作為20世紀(jì)數(shù)學(xué)理論最重要的成果之一，哥德爾不完備性定理被譽(yù)為“數(shù)學(xué)和邏輯發(fā)展史中的里程碑”[1]。哥德爾定理的提出不僅具有數(shù)學(xué)意義，而且蘊(yùn)含了深刻的哲學(xué)意義。歷史上從來沒有哪一個(gè)數(shù)學(xué)定理能夠如它一樣，對(duì)人類文明產(chǎn)生如此廣泛而深遠(yuǎn)的影響。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，哥德爾思想的深刻性和豐富性，必將在人類理性的發(fā)展過程中不斷突顯出來，并不斷為人的思維所理解。
一
哥德爾不完備性定理是數(shù)理邏輯學(xué)中論述形式公理化系統(tǒng)局限性的兩條重要定理，它由偉大的奧地利數(shù)學(xué)家哥德爾于1931年提出。哥德爾寫道：“眾所周知，數(shù)學(xué)朝著更為精確方向的發(fā)展，已經(jīng)導(dǎo)致大部分?jǐn)?shù)學(xué)分支的形式化，以致人們只用少數(shù)幾個(gè)機(jī)械規(guī)則就能證明任何定理。因此人們可能猜測(cè)這些公理和推理規(guī)則足以決定這些形式系統(tǒng)能加以表達(dá)的任何數(shù)學(xué)問題。下面將證明情況并非如此。”[2]
哥德爾第一條定理指出，若形式系統(tǒng)是相容的，則此系統(tǒng)必定是不完備的。也就是說在系統(tǒng)中的一個(gè)有意義的命題，既不能用系統(tǒng)中的公理和推理規(guī)則加以證明，也不能用系統(tǒng)中的公理和推理規(guī)則加以否證，即成為不可判定的命題。那么有什么命題是不可判定的呢？哥德爾第二條定理說，上述形式系統(tǒng)的相容性就是不可判定的。
以前數(shù)學(xué)家總以為：如果某個(gè)命題是正確的，一定可以用數(shù)學(xué)演繹方法證明其為真；如果某個(gè)數(shù)學(xué)命題是錯(cuò)誤的，也一定又可以用數(shù)學(xué)演繹方法證明其為假。正如法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊所說：“在數(shù)學(xué)中，當(dāng)我擬定了作為約定的定義和公設(shè)以后，一個(gè)定理就只能為真或?yàn)榧佟５?，要回答這個(gè)定理是否為真，就不再需要我們將要求助的感覺證據(jù)，而要求助于推理。”[3]哥德爾不完備性定理的建立一舉粉碎了數(shù)學(xué)家兩千年來的信念。它告訴我們，真與可證是兩個(gè)概念[4]。“可證性”涉及到一個(gè)具有能行性的較為機(jī)械的思維過程；而“真理性”則涉及到一個(gè)能動(dòng)的超窮的思維過程。因此，可證的一定是真的，但真的不一定可證。從這個(gè)意義上說，悖論的陰影將永遠(yuǎn)伴隨著我們。無怪乎著名數(shù)學(xué)家外爾發(fā)出這樣的感嘆：“上帝是存在的，因?yàn)閿?shù)學(xué)無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因?yàn)槲覀儾荒茏C明這種相容性。”[5]266
二
哥德爾的結(jié)論是劃時(shí)代的，著名物理學(xué)家惠勒在1974年發(fā)表的一篇文章中就曾斷言：“即使到了公元5000年，若宇宙仍然存在，知識(shí)也仍然放射出光芒的話，人們就將仍然把哥德爾的工作……看成一切知識(shí)的中心。”[1]哥德爾思想具有潛在的科學(xué)和哲學(xué)價(jià)值，它已經(jīng)被引申到自然科學(xué)乃至人文科學(xué)的各個(gè)角落，對(duì)數(shù)學(xué)、邏輯、語言、人工智能、自然科學(xué)、思維科學(xué)和認(rèn)識(shí)論的研究提供了有益的啟示。
