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轉(zhuǎn)載自 | 機器之心

思維鏈提示（CoT）是大模型涌現(xiàn)中最神秘的現(xiàn)象之一，尤其在解決數(shù)學(xué)推理和決策問題中取得了驚艷效果。CoT到底有多重要呢？它背后成功的機制是什么？本文中，北大的幾位研究者證明了CoT在實現(xiàn)大語言模型（LLM）推理中是不可或缺的，并從理論和實驗角度揭示了CoT如何釋放LLM的巨大潛力。

最近的研究發(fā)現(xiàn)，思維鏈提示（Chain of Thought prompting，簡稱為 CoT）可以顯著提升大語言模型（LLM）的性能，尤其適用于處理涉及數(shù)學(xué)或推理的復(fù)雜任務(wù)。不過盡管取得了很大成功，但 CoT 背后的機制以及如何釋放 LLM 的潛力仍然難以捉摸。

近日，北京大學(xué)的一項新研究從理論視角揭示了 CoT 背后的奧秘。

論文鏈接：https://arxiv.org/abs/2305.15408

基于 Transformer 的大語言模型已經(jīng)成為自然語言處理中的通用模型，在各種任務(wù)上都獲得了廣泛的應(yīng)用。主流的大模型通?；谧曰貧w范式來實現(xiàn)，具體而言，各種不同的任務(wù)（如文本翻譯、文本生成、問題回答等）都可以統(tǒng)一地視為序列生成問題，其中問題的輸入和問題描述被一起被編碼為一個單詞（token）序列，稱為提示（prompt）；問題的答案便可以轉(zhuǎn)化為基于提示來條件生成后續(xù)單詞的任務(wù)。

在大模型領(lǐng)域中有大量的研究已經(jīng)表明，精心設(shè)計的提示詞對模型的表現(xiàn)起著至關(guān)重要的作用。特別是在涉及算術(shù)或推理相關(guān)的任務(wù)時， CoT 已被表明能夠大大提高所生成答案的正確性。如下圖所示，對于一個需要數(shù)學(xué)推理的任務(wù)，大模型直接生成的答案往往是錯誤的（下圖 a,b）。但是如果通過修改提示使得大模型輸出整個思維鏈（中間推導(dǎo)步驟），最終便能夠得到正確答案（下圖 c,d）。

在實踐中，思維鏈提示有兩種主流的實現(xiàn)方式：一種是在提示中添加特定短語，如 “Let’s think step by step” 來觸發(fā)（如上圖 c）；另一種是通過提供少量的思維鏈演示的例子來讓大模型模擬相應(yīng)的推導(dǎo)過程（如上圖 d）。

然而，盡管 CoT 在大量實驗上都取得了顯著的表現(xiàn)，但背后的理論機制卻仍然是個謎。一方面，大模型在直接回答數(shù)學(xué)、推理等問題方面是否確實存在固有理論缺陷？另一方面，為什么 CoT 可以提升大模型在這些任務(wù)上的能力？這篇論文從理論角度對上述問題進(jìn)行了回答。

具體而言，研究者從模型表達(dá)能力的角度來研究 CoT：對于數(shù)學(xué)任務(wù)和一般的決策任務(wù)，本文研究了基于自回歸的 Transformer 模型在以下兩個方面的表達(dá)能力：（1）直接生成答案，以及（2）采用 CoT 的方式生成完整的解決步驟。

CoT 是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵

以 GPT-4 為代表的大模型已經(jīng)展現(xiàn)出了令人震驚的數(shù)學(xué)能力。例如，它能夠正確求解大部分高中數(shù)學(xué)題，甚至已經(jīng)成為數(shù)學(xué)家們的研究助手。

為了研究大模型在數(shù)學(xué)方面的能力，本文選取了兩個非?；A(chǔ)但核心的數(shù)學(xué)任務(wù)：算術(shù)和方程（下圖給出了這兩個任務(wù)的輸入輸出示例）。由于它們是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的基本組件，因此通過對這兩個核心數(shù)學(xué)問題的研究，我們可以對大模型在一般數(shù)學(xué)問題上的能力有一個更深刻的理解。

研究者首先探究了 Transformer 是否能夠輸出上述問題的答案而不輸出中間步驟。他們考慮了一種與實際非常吻合的假設(shè) ——log 精度 Transformer，即 Transformer 的每個神經(jīng)元只能表示有限精度的浮點數(shù)（精度為 log n 比特），其中 n 是句子的最大長度。這一假設(shè)與實際非常接近，例如在 GPT-3 中，機器精度（16 位或 32 位）通常要遠(yuǎn)小于最大輸出句子長度（2048）。

