自古希臘時期以來，無窮的概念就引起了哲學家和數(shù)學家的注意，但它的看來是矛盾的性質使得對它的理解進展十分緩慢。數(shù)學家畢達哥拉斯(BC580--BC497)最早用他的著名定理發(fā)現(xiàn)了新型數(shù)——無理數(shù)，或者說某些長度的不可通約性，但為了避免直線無限可分中討厭的無窮概念，而將這一偉大發(fā)現(xiàn)密而不宣。
愛利亞學派的芝諾(BC490--BC430)第一個研究了運動中存在的無窮悖論，他在“二分法”悖論和“阿基里斯”悖論中，以人們對無窮理解的困難批駁直線的無限可分性，進而巧妙地證明了運動的不可能性這一明顯不符合客觀事實的結論。這些悖論從另一方面引起了人們的興趣和注意，加深了人們對運動和無窮概念的理解。
柏拉圖學園的數(shù)學家歐多克斯(BC408--BC355)為了避免了無窮小的困難，提出用窮竭法求面積，并用以他命名的原理來代替無窮的極限理論，從另一方面給出實現(xiàn)極限過程的方法。亞力山大里亞學派的大數(shù)學家歐幾里德在他著名的《幾何原本》第十卷中也系統(tǒng)地提出了此方法以避免無窮小的困難。
大哲學家亞里士多德(BC384--BC322)考慮過無窮的問題，但他從不承認一個無窮的集合可以作為一個固定的整體存在，對他來說，這樣的集合只是潛在無窮。
一直被認為是古代最偉大的科學家阿基米德(BC287--BC212)也用歸謬法去避免無限小量的概念，盡管他預見了極微分割的概念。
物理學家伽利略(1564--1642)也與無窮集合做過斗爭，并認為它們不可理喻而放棄了。在《兩門新科學》中他注意到兩個不等長的線段AB與CD上的點可以構成一一對應，從而可以想象它們含有同樣多的點。他又注意到正整數(shù)可以和它們的平方構成一一對應，只要把每一個正整數(shù)和它的平方對應起來就行了，但這導致無窮大的不同“數(shù)量級”，伽利略認為這是不可能的，并認為所有無窮大量都一樣，不能比較大小。
天文學家開普勒(1571--1630)在《新測定酒桶體積法》一書中曾引入無窮大與無窮小的概念，以代替窮竭法。盡管人們對這些觀點感到頭痛，然而由于開普勒用日常的語言引入這些觀念，使得它們可以為大家所接受。開普勒采用這些觀點得出了一些前人很難得到的結果，盡管他的觀點中缺少關于極限的明確概念，也缺少有效的求和方法。
卡佛來利(1598--1647)進一步發(fā)展了開普勒的方法，在《新發(fā)展的極微分割幾何》一書的第二部分中，他假定一條線可以看成是無數(shù)點的集合。這本著作盡管有缺點，但還是鼓舞了許多科學家，使他們能以比較客觀的態(tài)度對待無窮小量的概念，并導致人們開始以更抽象的方式來研究無窮小的問題。
羅伯佛爾(1600--1675)和帕斯卡(1623--1662)擺脫了卡佛來利的缺點，認為一條線不是由點構成，而是由無數(shù)根短線構成。英國的約翰·華里斯(1616--1703)在《無窮算術》一書中采用了無窮小量的學說。
無窮小量的研究鼓舞了許多數(shù)學家去研究圖形求面積的問題。例如，法國的數(shù)學家費爾瑪(1601--1665)發(fā)現(xiàn)了幾種求積方法，由于考慮無窮小量他得出了確定函數(shù)極大值與極小值的方法，此方法相當于令函數(shù)的導數(shù)為零，這是無窮小量有效應用的一個范例。
費爾瑪和笛卡兒(1596--1650)發(fā)明的解析幾何加速了對無窮小量應用的研究，進而也加速了微積分的成熟，人們已開始用無窮小量來作曲線的切線，這些人有費爾瑪、笛卡兒和巴羅，甚至有人認為巴羅是無窮小量分析的第一個發(fā)明人，但只有牛頓使無窮小的分析達到登峰造極的地步，最終發(fā)明了分析的工具——微積分。