第一，哥德爾不完備性定理深刻地揭示了形式系統(tǒng)的內(nèi)在局限性。這種局限性是由形式系統(tǒng)的本質(zhì)所決定的，是不可克服的。因?yàn)橐粋€(gè)形式體系的無矛盾性在本質(zhì)上是超越這個(gè)形式體系的。它處在一種兩難境地：或者允許在邏輯思維中有矛盾存在，或者承認(rèn)存在著邏輯方法證明不了的本邏輯系統(tǒng)內(nèi)部的問題。因此，那種希望把數(shù)學(xué)搞成一個(gè)形式化系統(tǒng)，希望所有的猜想都能從邏輯出發(fā)加以判定，希望永遠(yuǎn)不發(fā)生“出乎始料”的事，是不可能實(shí)現(xiàn)的。數(shù)學(xué)不等于邏輯，重要的數(shù)學(xué)成果并不總是能從公理直接邏輯地推出，數(shù)學(xué)的神奇之處主要扎根于觀察、直覺和靈感。
事實(shí)上，不論是作為科學(xué)認(rèn)識(shí)前提的公理、假設(shè)，還是在一定前提下的邏輯推理，都有其預(yù)設(shè)的不可證明的信念。人類認(rèn)識(shí)世界總在一定的信念指導(dǎo)下的邏輯展開，并在獲得新知識(shí)的過程中不斷擴(kuò)展著對(duì)世界新的觀念。因此，信念的合理性是相對(duì)的，它要隨著認(rèn)識(shí)的深化而不斷發(fā)展變化。在信念轉(zhuǎn)化為知識(shí)的過程中，真正起作用的是科學(xué)家的非機(jī)械的、非邏輯的智力創(chuàng)造，邏輯的一致性只是一種理想的指向和要求。
第二，哥德爾不完備性定理也進(jìn)一步揭示了人工智能系統(tǒng)的局限性，從本質(zhì)上證明了機(jī)械論、還原論是錯(cuò)誤的。按照他們的觀點(diǎn)，精神活動(dòng)過程同機(jī)器執(zhí)行程序一樣，不過是在從事某種良定義的被稱為“算法”的運(yùn)算過程，而人腦和簡(jiǎn)單的計(jì)算機(jī)的主要差別僅僅在于人腦活動(dòng)具有更大的復(fù)雜性，或者表現(xiàn)為更高級(jí)的結(jié)構(gòu)，人的所有精神品質(zhì)，包括思維、情感、智慧、意識(shí)都不過是大腦執(zhí)行的“算法”特征而已。
但是，人腦終究不能解釋成機(jī)器，計(jì)算機(jī)絕不可能超越人類心智。“因?yàn)?，無論我們構(gòu)造出多么復(fù)雜的機(jī)器，只要它是機(jī)器，就將對(duì)應(yīng)于一個(gè)形式系統(tǒng)，就能找到一個(gè)在該系統(tǒng)內(nèi)不可證的公式而使之受到哥德爾理論的打擊，機(jī)器不能把這個(gè)公式作為定理推導(dǎo)出來，但是人心卻能看出它是真的。因此這臺(tái)機(jī)器不是心的一個(gè)恰當(dāng)模型。我們總想制造心的一種機(jī)械模型，即從本質(zhì)上是‘死’的模型，而心是‘活’的，它總能比任何形式的、僵死的系統(tǒng)干得更好”[6]。這也誠(chéng)如英國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家羅杰·彭羅斯所說，人類判斷數(shù)學(xué)真理的過程是超越任何算法的，因?yàn)?，意識(shí)是我們賴以理解數(shù)學(xué)真理的關(guān)鍵，這種意識(shí)是我們能夠借直覺的洞察力“看出”某些在數(shù)學(xué)形式系統(tǒng)中不能證明的數(shù)學(xué)命題的真理性，而意識(shí)是不能被形式化的，它必定是非算法的。因此，計(jì)算機(jī)不過是強(qiáng)人工智能專家所鐘愛的一副“皇帝新腦”而已[7]。
