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等等許多生活中常見(jiàn)的三角形例子，學(xué)習(xí)三角形，你就會(huì)明白“三角形具有穩(wěn)定性”的原理。
下面有位老師-Andy老師給大家整理了一些
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三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
一、 基礎(chǔ)知識(shí)
1、三角形的定義： 由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形. （三角形有三條邊，三個(gè)內(nèi)角，三個(gè)頂點(diǎn).組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角; 相鄰兩邊的公共端點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)）
2、三角形的表示
三角形ABC用符號(hào)表示為△ABC，三角形ABC的邊AB可用邊AB所對(duì)的角C的小寫字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三個(gè)頂點(diǎn)用大寫字母A,B,C來(lái)表示。
注意：（1）三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接； （2）三角形是一個(gè)封閉的圖形； （3）△ABC是三角形ABC的符號(hào)標(biāo)記，單獨(dú)的△沒(méi)有意義
3、三角形的分類：（1）按邊分類： 等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形
（2）按角分類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形
4、三角形的主要線段的定義：
（1）三角形的中線：三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．
如圖：（1）AD是△ABC的BC上的中線.（2）BD=DC= BC.
注意：①三角形的中線是線段；
②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點(diǎn) （重心）
③中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形．
（2）三角形的角平分線 ：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段
如圖：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分線. （2）∠1=∠2= ∠BAC.
注意：①三角形的角平分線是線段；
②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)（內(nèi)心）
③角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等
（3）三角形的高 ： 從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．
如圖：①AD是△ABC的BC上的高線；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°.
注意：①三角形的高是線段；
②銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部：直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)上。三角形三條高所在直線交于一點(diǎn)（垂心 ）
③由于三角形有三條高線，所以求三角形的面積的時(shí)候就有三種（因?yàn)楦叩撞灰粯樱?/p>
（4）三角形的中垂線：過(guò)三角形一條邊中點(diǎn)所做的垂直于該條邊的線段
如圖：DE是△ABC的邊BC的中垂線；DE⊥BC于D；BD=DC
注意：①三角形的中垂線是直線；
②三角形的三條中垂線交于一點(diǎn)（外心）
小總結(jié)：內(nèi)心：三條角平分線的交點(diǎn),也是三角形內(nèi)切圓的圓心.
性質(zhì)：到三邊距離相等.
外心：三條中垂線的交點(diǎn),也是三角形外接圓的圓心.
性質(zhì)：到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.
重心：三條中線的交點(diǎn).
性質(zhì)：三條中線的三等分點(diǎn),到頂點(diǎn)距離為到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍.
垂心：三條高所在直線的交點(diǎn).
5、三角形的三邊關(guān)系 ：三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.
注意：（1）三邊關(guān)系的依據(jù)是：兩點(diǎn)之間線段最短；
（2）圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊．
6、三角形的角與角之間的關(guān)系：
(1)三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°;
(2)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；
(3)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.
(4)直角三角形的兩個(gè)銳角互余.
7、三角形的內(nèi)角和定理 ：三角形的內(nèi)角和等于180°．
推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。
8、三角形的外角的定義 ：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角. 注意：每個(gè)頂點(diǎn)處都有兩個(gè)外角，但這兩個(gè)外角是對(duì)頂角.（所以一般我們只研究一個(gè)）
如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.
所以說(shuō)一個(gè)三角形有六個(gè)外角，但我們每個(gè)一個(gè)頂點(diǎn)處只選一個(gè)外角，這樣三角形的外角就只有三個(gè)了.
三角形外角的性質(zhì) ：
（1） 三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．
（2）三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．
9、三角形的穩(wěn)定性：三角形的三邊長(zhǎng)確定，則三角形的形狀就唯一確定，這叫做三角形的穩(wěn)定性．
10、多邊形 ：在同一平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形。
（1）多邊形的對(duì)角線 ：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。
（2）正多邊形 ： 各邊相等，各角都相等的多邊形叫做正多邊形
（3）多邊形的內(nèi)角和為 （n-2）*180度 ；多邊形的外角和為 360度
二、等腰三角形
1、等腰三角形的概念
定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角
2、三角形的性質(zhì)
（1）等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱為“等邊對(duì)等角”）
（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高線、底邊上的中線互相集合（簡(jiǎn)稱為“三線合一”）
3、等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱為“等角對(duì)等邊”）
注意：要正確區(qū)分等腰三角形的性質(zhì)和判定
4、等邊三角形
定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形
注意：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況，它是底邊與腰相等的等腰三角形
5、等邊三角形的性質(zhì)和判定
性質(zhì)：（1）等邊三角形的三條邊都相等
（2） 等邊三角形的每一個(gè)角都等于60度
判定：（1）各邊或角都相等的三角形是等邊三角形
（2）有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形
相關(guān)規(guī)律：（1）邊長(zhǎng)為a的等邊三角形面積等于
（2）等邊三角形的內(nèi)心、外心、垂心和重心重合于一點(diǎn)
三、直角三角形
1、定義：有一個(gè)角為直角的三角形稱為直角三角形。在直角三角形中，直角相鄰的兩條邊稱為直角邊。直角所對(duì)的邊稱為斜邊。直角三角形直角所對(duì)的邊也叫作“弦”。若兩條直角邊不一樣長(zhǎng)，短的那條邊叫作“勾”，長(zhǎng)的那條邊叫作“股”。
2、分類：直角三角形如圖所示：分為兩種情況，有普通的直角三角形，還有等腰直角三角形（屬于特殊情況)
3、判定定理
等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)：穩(wěn)定性，兩直角邊相等 直角邊夾亦直角銳角45，斜邊上中線角平分線垂線三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R。
直角三角形是一種特殊的三角形
4、特殊性質(zhì)
它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：
性質(zhì)1:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖，∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2（勾股定理)
性質(zhì)2:在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余。如圖，若∠BAC=90°，則∠B+∠C=90°
性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)，外接圓半徑R=C/2）。該性質(zhì)稱為直角三角形斜邊中線定理。
性質(zhì)4:直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。
