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圓錐曲線相交弦有三種表現(xiàn)形式，即兩弦相交成直角、兩相交弦傾斜角互補(bǔ)、三弦組成特殊的三角形。
一、兩弦相交成直角
例1. 已知橢圓與x軸正方向交于點(diǎn)A，若這個(gè)橢圓上有點(diǎn)P，使∠OPA＝90°（O為原點(diǎn)），求橢圓離心率的范圍。
分析：兩向量垂直的坐標(biāo)公式的運(yùn)用。
解析：設(shè)P（），則
，
。
由∠OPA＝90°，則
即，
所以，
可得
因?yàn)?sub>
所以
又，
所以。
例2. 已知直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B。（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由。
分析：用斜率的關(guān)系解決兩直線垂直。
解析：（1）將直線的方程代入雙曲線C的方程后，整理得
①
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B，
設(shè)；
則
且
且
且
解聯(lián)立不等式組得k的取值范圍為（－2，）。
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F（c，0），則FA⊥FB，
所以，
即
又，
代入前式整理得
將代入，化簡(jiǎn)得
解得。
又不合，舍去。
所以符合題意。
例3. 設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB，OM⊥AB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線。
分析：利用平面幾何知識(shí)將兩弦垂直與以線段為直徑的圓相互轉(zhuǎn)化。
解析：依題意，設(shè)，則
。
又OA⊥OB，得
即
化簡(jiǎn)得。
而，
所以直線AB的方程為
。
令y＝0，并將代入得，即直線AB與x軸交于定點(diǎn)Q（4p，0）。又OM⊥AB，由平面幾何知識(shí)得：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以線段OQ為直徑，以點(diǎn)（2p，0）為圓心的圓，其方程為
二、兩相交弦傾斜角互補(bǔ)
例4. 過拋物線上一定點(diǎn)P（，作兩條直線分別交拋物線于A（）、B（）。（1）求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；（2）當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù)。
分析：將兩相交弦傾斜角互補(bǔ)轉(zhuǎn)化為斜率互為相反數(shù)，利用等量關(guān)系列式求解。
解析：（1）當(dāng)時(shí)，。又拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線定義得所求距離為
。
（2）由，相減得
，
故
同理可得
由PA與PB傾斜角互補(bǔ)知，
所以
由，
故。
將，所以直線AB的斜率是非零常數(shù)。
例5. 如圖1，已知A，B，C是長(zhǎng)軸為4的橢圓上三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)頂點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且，。（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；（2）如果橢圓上兩點(diǎn)P、Q使直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，是否總存在實(shí)數(shù)？請(qǐng)給出證明。
圖1
分析：利用斜率互為相反數(shù)關(guān)系，整體替換，可簡(jiǎn)化解題過程。
解析：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸建立如圖直角坐標(biāo)系，則A（2，0），橢圓方程可設(shè)為
。
而O為橢圓中心，由對(duì)稱性知
又，所以AC⊥BC
又，所以|OC|＝|AC|，
所以△AOC為等腰直角三角形，所以點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，1）。將（1，1）代入橢圓方程得，則橢圓方程為。
（2）由直線CP、CQ與x軸圍成底邊在x軸上的等腰三角形，設(shè)直線CP的斜率為k，則直線CQ的斜率為－k，直線CP的方程為，直線CQ的方程為。由橢圓方程與直線CP的方程聯(lián)立，消去y得
①
因?yàn)镃（1，1）在橢圓上，所以x＝1是方程①的一個(gè)根，于是
同理
這樣，
又B（－1，－1），所以，
即。
所以PQ∥AB，存在實(shí)數(shù)使。
三、三弦組成特殊的三角形
例6. 已知F是拋物線的焦點(diǎn)，P1，P2是拋物線上的兩點(diǎn)，且△P1FP2是正三角形，求該三角形的邊長(zhǎng)。
分析：抓住特殊三角形中的特殊角，再利用三角函數(shù)知識(shí)來求解。
解析：由于拋物線與正三角形都是軸對(duì)稱圖形，必有軸。若設(shè)，則。又△P1FP2是正三角形，所以直線P1F的傾斜角為30°。而F（1，0），則直線P1F的方程是
與拋物線聯(lián)立，消去x得
解得。
故三角形的邊長(zhǎng)為。
例7. 在直角三角形ABC中，AB＝AC，以點(diǎn)C為一個(gè)焦點(diǎn)作一個(gè)橢圓，使這個(gè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在邊AB上，且橢圓過A、B兩點(diǎn)。求這個(gè)橢圓的離心率。
分析：抓住特殊三角形中的特殊角，再利用三角函數(shù)知識(shí)來求解。
解析：如圖2，設(shè)∠AFC＝θ
圖2
則
設(shè)|FC|＝2c，則
所以
，
即離心率。
而在△BCF中，由正弦定理得
，
則有，
即，
所以
，所以。
end
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