牛頓(1642--1727)在《流數(shù)術》一書中改變了變量是由無窮小元素組成的看法，而是從運動學的觀點來研究問題，這也許是運動中無窮小分析的起源。他說：“這里，流數(shù)術賴以建立的主要原理，乃是源自理論力學中的一個非常簡單的原理。這就是數(shù)學量，特別是外延量，都可以看作是由連續(xù)軌道運動產生的，而且所有不管什么量，都可以認為是在同樣方式下產生的，至少經過類比和調整之后可以如此。因此，在產生這些具有固定的可確定的關系的量時，其相對速度會有所增減，因而如何去求它們也就可以作為一個問題提出。這里，本人是據(jù)另一個同樣清楚的原理來解決這個問題的，這就是假定一個量可以無限分割，或者可以（至少在理論上說）使之連續(xù)減小，直至它完全消失，達到了可以稱之為零量的程度，或者說它們是無限的小，比任何一個指定的量都小。”這里，牛頓認為線的畫出是由于點的連續(xù)運動，他把一個產生中的量稱之為流量，其生長率叫流量的流數(shù)，一個無限小的時間間隔叫瞬，在這無限小時間間隔內流量增加的無窮小部分叫流量的瞬。于是牛頓成功地建立起無窮小的分析數(shù)學——微積分。
盡管牛頓利用無窮小建立了他的新理論，他卻從未對此心安理得。他曾在一本著作《曲線求積法》中試圖消除所有關于無窮小的痕跡，從而建立起他的沒有無窮小的微積分。正如他寫道：“現(xiàn)在照這樣用有限量來制定一種分析學，并研究這些有限量在新生成漸近于零的情況下的基本比和最終比，是與古代的幾何學一致的……我還樂意指出，在流數(shù)術中沒有必要把無窮小的數(shù)學引入幾何學中來。”但他又寫道：“有人反對說，趨近于零的量的最終比是不存在的，因為在這些量還沒有趨近于零的時候，比值并不是最終的；而當它們等于零的時候，又什么都沒有了。……但回答是不難的……，這里有一個極限，它是在運動終了時所能達到但不能超越的速度。”這說明他已經注意到無窮極限的概念，但牛頓不能明確定義他的比，他并沒有把他的微積分建立在穩(wěn)固的基礎上。
當然，與牛頓同時代的萊布尼茲(1646--1716)獨立地發(fā)現(xiàn)了微積分理論，并且他又是現(xiàn)代微積分通用符號的創(chuàng)始者，但是他和牛頓一樣對他理論中的無窮小量解釋不清，甚至比牛頓更不注意嚴格的邏輯性和嚴密性。牛頓和萊布尼茲誰也沒有把無窮小這個基本概念弄明白，即怎樣越過從有限到無窮小量的鴻溝。另外，盡管萊布尼茲經常否定絕對無窮，但在一些場合卻指出實無窮和絕對無窮的重要區(qū)別，這給后來的康托以極大的啟示。
第一個試圖給予微積分中的無窮小分析以嚴密性的是十八世紀第一流的數(shù)學家拉格朗日(1736--1813)，他拋棄了牛頓的極限說，而從泰勒的定理出發(fā)，決定只用代數(shù)方法，但由于對級數(shù)的收斂性注意不夠，他的探索沒有成功。
波爾查諾(1781--1848)第一個把f(x)的導數(shù)定義為當Δx經由負值和正值趨于零時，比[f(x+Δx)-f(x)]/Δx無限接近地趨向的量f'(x)，他強調f'(x)不是兩個零之商，也不是兩個消失的量的比，而是前面指出的比所趨近的一個數(shù)。波爾查諾在他的《無窮悖論》一書中顯示了他是第一個采取積極步驟的人，他維護了實無窮集合的存在，并且強調了兩個集合等價的概念，這就是后來叫做兩個集合元素之間的一一對應關系，這個等價的概念適用于有限集合，也適用于無限集合。他注意到無窮集合中部分或子集可以等價于整體的情況，并且堅持這個事實必須接受，對于無窮集合同樣可以指定一個數(shù)叫超限數(shù)，使不同的無窮集合有不同的超限數(shù)，但他認為對于超限數(shù)無需計算，所以不用深入研究它們。波爾查諾對于無窮的研究，其哲學意義比數(shù)學意義更多，雖然他沒有充分弄清后來稱之為集合的勢或基數(shù)的概念，但他給后來康托的超窮集合論奠定了基礎。
