“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)設(shè)計和意圖
朱樂平
基礎(chǔ)分析
學(xué)生在學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”時，已經(jīng)有的主要基礎(chǔ)是：角的認識，知道了角的各部分名稱和角的表示方法，會用量角器量角;掌握了銳角、直角、鈍角、平角等概念；掌握了角的大小比較的方法，即用重疊的方法和用量角器量角的方法比較大小，已經(jīng)經(jīng)歷了把兩個角撕下來與一個角去重疊進行大小比較的過程。
過程與意圖
根據(jù)學(xué)生已有的基礎(chǔ)，圍繞預(yù)設(shè)的教學(xué)目標，確定這節(jié)課的教學(xué)過程與設(shè)計意圖如下：
一、觀察與猜測
1.教師出示圖1，讓學(xué)生觀察∠1，猜測它的度數(shù)，并度量。
先讓學(xué)生估計∠1的度數(shù)，猜測它是多少度。一般來說，不同的學(xué)生常常會估計出不同的結(jié)果。根據(jù)結(jié)果不同這一情況，要求學(xué)生想辦法進一步說明自己的猜測是否準確，啟發(fā)學(xué)生用量角器進行度量。但度量也可能會有一點誤差，教師不必強求統(tǒng)一。
2.教師延長∠1水平的這條邊，形成圖2，讓學(xué)生觀察圖2中的∠1與∠2，猜測它們和的度數(shù)并度量。
由于已經(jīng)觀察、測量過∠1的度數(shù)，實質(zhì)上這一教學(xué)過程只要觀察與猜測∠2的度數(shù)，再與∠1相加，即可得到結(jié)果。與上一環(huán)節(jié)一樣，學(xué)生會有不同的猜測結(jié)果。教師可以啟發(fā)學(xué)生度量，得到相對比較準確的度數(shù)，但度量也存在一定的誤差。
3.教師在圖2的基礎(chǔ)上形成圖3，讓學(xué)生觀察、猜測∠1+∠2+∠3的和，并度量。
這一環(huán)節(jié)的教學(xué)與上面的過程類似。由于前面在度量∠1. ∠2時，一直有誤差存在，所以，通常是多數(shù)學(xué)生量出的結(jié)果是180°，但也有一小部分學(xué)生度量的結(jié)果在180°左右，如可能是179°，178°，181°或182°等。
【設(shè)計意圖】從學(xué)生觀察、猜側(cè)、度量一個角的大小開始進行教學(xué).起點相對比較低，有利于全體學(xué)生的主動參與從一個角到兩個角的和，再到三個角的和的度量，自然地得出了“角的和”的概念.到三個角時，形成了三角形，為學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角”以及“三角形的內(nèi)角和”的概念莫定了基礎(chǔ)。總體上說，上面的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷了觀察、猜側(cè)、度量的過程，一方面有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和空間想象能力，形成良好的空間知覺，進一步熟練用量角器量角這一技能;另一方面為進一步形成猜想，探索三角形的內(nèi)角和莫定基礎(chǔ)?！?/span>
二、猜想與驗證
1.明確內(nèi)角概念。
教師講述：上面的圖3顯然是一個三角形，∠1、∠2、∠3都在三角形的內(nèi)部，我們稱它們是三角形的三個內(nèi)角。∠1、∠2、∠3這三個內(nèi)角的和就是三角形的內(nèi)角和。這節(jié)課我們要進一步研究的就是：三角形的內(nèi)角和到底是多少度。
2.形成三角形的內(nèi)角和是180°的猜想。
（1）根據(jù)度量形成三角形的內(nèi)角和是180°的猜想。
師生對話：剛才我們?nèi)嗤瑢W(xué)經(jīng)過猜測、度量得出了三角形的內(nèi)角和，多數(shù)是180°，但也有的是比180°小一點或大一點。如果三角形的內(nèi)角和是一個固定的值，我們?nèi)嘁纬梢粋€猜想，那么應(yīng)該猜測三個內(nèi)角的和是多少度呢，啟發(fā)學(xué)生形成猜想：三角形內(nèi)角和是180°。