性質(zhì)5:如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：
射影定理圖
（1）（AD)2=BD·DC。
（2）（AB)2=BD·BC。
（3）（AC)2=CD·BC。
性質(zhì)6:在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。
在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°。
證明：
先證明定理的前半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那么BC=AB/2
∵∠A=30°
∴∠B=60°（直角三角形兩銳角互余）
取AB中點(diǎn)D，連接CD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可知CD=BD
∴△BCD是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）
∴BC=BD=AB/2
再證明定理的后半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30°
取AB中點(diǎn)D，連接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）
又∵BC=AB/2
∴BC=CD=BD
∴∠B=60° ∴∠A=30°
性質(zhì)7:如圖，
在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是斜邊上的高，則：
證明：S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC
兩邊乘以2，再平方得AB2*AC2=AD2*BC2
運(yùn)用勾股定理，再兩邊除以
,最終化簡(jiǎn)即得
性質(zhì)8:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。
判定方法：判定1：有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形。
判定2：若
，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一個(gè)三角形30°內(nèi)角所對(duì)的邊是某一邊的一半，則這個(gè)三角形是以這條長(zhǎng)邊為斜邊的直角三角形。
判定4：兩個(gè)銳角互為余角（兩角相加等于90°）的三角形是直角三角形。
判定5：若兩直線相交且它們的斜率之積互為負(fù)倒數(shù)，則兩直線互相垂直。那么這個(gè)三角形為直角三角形。
判定6：若在一個(gè)三角形中一邊上的中線等于其所在邊的一半，那么這個(gè)三角形為直角三角形。參考直角三角形斜邊中線定理
判定7：一個(gè)三角形30°角所對(duì)的邊等于某一鄰邊的一半，則這個(gè)三角形為直角三角形。
四、勾股定理
勾股定理內(nèi)容：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 a +b =c ； 即直角三角形兩直角邊長(zhǎng)的平方和等于斜邊長(zhǎng)的平方。
如果三角形的三條邊a，b，c滿足a +b =c ，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）
五、全等三角形
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形 ，而該兩個(gè)三角形的三條邊及三個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等。全等三角形指兩個(gè)全等的三角形，它們的三條邊及三個(gè)角都對(duì)應(yīng)相等。
1、性質(zhì)
（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。
（3）能夠完全重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。
（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。
（5）全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等。
（6）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等。
（7）全等三角形面積和周長(zhǎng)相等。
（8）全等三角形的對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值相等。
2、全等三角形的判定
· SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形。
· SAS（邊角邊）：兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形。
· ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等
· AAS（角角邊）：兩角及其一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等。
· HL(斜邊、直角邊)）：在一對(duì)直角三角形中，斜邊及另一條直角邊相等。
下列兩種方法不能驗(yàn)證為全等三角形：
· AAA（角角角）：三角相等，不能證全等，但能證相似三角形
· SSA（邊邊角）：其中一角相等，且非夾角的兩邊相等。
六、相似三角形
三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等、三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。
1、預(yù)備定理
平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似。（這是相似三角形判定的定理，是以下判定方法證明的基礎(chǔ)。這個(gè)引理的證明方法需要平行線與線段成比例的證明）
2、判定定理 常用的判定定理有以下6條：
判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似。（AA）
判定定理2：如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊成比例，并且對(duì)應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩個(gè)三角形相似。（SAS）
判定定理3：如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。（SSS）
判定定理4：兩個(gè)三角形三邊對(duì)應(yīng)平行，則兩個(gè)三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：三邊對(duì)應(yīng)平行，兩個(gè)三角形相似。）
判定定理5：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。（簡(jiǎn)敘為：斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似。）（HL）
判定定理6：如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形相似（相似比為1：1）（簡(jiǎn)敘為：全等三角形相似）。
相似的判定定理與全等三角形基本相同，因?yàn)槿热切问翘厥獾南嗨迫切巍?/p>
3、一定相似
符合下面的情況中的任何一種的兩個(gè)（或多個(gè)）三角形一定相似：
（1）兩個(gè)全等的三角形
全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1：1。
補(bǔ)充：如果△ABC∽△A‘B’C‘，∴AB/A’B‘=AC/A’C‘=BC/B'C’=K
當(dāng)K=1時(shí)，這兩個(gè)三角形全等。（K為它們的比值）
（2）任意一個(gè)頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形
兩個(gè)等腰三角形，如果其中的任意一個(gè)頂角或底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似。
（3）兩個(gè)等邊三角形
兩個(gè)等邊三角形，三個(gè)內(nèi)角都是60度，且邊邊相等，所以相似。
（4）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形
由于斜邊的高形成兩個(gè)直角，再加上一個(gè)公共的角，所以相似。
4、性質(zhì)定理
（1）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成正比例。
（2）相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。
（3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。
（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。
（5）相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長(zhǎng)比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方
（6）若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中項(xiàng)
(7) a/b=c/d等同于ad=bc.
( 8)不必是在同一平面內(nèi)的三角形里。
5、推論
推論一：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。
推論二：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。
推論三：如果一個(gè)三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。
6、射影定理
直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。
例如：(前提：∠BAD+∠DAC=90度，AD⊥BC)
公式Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：(1)(AD)^2;=BD·DC，(2)(AB)^2;=BD·BC，(3)(AC)^2;=CD·BC。等積式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面積來(lái)證明)
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