七年級(jí)剛剛接觸的線段上點(diǎn)的計(jì)算問(wèn)題，是幾何部分的基礎(chǔ)知識(shí)，由于初接觸，很多同學(xué)找不到規(guī)律，導(dǎo)致不會(huì)解或者漏解的情況時(shí)有發(fā)生，下面結(jié)合例題一一說(shuō)明
一.與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算題
1.已知A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，若線段AB=20㎝，線段BC=8㎝，M、N分別是線段AB，BC的中點(diǎn).
(1)求線段MN的長(zhǎng);
(2)根據(jù)(1)中的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，設(shè)AB=a，BC=b，且a>b，其他條件不變，求MN的長(zhǎng)度(直接寫出結(jié)果)
【分析】(1)讀題之后，確定不了點(diǎn)C在AB上還是AB外，所以需分類討論.(2)通過(guò)(1)的計(jì)算推測(cè)結(jié)果或用字母a、b推導(dǎo)得結(jié)果
解:(1)分兩種情況.
①當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖①所示
因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以MB=AB×1/2=20×1/2=10(㎝).因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以BN=BC×1/2=8×1/2=4(㎝)，所以MN=MB一BN=10一4=6(㎝).
②當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②
因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以MB=AB×1/2=20×1/2=10(㎝)，因?yàn)镹為BC的中點(diǎn)，所以BN=BC×1/2=8×1/2=4(㎝)，所以MN=MB+BN=10+4=14(㎝).
綜上所述，線段MN的長(zhǎng)為6㎝或14㎝.
(2)MN=1/2(a+b)或MN=1/2(a一b).
二.與線段中點(diǎn)有關(guān)的說(shuō)明題
2.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，AC=8㎝，CB=6㎝，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn).
(1)求線段MN的長(zhǎng).
(2)若C為線段AB上任意一點(diǎn)，滿足AC+CB=a㎝，其他條件不變，你能猜想出MN的長(zhǎng)度嗎？說(shuō)明理由.
(3)若C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且滿足AC一CB=b㎝，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，你能猜想出MN的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由.
解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以MC=AC×1/2=8×1/2=4(㎝)，NC=BC×1/2=6×1/2=3(㎝).所以MN=MC+NC=4十3=7(㎝).
(2)MN=a/2(㎝).理由如下:因?yàn)镸，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以MC=AC/2，NC=BC/2，所以MN=MC+NC=AC/2十BC/2=(AC+BC)/2=a/2(㎝).
(3)如圖.MN=b/2(㎝).理由如下:
因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以MC=AC/2，NC=BC/2，所以MN=MC一NC=AC/2一BC/2=(AC一BC)/2=b/2(㎝).
三.與線段中點(diǎn)有關(guān)的操作題
3.(1)如圖，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AB=12，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求線段MN的長(zhǎng)度;
(2)把(1)中的'點(diǎn)C在線段AB上”改為'點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上”，其他條件均不變，畫圖并求線段MN的長(zhǎng)度;
(3)已知線段AB，點(diǎn)C為直線AB外任意一點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，連接MN，畫圖猜想線段MN與線段AB的數(shù)量關(guān)(只要求畫圖，寫出結(jié)論).
解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以MC=AC/2，NC=BC/2，所以MN=MC十NC=AC/2十BC/2=AB/2=12×1/2=6.
(2)如答圖
MN=MC一NC=AC/2一BC/2=AB/2=12×1/2=6.
(3)如答圖
通過(guò)度量可得MN=AB/2.
四.與線段分點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算
4.如圖，B，C兩點(diǎn)把線段AD分成2:4:3三部分，M是AD的中點(diǎn)，CD=6㎝，求線段MC的長(zhǎng).
【分析】由于線段AD分為2:4:3三部分，CD=6㎝，所以可設(shè)參數(shù)，求出一份數(shù)是多少，再求出總份數(shù)AD，即可求MD=AD/2，從而MC=MD一CD可解出.
解:設(shè)AB=2K㎝，則BC=4K㎝，CD=3K㎝.所以AD=2K十4K+3K=9K(㎝)，因?yàn)镃D=6㎝，即3K=6，所以K=2，則AD=18㎝，又因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以MD=AD/2=18×1/2=9(㎝).所以MC=MD一CD=9一6=3(㎝).