（2)觀察、思考、想象形成三角形的內(nèi)角和是180°的猜想。
教師用兩條硬紙板做的一個可以活動的角進行演示，讓學(xué)生觀察三角形的三個內(nèi)角變化的情況：
教師把用硬紙板做的這個活動角直立在桌面上，并與桌面形成一個三角形(如圖4)，三個內(nèi)角分別是∠1. ∠2和∠3，教師的手拿在∠3頂點的位置。然后把這個活動角向桌面壓一下，形成一個新的三角形，讓學(xué)生比較∠1.∠2和∠3大小的變化。學(xué)生會發(fā)現(xiàn)!∠1. ∠2在減小，∠3在增大(如圖5)。我們可以假設(shè)∠1.∠2減小的度數(shù)等于∠3增大的度數(shù)，而三角形的三個內(nèi)角的和保持不變。繼續(xù)向桌面壓，再觀察、想象、比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)∠3越來越大，∠I和∠2越來越小。進一步想象，當(dāng)壓到與桌面平(重合)時，乙3是多少度，∠I和∠2呢，學(xué)生可以得出∠3是180°，而∠I和∠2都變成了0°。進而形成猜想!三角形的內(nèi)角和是180°。
3.先獨立思考驗證猜想，然后交流驗證的方法。
先讓每個學(xué)生都獨立思考，想辦法驗證這個猜想的正確性。由于學(xué)生已經(jīng)有角的大小比較的方法，會有一些學(xué)生想到，把一個三角形的三個角撕下來與一個平角去比較(如圖6)。然后在小組中交流，最后在全班交流，使更多的學(xué)生明確這個猜想是正確的。
4.教師介紹用“轉(zhuǎn)動的方法”驗證猜想。
（1)建立“調(diào)頭等于轉(zhuǎn)動了180°的觀念。
先讓學(xué)生看一個事實：如果一支鉛筆的筆頭指向左邊放著，當(dāng)它調(diào)一個頭(即把筆頭向著右邊)時，這支鉛筆轉(zhuǎn)動了180°(如圖7)。教師可以讓學(xué)生轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)。
通過上面的轉(zhuǎn)動，學(xué)生明確了一個事實：“調(diào)頭等于轉(zhuǎn)動了180°。 "(顯然如果轉(zhuǎn)動的角度是180°+n x360°,n為自然數(shù)，也是調(diào)一個頭。但由于學(xué)生沒有學(xué)過大于360°的角，所以，在這里教師不必強調(diào)這一點)
（2)用轉(zhuǎn)動的方法驗證猜想。
教師可以用硬紙板做一個三角形，用一支鉛筆在這個三角形內(nèi)部轉(zhuǎn)動，演示如下：
①先把鉛筆放在與三角形的一條邊平行或重合的位置(如圖8)并向?qū)W生說明，現(xiàn)在鉛筆的筆頭是指向右邊的。如果經(jīng)過幾次轉(zhuǎn)動，使得這支鉛筆的筆頭指向左邊，那么，就說明這支鉛筆轉(zhuǎn)動過的幾個角度的和是180°。
②如圖9那樣轉(zhuǎn)動鉛筆，這時鉛筆從原來位置到現(xiàn)在新的位置轉(zhuǎn)動了一個角度。這個角度具體是多少度不知道，但角的度數(shù)與∠1的度數(shù)相等。
③繼續(xù)轉(zhuǎn)動鉛筆，使得鉛筆轉(zhuǎn)動到如圖10所示的位置。這時新轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)與∠2的度數(shù)相等。這支鉛筆從一開始的位置，轉(zhuǎn)到現(xiàn)在這個位置，一共轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)與∠1+∠2的度數(shù)相等。
④繼續(xù)轉(zhuǎn)動鉛筆，使得鉛筆轉(zhuǎn)動到如圖11所示的位置，這時新轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)與∠3的度數(shù)相等。這支鉛筆一開始的位置，轉(zhuǎn)到現(xiàn)在這個位置一共轉(zhuǎn)過的角的度數(shù)與∠ 1+∠2+∠3的度數(shù)相等。