在這一假設(shè)下，研究者證明了一個核心不可能結(jié)果：對于常數(shù)層、寬度為 d 的自回歸 Transformer 模型，以直接輸出答案的方式求解上述兩個數(shù)學(xué)問題時，需要使用極大的模型寬度 d。具體而言，d 需要以超越多項式的增長速度隨輸入長度 n 的增長而變大。

造成這一結(jié)果的本質(zhì)原因在于，上述兩個問題不存在高效的并行算法，因此 Transformer 作為一種典型的并行模型無法對其進(jìn)行求解。文章使用理論計算機科學(xué)中的電路復(fù)雜性理論對上述定理進(jìn)行了嚴(yán)格證明。

那么，如果模型不直接輸出答案，而是按照上圖的形式輸出中間推導(dǎo)步驟呢？研究者進(jìn)一步通過構(gòu)造證明了，當(dāng)模型可以輸出中間步驟時，一個固定大?。ú灰蕾囉谳斎腴L度 n）的自回歸 Transformer 模型便可以解決上述兩個數(shù)學(xué)問題。

對比之前的結(jié)果可以看出，加入 CoT 極大地提升了大模型的表達(dá)能力。研究者進(jìn)一步對此給出了直觀的理解：這是因為 CoT 的引入會將生成的輸出單詞不斷回饋到輸入層，這大大增加了模型的有效深度，使其正比于 CoT 的輸出長度，從而極大地提升了 Transformer 的并行復(fù)雜度。

CoT 是解決一般決策問題的關(guān)鍵

除了數(shù)學(xué)問題，研究者進(jìn)一步考慮了 CoT 在解決一般任務(wù)上的能力。他們從決策問題出發(fā)，考慮了一種解決決策問題的通用框架，稱為動態(tài)規(guī)劃。

動態(tài)規(guī)劃（DP）的基本思想在于將復(fù)雜問題分解為一系列可以按順序解決的小規(guī)模子問題。其中對問題的分解確保了各個子問題之間存在顯著的相互關(guān)聯(lián)（重疊），從而使得每個子問題可以利用之前的子問題上的答案來高效解決。

最長上升子序列（LIS）和求解編輯距離（ED）是《算法導(dǎo)論》一書中提出的兩個著名的 DP 問題，下表列出了這兩個問題的狀態(tài)空間、轉(zhuǎn)移函數(shù)的聚合函數(shù)。

研究者證明了，自回歸 Transformer 模型可以按照解決子問題的順序輸出一個完整的動態(tài)規(guī)劃思維鏈，從而對于所有能夠用動態(tài)規(guī)劃解決的任務(wù)都能輸出正確答案。同樣地，研究者進(jìn)一步證明了生成思維鏈?zhǔn)潜匾模簩τ诤芏嗬щy的動態(tài)規(guī)劃問題，一個常數(shù)層、多項式大小的 Transformer 模型無法直接輸出正確答案。文章通過上下文無關(guān)文法成員測試這一問題給出了反例。

實驗

研究者最后設(shè)計了大量實驗對上述理論進(jìn)行了驗證，考慮了四種不同的任務(wù)：算術(shù)表達(dá)式求值、解線性方程組、求解最長上升子序列以及求解編輯距離。

實驗結(jié)果表明，當(dāng)使用 CoT 數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練時，一個 3 層的自回歸 Transformer 模型已經(jīng)能夠在所有任務(wù)上均取得幾乎完美的表現(xiàn)。然而，直接輸出正確答案在所有任務(wù)上的表現(xiàn)都很差（即使使用更深的模型）。這一結(jié)果清楚地展示了自回歸 Transformer 在解決各種復(fù)雜任務(wù)上的能力，并表明了 CoT 在解決這些任務(wù)中的重要性。

研究者還探究了學(xué)得的自回歸模型是否可以進(jìn)一步外推到更長的數(shù)據(jù)。他們?yōu)檫\算任務(wù)構(gòu)建了一個 CoT 訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，其中運算符數(shù)量從 1 到 15，并在算子數(shù)量 n ∈ {16, 17, 18} 的表達(dá)式上測試模型。結(jié)果如下圖 3 所示，研究者的三層 Transformer 模型依然在更長的序列上表現(xiàn)良好，表明模型在某種程度上確實學(xué)習(xí)了底層機制。因此，研究者相信在更多不同長度的數(shù)據(jù)上訓(xùn)練的模型最終可以揭示完整的算術(shù)規(guī)則。

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CoT 是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵

CoT 是解決一般決策問題的關(guān)鍵

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