什么是悖論？籠統(tǒng)地說(shuō)，是指這樣的推理過(guò)程：它看上去是合理的，但結(jié)果卻得出了矛盾。悖論在很多情況下表現(xiàn)為能得出不符合排中律的矛盾命題：由它的真，可以推出它為假；由它的假，則可以推出它為真。由于嚴(yán)格性被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)的一個(gè)主要特點(diǎn)，因此如果數(shù)學(xué)中出現(xiàn)悖論會(huì)造成對(duì)數(shù)學(xué)可靠性的懷疑。如果這一悖論涉及面十分廣泛的話，這種沖擊波會(huì)更為強(qiáng)烈，由此導(dǎo)致的懷疑還會(huì)引發(fā)人們認(rèn)識(shí)上的普遍危機(jī)感。在這種情況下，悖論往往會(huì)直接導(dǎo)致“數(shù)學(xué)危機(jī)”的產(chǎn)生。按照西方習(xí)慣的說(shuō)法，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上迄今為止出現(xiàn)了三次這樣的數(shù)學(xué)危機(jī)。
希帕索斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)
希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發(fā)現(xiàn)密切相關(guān)。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學(xué)家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數(shù)學(xué)與人類的實(shí)踐活動(dòng)中有著極其廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是人類最早認(rèn)識(shí)到的平面幾何定理之一。在我國(guó)，最早的一部天文數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就已有了關(guān)于這一定理的初步認(rèn)識(shí)。不過(guò)，在我國(guó)對(duì)于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國(guó)時(shí)期的趙爽才用面積割補(bǔ)給出它的第一種證明。
在國(guó)外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達(dá)哥拉斯。因而國(guó)外一般稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”。并且據(jù)說(shuō)畢達(dá)哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個(gè)帶神秘色彩的稱號(hào)：“百牛定理”。
畢達(dá)哥拉斯
畢達(dá)哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個(gè)合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。由畢達(dá)哥拉斯提出的著名命題“萬(wàn)物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達(dá)哥拉斯建立的畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)為1的正方形其對(duì)角線長(zhǎng)度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長(zhǎng)度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來(lái)表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無(wú)理數(shù)√2 的誕生。小小√2的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。實(shí)際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念這都是一個(gè)極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時(shí)是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測(cè)量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí)，這個(gè)斷言也毫無(wú)例外是正確的！可是為我們的經(jīng)驗(yàn)所確信的，完全符合常識(shí)的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)，多么荒謬的事！它簡(jiǎn)直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無(wú)辦法。這就在當(dāng)時(shí)直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識(shí)上的危機(jī)，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。
歐多克索斯
二百年后，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的著作已失傳，他的成果被保存在歐幾里德《幾何原本》一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無(wú)理數(shù)這一“邏輯上的丑聞”，并保留住與之相關(guān)的一些結(jié)論，從而解決了由無(wú)理數(shù)出現(xiàn)而引起的數(shù)學(xué)危機(jī)。但歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過(guò)避免直接出現(xiàn)無(wú)理數(shù)而實(shí)現(xiàn)的。這就生硬地把數(shù)和量肢解開來(lái)。在這種解決方案下，對(duì)無(wú)理數(shù)的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數(shù)中就是非法的，不合邏輯的?；蛘哒f(shuō)無(wú)理數(shù)只被當(dāng)作是附在幾何量上的單純符號(hào)，而不被當(dāng)作真正的數(shù)。一直到18世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了基本常數(shù)如圓周率是無(wú)理數(shù)時(shí)，擁護(hù)無(wú)理數(shù)存在的人才多起來(lái)。到十九世紀(jì)下半葉，現(xiàn)在意義上的實(shí)數(shù)理論建立起來(lái)后，無(wú)理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無(wú)理數(shù)在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根。無(wú)理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面使人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有理數(shù)拓展到實(shí)數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。
貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)
第二次數(shù)學(xué)危機(jī)導(dǎo)源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學(xué)理論與實(shí)踐認(rèn)識(shí)的提高，十七世紀(jì)幾乎在同一時(shí)期，微積分這一銳利無(wú)比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)現(xiàn)。這一工具一問(wèn)世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問(wèn)題運(yùn)用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的。兩人的理論都建立在無(wú)窮小分析之上，但他們對(duì)作為基本概念的無(wú)窮小量的理解與運(yùn)用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時(shí)就遭到了一些人的反對(duì)與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國(guó)大主教貝克萊。