第三，數(shù)學(xué)是科學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)的不完備性說明科學(xué)結(jié)論也是不完備的。自從近代科學(xué)開始自然的數(shù)學(xué)化努力以來，科學(xué)問題就是被數(shù)學(xué)編碼的問題，科學(xué)結(jié)論就是被數(shù)學(xué)化的結(jié)論。正是由于作為科學(xué)的語言、模式、方法和工具的數(shù)學(xué)本身的不完備性，導(dǎo)致了由它所表述、繪制的科學(xué)結(jié)論的不完備性。
科學(xué)結(jié)論的不完備性具有重大的科學(xué)價(jià)值?？茖W(xué)結(jié)論的不完備性預(yù)示著存在著許多不可解的科學(xué)問題或否定性的科學(xué)結(jié)論，從而產(chǎn)生了一大批限制性成果。如，計(jì)算機(jī)與人工智能之父圖靈證明沒有一個(gè)程序能夠證明檢驗(yàn)任何程序是否將在某個(gè)時(shí)候停止（即停機(jī)問題）。
科學(xué)結(jié)論的不完備性還有著獨(dú)特的哲學(xué)意義。正如我國(guó)著名科學(xué)家郝柏林院士所言，“否定比肯定更具普遍性”[8]。在科學(xué)上，一個(gè)否定性結(jié)論的形成往往標(biāo)志著一個(gè)新科學(xué)方向的產(chǎn)生。認(rèn)識(shí)到絕對(duì)溫度零度不能達(dá)到，恰恰是低溫物理學(xué)的開始；認(rèn)識(shí)到質(zhì)點(diǎn)不能超光速運(yùn)動(dòng)，正好是相對(duì)論的開端；認(rèn)識(shí)到測(cè)不準(zhǔn)原理，恰好是量子力學(xué)的誕生；如今，又是由于不確定性、不可預(yù)測(cè)性現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，一門全新的復(fù)雜性科學(xué)正在蓬勃興起。
第四，哥德爾不完備性定理從科學(xué)的層次上揭示了人類認(rèn)識(shí)的局限性。在回答有關(guān)自然和人類社會(huì)的問題上，許多人似乎從來就沒有經(jīng)過認(rèn)真地思考便不由自主地接受了人的心智或認(rèn)知能力是沒有根本性限制的觀點(diǎn)。但是，自己的創(chuàng)造物正是反觀自己的最好鏡面，數(shù)學(xué)作為人類心智與理性的產(chǎn)物，正好反觀了人類認(rèn)知的局限性或不完備性。形式系統(tǒng)的不完備性必然根源于它的創(chuàng)造者的不完備性。
人類心智與理性的不完備性也是基于人類及其心智和理性均是生物進(jìn)化的產(chǎn)物這一基本認(rèn)識(shí)的必然推斷。只要人們承認(rèn)這一進(jìn)化論的結(jié)論，那么就不難認(rèn)識(shí)到，人類的心智與理性是受制于進(jìn)化水平的。也就是說，人類進(jìn)化到什么程度，其心智與理性便達(dá)到什么水準(zhǔn)，它們是處在一個(gè)不斷進(jìn)化的過程之中的，它們本身就是人類生命的一個(gè)有機(jī)組成部分。這樣一來，任何一個(gè)特定歷史階段，人的心智與理性水準(zhǔn)都是有限的，它不可能窮盡無限，達(dá)到全知。心理與理性的這種有限性或局限性，必然通過自己的不完備的創(chuàng)造物得以顯現(xiàn)。
三