五.線段分點(diǎn)與方程的結(jié)合
5.A，B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖，O為原點(diǎn)，現(xiàn)A，B兩點(diǎn)分別以1個(gè)單位長(zhǎng)度/s，4個(gè)單位長(zhǎng)度/s的速度同時(shí)向左運(yùn)動(dòng).
(1)幾秒后，原點(diǎn)恰好在兩點(diǎn)正中間？
(2)幾秒后，恰好有OA:OB=1:2？
【分析】(1)依據(jù)基本的行程問(wèn)題數(shù)量關(guān)系列方程求解.②由于B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度大于A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度，所以可分相遇前與相遇后，兩種情況分類討論.
解:(1)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，依題意得
x+3=12一4x
解得x=1.8
答:1.8s后原點(diǎn)恰好在兩點(diǎn)正中間.
(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.
①B與A相遇前:12一4t=2(t+3)，解得t=1
②B與A相遇后:4t一12=2(t+3)，解得t=9
答:1s或9s后，恰好有OA:OB=1:2.
六線段上動(dòng)點(diǎn)與中點(diǎn)的分類問(wèn)題
6.(1)如圖①，D是AB上任意一點(diǎn)，M，N分別是AD，DB的中點(diǎn)，若AB=16，求MN的長(zhǎng);
(2)如圖②，AB=16，點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是AD，DB的中點(diǎn)，能否求出線段MN的長(zhǎng)？若能，求出其長(zhǎng)，若不能，試說(shuō)明理由;
(3)如圖③，AB=16，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段AB的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，能否求出線段MN的長(zhǎng)？若能，求出其長(zhǎng)，若不能，試說(shuō)明理由.
(4)你能用一句簡(jiǎn)潔的話，描述你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？
解:(1)MN=DM+DN=AD/2+BD/2=(AD+BD)/2=AB/2=16×1/2=8.
(2)能.MN=DM+DN=AD/2+BD/2=(AD+BD)/2=AB/2=16×1/2=8.
(3)能.MN=MD一DN=AD/2一BD/2=(AD一BD)/2=AB/2=16×1/2=8.
(4)MN的長(zhǎng)始終不變.
七.線段上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的分類問(wèn)題
7.如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為一2和8.
(1)求線段AB的長(zhǎng).
(2)若P為射線BA上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A，B兩點(diǎn)重合)，M為PA的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生改變？若不變，請(qǐng)你畫出圖形，并求出線段MN的長(zhǎng);若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:(1)因?yàn)锳，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為一2和8，所以O(shè)A=2，OB=8，所以AB=OA+OB=2十8=10.
(2)①當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間時(shí)，如圖甲，MN=MP十NP=AP/2十BP/2=AB/2=5.
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，如圖乙，MN=NP一MP=BP/2一AP/2=AB/2=5.
綜上所述，線段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為5.
八.線段和差倍分關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
8.如圖，線段AB=24，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以2個(gè)單位長(zhǎng)度/s的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng)，M為AP的中點(diǎn).
(1)出發(fā)多少秒后，PB=2AM？
(2)當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明2BM一BP為定值.
(3)當(dāng)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為BP的中點(diǎn)，下面兩個(gè)結(jié)論:①M(fèi)N長(zhǎng)度不變;②MA+PN的值不變.選擇正確的結(jié)論，并求出其值.
解:(1)設(shè)出發(fā)ts后，PB=2AM，則PA=2t，PB=24一2t，AM=t，所以24一2t=2t，解得t=6，即出發(fā)6s后，PB=2AM.
(2)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，由題意知BM=24一x，PB=24一2x，所以2BM一BP=2(24一x)一(24一2x)=24，即2BM一BP為定值.
(3)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ys，因?yàn)镻A=2y，AM=PM=y，PB=2y一24，PN=PB/2=y一12，所以①M(fèi)N=PM一PN=y一(y一12)=12，即MN的長(zhǎng)度不變，為定值;②MA+PN=y+y一12=2y一12，所以MA+PN的值是變化的，綜上所述，①正確，且MN的長(zhǎng)度為12.
【總結(jié)】線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，注意找準(zhǔn)點(diǎn)的各種可能的位置，通常設(shè)未知數(shù)，表示出移動(dòng)變化后的線段的長(zhǎng)(有可能是常數(shù)，那就是定值)，再由題意列方程求解.
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