康托(1845--1918)于二十九歲時在《數(shù)學雜志》上發(fā)表了關于無窮集合理論的第一篇革命性文章，他稱集合為一些確定的不同東西的總體，這些東西人們能意識到，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個總體。他說，那些認為只有潛無窮集合的人是錯的，并且駁斥了數(shù)學家們和哲學家們反對實無窮集合的早期論點。對康托來說，如果一個集合能和它的部分構成一一對應，它就是無窮的，他說：“正象每個特例所表明的那樣，我們可以從更一般的角度引出這樣的結論：所有反對實無窮可能性的所謂證明都是站不住腳的，他們一開始就期望無窮數(shù)具有有窮數(shù)的所有特性，或者甚至把有窮數(shù)的性質強加到無窮數(shù)上。與此相反，如果我們能以任何方式理解無窮數(shù)的話，倒是由于它們構成了全新的一個數(shù)類，它們的性質完全依賴于事物本身的性質，這是研究的對象，而并不從屬于我們的主觀臆想和偏見。”
康托認為必須不含任何武斷和偏見地去研究實無窮，他確信用抽象的數(shù)學語言及具體的物理語言所表明的物質的性質都確證了超窮數(shù)的存在性。在他看來，正象有窮數(shù)借助有窮多個對象的真實集合獲得了客觀存在性一樣，對超窮數(shù)也可以引出同樣的結論，因為它們也是從無窮多個對象的真實集合中抽象出來的，具體地說，超窮數(shù)的實在性在物理世界中的物質、空間及具體對象的無窮性中有著自然的反映，從而我們應該肯定超窮數(shù)的客觀實在性?？低羞€從另一個角度論證超窮數(shù)的客觀存在性，利用有窮主義承認的論斷“對任意大數(shù)N，都存在一個數(shù)n>N"，他指出，這實際上就假設了所有這樣的n的存在，它們構成了可稱之為超窮的一個完成了的總體。
康托后來把超窮數(shù)看成是借助于抽象從實無窮集合的存在中自然地產生出來的，他指出，超窮數(shù)與有窮無理數(shù)是同舟共濟的，兩者的基本性質是相似的，因為前者和后者一樣也是實無窮的確定表達形式。但是，由于康托強調新數(shù)內在的和觀念上的相容性這一形式主義觀點，他明確地表達了對無窮小理論的反對，因為他認為小于任意小的有窮數(shù)的非線性零數(shù)是不存在的。
總之，康托認為無論就有窮數(shù)和無窮數(shù)而言，在本質上都可以從兩種角度去進行分析：一是所謂的內在的真實性，或固有的真實性，即是指在思想中可明確定義，從而與思維的其他成分可明確區(qū)分的真實性；二是所謂的外部的真實性，即是指其在物理世界的對象中和過程中的具體體現(xiàn)。
康托提出他的超窮集合論后，許多人都提出了不同的反對意見，而且他自己也發(fā)現(xiàn)了他建立的超窮集合論中所出現(xiàn)的令人不愉快的悖論，這一切都導致了二十世紀初期關于數(shù)學基礎的深入研究和理解。人們以各自不同的方法來避免或解決這些討厭的困難，而困難的根源又正是在于無窮集合和無限過程中所用到的無窮。于是在數(shù)學家中分化出幾大派別，以Zermelo為首的公理化學派認為公理化可以澄清悖論；以Frege、Russell和Whitehead為首的邏輯派認為數(shù)學可以從邏輯推導出來；以Kronecker、Brouwer為首的直觀派更相信直觀和構造性的證明；以Hilbert為首的形式派主張邏輯必須和數(shù)學同時加以研究，數(shù)學本身就是一堆形式系統(tǒng)，數(shù)學中研究的對象就是符號本身，符號就是本質，它們并不代表理想的物理對象。這些學派對無窮的看法是不同的，公理化學派承認無窮集合的存在，并且提出了著名的引起廣泛爭議的選擇公理。不久，哥德爾的不完全性定理產生了新的實質性進展，此定理的一個含義是不僅數(shù)學的全部，甚至是任何一個有意義的分支也不能用一個公理系統(tǒng)概括起來，因為任何這樣的公理系統(tǒng)都是不完備的?？梢哉f哥德爾的結果給了公理化方法一個致命的打擊，因為他指出了公理化方法令人震驚的缺陷。
羅賓遜(Robinson)于二十世紀六十年代提出了一種稱為非標準分析的理論，在這一理論中無窮小被定義為一個數(shù)[注]，它大于零，小于任何正數(shù)。盡管羅賓遜的理論沒有得到更多新的結果，但它無疑加深了我們對無窮小的認識。
關于無窮人們還一直在探索，這些探索將大大加深我們對無窮的理解，也將加深我們對運動本身的理解。
[注] 泊松(1781--1840)在此之前已提出小于任何給定的無論多小的正數(shù)的非零正數(shù)是存在的。