哥德爾定理也同樣震撼到西方以笛卡爾、洛克為代表的基礎(chǔ)主義知識(shí)論傳統(tǒng)。長(zhǎng)期以來，知識(shí)的確定性是人類認(rèn)識(shí)客觀世界所堅(jiān)守的信條。羅素就曾經(jīng)說過：“我像人們需要宗教信仰一樣渴望確定性。”[5]230人們普.遍認(rèn)為，真正的知識(shí)不同于意見或主觀信念，它是絕對(duì)確定的、必然的真理，不容置疑。這一根深蒂固的觀念始于柏拉圖對(duì)知識(shí)的探詢。他認(rèn)為知識(shí)源于獨(dú)立于時(shí)空之外的、不可知覺的理念世界，而在理念世界中的事物是永恒的、確定不變的，因此知識(shí)是確定的、可靠的、真實(shí)的。而意見或信念卻源于可感知的現(xiàn)象世界，現(xiàn)象世界中的事物是短暫的、流變的、不確定的，因此意見或信念是不可靠、不確定的。兩千多年來，人們的認(rèn)識(shí)總是在思維中舍棄對(duì)象世界和自身的不確定性的因素，通過思維中的確定性來建構(gòu)對(duì)象世界的確定性，從而達(dá)到對(duì)對(duì)象世界的確定性認(rèn)識(shí)。
數(shù)學(xué)知識(shí)的確定性、絕對(duì)性和永恒性觀念有著悠久的歷史傳統(tǒng)。歐幾里德幾何學(xué)曾經(jīng)代表了認(rèn)識(shí)追求確定性的不可抗拒的尊嚴(yán)。自古希臘確立理性主義的認(rèn)識(shí)方式以來，認(rèn)識(shí)總是追求具有普遍必然性的確定性知識(shí)。理性主義知識(shí)論者笛卡爾更是將數(shù)學(xué)視為知識(shí)的唯一范式，“因?yàn)樗牧⒆阌诠砩系淖C明是無懈可擊的，而且是任何權(quán)威所不能左右的。數(shù)學(xué)提供了獲得必然結(jié)果以及有效地證明其結(jié)果的方法”[9]6。
知識(shí)的確定性觀念伴隨著數(shù)學(xué)強(qiáng)大無比的對(duì)自然現(xiàn)象的闡釋力被進(jìn)一步強(qiáng)化了。拉普拉斯甚至說，“世界的未來是完全由它的過去決定的，而且只要掌握了這個(gè)世界在任一給定時(shí)刻的狀態(tài)的數(shù)學(xué)信息，就能預(yù)報(bào)未來”[9]230。正是由于先賢建構(gòu)并確立了追求確定性知識(shí)的科學(xué)認(rèn)識(shí)的思維方式并形成傳統(tǒng)，后來的哲學(xué)家總是尋求對(duì)所獲得的科學(xué)知識(shí)進(jìn)行普遍必然性的邏輯辯護(hù)。直到今天，確定性依然是絕大多數(shù)人心目中科學(xué)之為科學(xué)的本質(zhì)特征。這是傳統(tǒng)知識(shí)論的主題，也是科學(xué)哲學(xué)的主題。
但是哥德爾不完備定理說明，不確定性是人類認(rèn)識(shí)的形式邏輯思維本身固有的。即使純粹數(shù)學(xué)也無法徹底達(dá)到確定性，進(jìn)一步，數(shù)學(xué)概念和理論如果結(jié)合于人們的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和科學(xué)觀察，就會(huì)產(chǎn)生更大的不確定性。因而，在任何認(rèn)識(shí)中絕對(duì)的確定性是沒有的。“哥德爾直言不諱地說過，我們沒有任何絕對(duì)確定的知識(shí)。言外之意，哪怕極其簡(jiǎn)單的事情，我們也無絕對(duì)把握說自己完全捕獲了堪稱終審法庭的客觀實(shí)在”[10]。克萊因?qū)Υ丝偨Y(jié)為，“人類對(duì)于宇宙以及數(shù)學(xué)地位的認(rèn)識(shí)已被迫作出了根本性的改變，…?，F(xiàn)在我們知道，數(shù)學(xué)已不再受到普遍尊重和景仰。數(shù)學(xué)曾經(jīng)被認(rèn)為是精確論證的頂峰，真理的化身，是關(guān)于宇宙設(shè)計(jì)的真理”[5]序。“這可能是本世紀(jì)某些人聲稱的數(shù)學(xué)的一大特征，即其結(jié)果的絕對(duì)確定性和有效性已喪失”[5]269。著名物理學(xué)家霍金則詼諧地說：“上帝不僅擲骰子，有時(shí)他還把骰子扔到了找不到它們的地方。”[11]
