(duì)稱變換（對(duì)稱軸互相平行)代替，一次旋轉(zhuǎn)變換，也可以由兩次軸對(duì)稱變換（對(duì)稱軸相交）替換。它們的運(yùn)動(dòng)方式不同，但效果相同。
（摘自《“圖形與變換”的備課與教學(xué)》，曹培英，《人民教育》，2006.13-14）
