沈岳夫(浙江省紹興市柯橋區(qū)平水鎮(zhèn)中學(xué))
摘要：對試題的研究是教師在教學(xué)和復(fù)習(xí)中經(jīng)常做的一件事.通過研究把蘊涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法揭示出來，挖掘出隱含的問題的本質(zhì)屬性，不但可以提高學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力、分析和解決問題的思維技能，還可以優(yōu)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。筆者通過對一道中考填空題的方法探究，總結(jié)出七類常見方法，并且對各種方法進行梳理、比較，目的是能將疑難問題簡單化，復(fù)雜問題簡潔化，陌生問題熟悉化．
關(guān)鍵詞：中考試題；一題多解；思維突破
對試題的研究是教師在教學(xué)和復(fù)習(xí)中經(jīng)常做的一件事，通過研究把蘊涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法揭示出來，挖掘出隱含的問題的本質(zhì)屬性．不但可以提高學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力、分析和解決問題的思維技能，優(yōu)化數(shù)學(xué)的思維品質(zhì)，還可以培養(yǎng)學(xué)生探索創(chuàng)新的能力．現(xiàn)以2014年重慶市的一道中考填空題為例，對其方法進行探究，愿與大家共同分享．
一、試題呈現(xiàn)
題目：如圖1，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC，BD的交點，點E在CD上，且DE=2CE，過點C作CF⊥BE，垂足為點F，連接OF，則OF的長為_____．
【說明】方法1，方法2是借助圖2的模型構(gòu)造出三角形全等，其實質(zhì)就是通過公共端點O，構(gòu)造出兩個“共點等腰直角三角形”（指在同一個平面幾何圖形中具有一個公共頂點的兩個不同的等腰直角三角形）的基本圖形．也就是說，當題目或結(jié)論中出現(xiàn)等邊三角形、等腰直角三角形（或正方形）的條件時，可將圖形繞一個端點作旋轉(zhuǎn)
的全等變換，構(gòu)造出全等三角形，從而將條件和結(jié)論結(jié)合在一起．這種解題思路是幾何證明中的一種常用方法，應(yīng)當予以重視．
2.從構(gòu)造以“OF為斜邊”的直角三角形入手
【說明】此方法的思路來源于圖7的模型，通過添加輔助線，得到兩個基本圖形，即“8字型”和“A字型”相似．因此，對于求線段的值（或比值）問題，當條件過于分散，不好直接利用時，可以根據(jù)題中所涉及的圖形的性質(zhì)（如垂直或平行），設(shè)法對其進行適當?shù)奶砭€，把題中某些關(guān)系通過相似進行轉(zhuǎn)化，這樣就可以解決問題了．
面積這一工具，也是一種有效解決問題的方法．
5.從“四點共圓”的角度入手
思路5：想到“四點共圓”——運用“四點共圓”，巧構(gòu)等腰三角形，運用相似解決問題．
（方法6）如圖9，過點B作BH⊥FO，交FO的延長線于點H，
因為∠BOC=∠BFC=90°，
相應(yīng)的代數(shù)問題，然后用代數(shù)知識進行演算、論證，最后把所得的結(jié)果翻譯成幾何圖形的性質(zhì)，以達到證明幾何問題的目的．方法7主要是根據(jù)條件中有些特殊的點（如中點）或特殊的圖形時（如圓），通過建立適當?shù)闹苯幼鴺讼?，可以將某些幾何求值問題、證明問題全部轉(zhuǎn)化或部分轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題加以解決（有時較之其他的方法更為簡潔）．
7.從運用托勒密定理入手
思路7：巧用定理——運用托勒密（Ptolemy)定理求線段長度．
（方法8）因為∠BOC=∠BFC=90°，
所以B，O，F(xiàn)，C四點共圓（如圖11）．
由托勒密（Ptolemy)定理知．
【說明】此方法是通過托勒密（Ptolemy)定理的中介作用，揭示了命題中條件與隱含條件、結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系，為尋求解題途徑指明了方向，使問題的方法簡單流暢、別具一格，達到了化繁為簡、化難為易的目的，而且還可以開拓學(xué)生的思路、提高解題能力，對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)也大有裨益．
前面梳理了八種解題方法，實際上此題的解題方法還不只這些．當學(xué)生對某些知識點、某些基本圖形理解的較為深入時，首先就會考慮到較簡潔的方法．例如，當對全等三角形知識理解較為深入時，會想到以O(shè)F為邊構(gòu)造全等三角形，這樣就會選取方法1，方法2；對相似三角形的理解較為深入時，就會選取方法3，方法4等；若對面積問題較為靈活運用時，就會選擇方法5；若想到數(shù)形結(jié)合思想，運用坐標法，就會選取方法7；若能用課外的知識來解決問題，可以選取方法6，方法8．
可見，在平時的教學(xué)中，教師若能選取類似本文提到的這樣的試題，留給學(xué)生足夠的時間思考，提供學(xué)生展示自己想法的機會，并組織學(xué)生對不同思路進行適當?shù)谋容^和討論，學(xué)生就能自然地把題目涉及到的基本圖形的基本性質(zhì)等相關(guān)知識加以聯(lián)系，構(gòu)建成一個整體，達到靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的程度．這樣做，會比機械地重復(fù)大量的訓(xùn)練題目的效果要好得多．進行類似于此題的一題多解的教學(xué)，不僅有利于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，提高解題能力，而且也有利于開闊學(xué)生的視野，有效地培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性，提高學(xué)生的綜合應(yīng)用水平．
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