正方形與弦圖
【題目】
（2018·常德）已知正方形ABCD中AC與BD交于O點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BD上，作直線AM交直線DC于E，過D作DH⊥AE于H，設(shè)直線DH交AC于N．
（1）如圖1，當(dāng)M在線段BO上時，求證：MO=NO；
（2）如圖2，當(dāng)M在線段OD上，連接NE，當(dāng)EN∥BD時，求證：BM=AB；
（3）在圖3，當(dāng)M在線段OD上，連接NE，當(dāng)NE⊥EC時，求證：AN2=NC·AC．
【答案】
解：（1）∵正方形ABCD的對角線AC，BD相交于O，
∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，
∴∠OND+∠ODN=90°，
∵∠ANH=∠OND，
∴∠ANH+∠ODN=90°，
∵DH⊥AE，
∴∠DHM=90°，
∴∠ANH+∠OAM=90°，
∴∠ODN=∠OAM，
∴△DON≌△AOM，
∴OM=ON；
備注：證明線段相等，只需證明全等即可。利用蝴蝶型易得角度相等。
（2）連接MN，
∵EN∥BD，
∴∠ENC=∠DOC=90°，∠NEC=∠BDC=45°=∠ACD，
∴EN=CN，同（1）的方法得，OM=ON，
∵OD=OD，
∴DM=CN=EN，
∵EN∥DM，
∴四邊形DENM是平行四邊形，
∵DN⊥AE，
∴?DENM是菱形，
∴DE=EN，
∴∠EDN=∠END，
∵EN∥BD，
∴∠END=∠BDN，
∴∠EDN=∠BDN，
∵∠BDC=45°，
∴∠BDN=22.5°，
∵∠AHD=90°，
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，
∵∠ABM=45°，
∴∠BAM=67.5°=∠AMB，
∴BM=AB；
備注：本題關(guān)鍵在于利用圖中的“A字型”與“X字型（蝴蝶型）”來證明角度相等，與題（1）類似。可以不作輔助線。
（3）設(shè)CE=a（a＞0）
∵EN⊥CD，
∴∠CEN=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠CNE=45°=∠ACD，
∴EN=CE=a，
∴CN=√2a，
設(shè)DE=b（b＞0），
∴AD=CD=DE+CE=a+b，
根據(jù)勾股定理得，AC=√2AD=√2（a+b），
同（1）的方法得，∠OAM=∠ODN，
∵∠OAD=∠ODC=45°，
∴∠EDN=∠DAE，∵∠DEN=∠ADE=90°，
∴△DEN∽△ADE，
∴DE/AD=EN/DE，
∴b/(a+b)=a/b，
∴a=(√5-1)/2b（已舍去不符合題意的）
∴CN=√2a=(√10-√2)/2b，AC=√2（a+b）=(√10+√2)/2b，
∴AN=AC﹣CN=√2b，
∴AN2=2b2，AC·CN=(√10+√2)/2b·(√10-√2)/2b=2b2
∴AN2=AC·CN．
備注：遇到線段平方與乘積關(guān)系的時候，容易想到相似，但是本題的結(jié)論很難直接通過三角形相似來證明，因?yàn)槿龡l線段在一條線上。而且發(fā)現(xiàn)不容易進(jìn)行轉(zhuǎn)化。所以選擇強(qiáng)算。
方法2，可以設(shè)ON=x，CN=y，
連接MN，易得△AMN∽△AEC，
AN/AC=MN/EC，
√2y（2x+y）=√2x（2x+2y），
得y2=4x2+2xy，
則4x2+2xy+2xy+y2=y2+2xy+y2，
即（2x+y）2=（2x+2y）y，
即AN2=AC·NC。
結(jié)論得證。
【總結(jié)】
遇到正方形問題，常常利用圖中90°角的特征，找出互余的角。利用圖中的“A字型”或“X字型”來得到角度的等量關(guān)系，最終證明相似或全等。
拓展：
常德，古稱“武陵”、“朗州”，別名“柳城”，湖南省地級市。省域副中心城市。常德位于湖南北部，江南洞庭湖西側(cè)，武陵山下，史稱“川黔咽喉，云貴門戶”，是長江經(jīng)濟(jì)帶、長江中游城市群、環(huán)洞庭湖生態(tài)經(jīng)濟(jì)圈的重要城市。
常德城名源自《老子》“為天下溪，常德不離”；歷史故事“劉?？抽浴?/strong>、“孟姜女哭長城”以及陶淵明筆下的《桃花源記》等浪漫主義情結(jié)貫穿常德城二千多年的歷史，開創(chuàng)了常德獨(dú)有的“善德文化”。