顯然，這時的鉛筆與開始轉(zhuǎn)動以前比較，正好“調(diào)了個頭”，即由原來筆頭指向右邊，變成了筆頭指向左邊。根據(jù)上面的事實，這支鉛筆正好轉(zhuǎn)過了180°。可見∠1+∠2+∠ 3 =180°，即三角形的內(nèi)角和是180°。
一個三角形如果三個頂點標有字母(如圖12)，則可以把三角形的內(nèi)角和寫成：∠A+∠B+∠ C=180°
〔設(shè)計意圖〕上面的這個環(huán)節(jié)是一個猜想與驗證的過程，只有形成合理的猜想，驗證才有目標。在上述教學(xué)過程中，利用兩種方法讓學(xué)生形成猜想:一是利用度量，二是利用“極限”。由于多數(shù)學(xué)生量出三個內(nèi)角的和是180°，這為形成統(tǒng)一的猜想莫定了基礎(chǔ)。教師再利用活動角進行演示，讓學(xué)生觀察、思考、想象，使學(xué)生更確信這個猜想有其合理性。事實上，只有猜想三個內(nèi)角的和是180°，才可能與平角發(fā)生關(guān)系?？梢娺@里形成統(tǒng)一的猜想十分重要。在上述教學(xué)過程中，之所以通過兩種方法去形成猜想，就是想讓更多的學(xué)生感覺到，三個內(nèi)角的和是180°的可能性很大。另外，觀察活動角的演示過程有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。把“三個角撕下來”拼在一起這個驗證的過程，實質(zhì)上是三個內(nèi)角與一個平角比較大小的過程。由于在“角的大小比較”這一課，學(xué)生學(xué)會了把兩個角撕下來與一個角去比較大小，這樣一種重疊的方法，所以，在這節(jié)課會有很多的學(xué)生想到，把三個角撕下來與一個平角去比較大小。教師再用轉(zhuǎn)動的方法驗證，由于這種方法比較有趣，學(xué)生都十分愿意操作，所以這一過程，一方面有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，另一方面也有利于提高學(xué)生動手操作和空間想象的能力。
三、練習(xí)與應(yīng)用
1.教師引導(dǎo)學(xué)生獨立地根據(jù)∠A+∠B+∠C=180°編題，并解答。
可以先引導(dǎo)學(xué)生編出兩類基本問題：（1)在∠A. ∠B. ∠C這三個角中，已知其中的兩個角的度數(shù)，求第三個角的度數(shù)。（2)在∠A. ∠B.∠C這三個角中，已知其中的一個角的度數(shù)和另一個角與已知角的關(guān)系，求第三個角的度數(shù)。
2.判斷正誤。
在一個三角形ABC中(如圖13)沿著一條高剪開，形成三角形,ABD和三角形ACD。請判斷下面的說法是否正確，并說明為什么。
（1)三角形ABC的內(nèi)角和是180°;
（2)三角形ABD的內(nèi)角和是90°;
（3)三角形ADC的內(nèi)角和是90°。
四、課外作業(yè)
1.基本練習(xí)。(略)
2.拓展應(yīng)用。研究四邊形、五邊形、六邊形的內(nèi)角和分別是多少。進一步探索一般多邊形的內(nèi)角和有什么規(guī)律。(提示：可以用把一個多邊形分成若干個三角形的方法，也可以用轉(zhuǎn)動的方法)
「設(shè)計意圖」讓學(xué)生根據(jù)三角形的內(nèi)角和的公式自己編題，有利于學(xué)生更好地理解和掌握這個公式，進一步明確公式中幾個角之間的關(guān)系。讓學(xué)生判斷正誤，有利于學(xué)生從反例中更好地認識到，任意一個三角形的內(nèi)角和都是180°。課外作業(yè)分為基本練習(xí)與拓展應(yīng)用，對成績一般的學(xué)生來說，只要求做基本練習(xí)，而對數(shù)學(xué)能力比較強的學(xué)生來說，進一步去研究拓展性的問題，能使得他們有更大的發(fā)展這樣的作業(yè)試圖體現(xiàn)“因材施教，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”這樣的教學(xué)理念。〕
（本專輯由杭州現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究中心供稿，文章來源：小學(xué)青年教師 數(shù)學(xué)版2006.3）