承認(rèn)知識(shí)的不確定性，對(duì)建立正確的科學(xué)觀有何重要意義？我們認(rèn)為，科學(xué)上的結(jié)論其實(shí)并不具有許多人所堅(jiān)持的本體論意義，而只具有認(rèn)識(shí)論意義。這就是說，我們反對(duì)把科學(xué)結(jié)論看作是對(duì)真實(shí)世界的終極反映，相反，科學(xué)結(jié)論只是人們用心智與理性構(gòu)建的自然圖景。具體說，相對(duì)論中的質(zhì)點(diǎn)不能超光速運(yùn)動(dòng)，只是相對(duì)論自然圖像中的表象，它與真實(shí)世界中的物質(zhì)是否可以超光速運(yùn)動(dòng)并不相干，或者說，它并不能排斥真實(shí)世界中（可能存在的）物質(zhì)的超光速運(yùn)動(dòng)。量子力學(xué)中的測(cè)不準(zhǔn)原則，也只是量子力學(xué)自然圖景中的表象，它并不排斥真實(shí)世界中的粒子總是存在著確定的位置和速度，只不過人們無法同時(shí)測(cè)量出它們的精確值。如今混沌學(xué)、復(fù)雜性科學(xué)中所揭示出的一些不可計(jì)算、不可預(yù)測(cè)現(xiàn)象，依然是自然圖景中的表象，不可計(jì)算，不可預(yù)算，只是在認(rèn)識(shí)論意義上反映了人的認(rèn)知的一種缺陷，這絲毫不影響真實(shí)世界本身的“計(jì)算”。“自然界不是存在著，而是生成著并消逝著”[12]。無論人類為它繪制的圖景是不是像，它都毫不在乎，并自在地生成著，消逝著。圖景只于繪制它的人類有益。
但另一方面，絕對(duì)確定性知識(shí)的不可能與知識(shí)不確定性的凸現(xiàn)，并不意味著知識(shí)論的“死亡”，而是知識(shí)論的“新生”。知識(shí)的確定性應(yīng)由此獲得新的意義，它可視為人類理性的一種理想追求。知識(shí)“盡管并不是完美的佳作，即使不斷完善也未必能去除所有的瑕疵，然而它是人類與感性知覺世界之間最有效的紐帶”[5]366，“就知識(shí)的確定性而言，數(shù)學(xué)是一種理想，我們?yōu)檫@一理想而奮斗，盡管我們也許永遠(yuǎn)不會(huì)到達(dá)。確定性也許只不過是我們?cè)诓粩嗖蹲降囊粋€(gè)幻影，它是如此無止境地難于捉摸。然而理想具有力量和價(jià)值，公正、民主和上帝都是理想。的確，也有在上帝的幌子下被謀殺的人，審判不公的案件也臭名遠(yuǎn)揚(yáng)，但是，這些理想是千百年來文化的重要產(chǎn)物”[5]366。
因此，追求絕對(duì)確定性知識(shí)的不可能，并不意味著我們?cè)谥R(shí)的可靠性上，一定要采取一種徹底懷疑主義的態(tài)度。懷疑主義雖給我們提供了更深更廣的思想空間，但它的假設(shè)性前提——知識(shí)如沒有絕對(duì)正確的把握就不應(yīng)產(chǎn)生，也是不現(xiàn)實(shí)的。世界上雖沒有那種不容置疑的絕對(duì)確定性知識(shí)，但知識(shí)也不是非要有這種不容置疑的絕對(duì)確定性不可。因?yàn)?，盡管我們對(duì)任何事物的認(rèn)識(shí)隨時(shí)都會(huì)犯錯(cuò)誤，但是我們的認(rèn)識(shí)畢竟在這樣的易謬論中真的前進(jìn)了。知識(shí)的歷史，就是人類不懈追求知識(shí)的絕對(duì)確定性而逐步顯現(xiàn)知識(shí)的不確定性的歷史。
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