圖形的相似這一節(jié)是平面幾何中極為重要的內(nèi)容，也是中考數(shù)學中的重點考查內(nèi)容。三角形相似常常與三角形全等、四邊形、函數(shù)等聯(lián)系，利用動點變化，探究圖形的特殊形狀、點的坐標或變量之間的函數(shù)關(guān)系。
解決此類問題的關(guān)鍵是要掌握相似的基礎(chǔ)知識，在理解題意的基礎(chǔ)上運用相似的知識會解決一些實際問題；而在綜合題中，會靈活運用相似的知識，熟練掌握等線段代換、等比代換、等量代換技巧的應(yīng)用，培養(yǎng)綜合運用知識的能力。
本文主要來介紹下分類討論思想在解決相似圖形問題中的應(yīng)用，對于中考數(shù)學壓軸題中出現(xiàn)此類相似圖形的問題是大有幫助的！
一、判定三角形相似的幾條思路
1、條件中若有平行線，可采用相似三角形的基本定理；
2、條件中若有一對等角，可再找一對等角或找夾邊成比例；
3、條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；
4、條件中若有一對直角，可考慮在找一對等角或證明斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；
5、條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等，可找一對底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例。
二、相似基本圖形
1、“A”字型
A字型
若 DE∥BC ，則 △ADE∽△ABC ；
2、“8”字型
8字型
若 DE∥BC ，則 △EAD∽△BAC ；
3、“A'”字型
A'字型
若 ∠AED = ∠B ，則 △AED∽△ABC 。
三、相似三角形的性質(zhì)
1、相似三角形的對應(yīng)邊的比等于相似比；
2、相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方；
3、相似三角形對應(yīng)邊上的高、中線、角平分線的比都等于相似比。
四、應(yīng)用分類討論數(shù)學思想解決相似圖形問題
對于題目中給出的條件，不能確定其結(jié)論的唯一性時，需要對可能存在的情況進行分類討論。尤其在說明兩個三角形相似時，應(yīng)將對應(yīng)字母寫在對應(yīng)位置上，如果題目中沒有說明，即只是說兩個三角形相似，則需要分類討論。
例題1、已知在 △ABC 中，AB = 8 , BC = 7 , AC = 6 , 點 D、E 分別是 AB、AC 邊上的動點（不與點 A、B、C 重合），如果以 A、D、E 為頂點的三角形和以 A、B、C 為頂點的三角形相似，且相似比為 1 ： 4 ，試求線段 AD 和 AE 的長 。
解題思路：此題屬于典型的分類討論題型，在動點的運動過程中，會形成兩種最基本的相似圖形“A”字型和“A'''字型，解題過程如下：
解：
① “A”字型，如圖所示：
當 △ADE∽△ABC 時，由相似三角形的性質(zhì)可得：
AD : AB = AE : AC = 1 : 4 ,
即 AD ： 8 = AE ：6 = 1 ： 4 ，
所以 AD = 2 , AE = 1.5 ；
② “A'”字型，如圖所示：
當 △AED∽△ABC 時，由相似三角形的性質(zhì)可得：
AE : AB = AD : AC = 1 : 4 ,
即 AE ： 8 = AD ：6 = 1 ： 4 ，
所以 AD = 1.5 , AE = 2 ；
綜上：AD 等于 2 或 1.5 ，AE 等于 1.5 或 2 。
評注：題目中所給出的條件僅表明兩個三角形具有相似關(guān)系，并沒有明確指出它們的對應(yīng)點，因此在動點的運動過程中需要分類討論，列舉出可能出現(xiàn)的情形。
例題2、如圖，在梯形 ABCD 中，AD∥BC ，∠A = 90°，AB = 7 ，AD = 2 ，BC = 3 。試問在線段 AB 上是否存在一點 P ，使得以 P、A、D 為頂點的三角形和以 P、B、C 為頂點的三角形相似？若不存在請說明理由；若存在，這樣的 P 點共有幾個？并求出線段 AP 的長 。
解：假設(shè)滿足條件的點 P 存在，則有以下兩種情形：
① 當 △APD∽△BPC 時，由相似三角形的性質(zhì)有：
AP : BP = AD : BC , 即 AP : BP = 2 : 3 ,
因為 AP + BP = AB = 7 ,
所以 AP = 14/5 .
② 當 △APD∽△BCP 時，由相似三角形的性質(zhì)有：
AP : BC = AD : BP , 即 AP : 3 = 2 : ( 7 - AP ) ,
所以 AP = 1 或 6 。
綜上：存在這樣的點 P ，使得以 P、A、D 為頂點的三角形和以 P、B、C 為頂點的三角形相似，且這樣的點 P 共有 3 個，線段 AP 的長分別為 14/5 或 1 或 6 。
分類討論題目是中考數(shù)學中常見的考題，對于題目中給出的條件，不能確定其結(jié)論的唯一性時，需對可能存在的情況要注意進行分類討論！