貝克萊主教
1734年，貝克萊以“渺小的哲學(xué)家”之名出版了一本標(biāo)題很長(zhǎng)的書《分析學(xué)家；或一篇致一位不信神數(shù)學(xué)家的論文，其中審查一下近代分析學(xué)的對(duì)象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點(diǎn)有更清晰的表達(dá)，或更明顯的推理》。在這本書中，貝克萊對(duì)牛頓的理論進(jìn)行了攻擊。例如他指責(zé)牛頓，為計(jì)算比如說(shuō) x2 的導(dǎo)數(shù)，先將 x 取一個(gè)不為0的增量 Δx ，由 (x + Δx)2 - x2 ，得到 2xΔx + (Δx2) ，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得導(dǎo)數(shù)為 2x 。這是“依靠雙重錯(cuò)誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果”。因?yàn)闊o(wú)窮小量在牛頓的理論中一會(huì)兒說(shuō)是零，一會(huì)兒又說(shuō)不是零。因此，貝克萊嘲笑無(wú)窮小量是“已死量的幽靈”。貝克萊的攻擊雖說(shuō)出自維護(hù)神學(xué)的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。
數(shù)學(xué)史上把貝克萊的問(wèn)題稱之為“貝克萊悖論”。籠統(tǒng)地說(shuō)，貝克萊悖論可以表述為“無(wú)窮小量究竟是否為0”的問(wèn)題：就無(wú)窮小量在當(dāng)時(shí)實(shí)際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無(wú)疑是一個(gè)矛盾。這一問(wèn)題的提出在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了一定的混亂，由此導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生。
牛頓與萊布尼茲
針對(duì)貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過(guò)完善自己的理論來(lái)解決，但都沒(méi)有獲得完全成功。這使數(shù)學(xué)家們陷入了尷尬境地。一方面微積分在應(yīng)用中大獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論。這種情況下對(duì)微積分的取舍上到底何去何從呢？
“向前進(jìn)，向前進(jìn)，你就會(huì)獲得信念！”達(dá)朗貝爾吹起奮勇向前的號(hào)角，在此號(hào)角的鼓舞下，十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們開始不顧基礎(chǔ)的不嚴(yán)格，論證的不嚴(yán)密，而是更多依賴于直觀去開創(chuàng)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)地。于是一套套新方法、新結(jié)論以及新分支紛紛涌現(xiàn)出來(lái)。經(jīng)過(guò)一個(gè)多世紀(jì)的漫漫征程，幾代數(shù)學(xué)家，包括達(dá)朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數(shù)量驚人前所未有的處女地被開墾出來(lái)，微積分理論獲得了空前豐富。18世紀(jì)有時(shí)甚至被稱為“分析的世紀(jì)”。然而，與此同時(shí)十八世紀(jì)粗糙的，不嚴(yán)密的工作也導(dǎo)致謬誤越來(lái)越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動(dòng)了數(shù)學(xué)家們的神經(jīng)。下面僅舉一無(wú)窮級(jí)數(shù)為例。
無(wú)窮級(jí)數(shù)S＝1－1＋1－1＋1………到底等于什么？
當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為一方面S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；另一方面，S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1，那么豈非0＝1？這一矛盾竟使傅立葉那樣的數(shù)學(xué)家困惑不解，甚至連被后人稱之為數(shù)學(xué)家之英雄的歐拉在此也犯下難以饒恕的錯(cuò)誤。他在得到
1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x)
后，令 x = －1，得出
S＝1－1＋1－1＋1………＝1／2！
由此一例，即不難看出當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的混亂局面了。問(wèn)題的嚴(yán)重性在于當(dāng)時(shí)分析中任何一個(gè)比較細(xì)致的問(wèn)題，如級(jí)數(shù)、積分的收斂性、微分積分的換序、高階微分的使用以及微分方程解的存在性……都幾乎無(wú)人過(guò)問(wèn)。尤其到十九世紀(jì)初，傅立葉理論直接導(dǎo)致了數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)問(wèn)題的徹底暴露。這樣，消除不諧和音，把分析重新建立在邏輯基礎(chǔ)之上就成為數(shù)學(xué)家們迫在眉睫的任務(wù)。到十九世紀(jì)，批判、系統(tǒng)化和嚴(yán)密論證的必要時(shí)期降臨了。
柯西
使分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化的工作由法國(guó)著名數(shù)學(xué)家柯西邁出了第一大步?？挛饔?821年開始出版了幾本具有劃時(shí)代意義的書與論文。其中給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義。如他開始用不等式來(lái)刻畫極限，使無(wú)窮的運(yùn)算化為一系列不等式的推導(dǎo)。這就是所謂極限概念的“算術(shù)化”。后來(lái)，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ ”方法。另外，在柯西的努力下，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)的和等概念也建立在了較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上。不過(guò)，在當(dāng)時(shí)情況下，由于實(shí)數(shù)的嚴(yán)格理論未建立起來(lái)，所以柯西的極限理論還不可能完善。
柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過(guò)自己獨(dú)立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實(shí)數(shù)體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結(jié)為遞增有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”來(lái)定義無(wú)理數(shù)。1892年，另一個(gè)數(shù)學(xué)家創(chuàng)用“區(qū)間套原理”來(lái)建立實(shí)數(shù)理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來(lái)的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實(shí)數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作。數(shù)學(xué)分析的無(wú)矛盾性問(wèn)題歸納為實(shí)數(shù)論的無(wú)矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。重建微積分學(xué)基礎(chǔ)，這項(xiàng)重要而困難的工作就這樣經(jīng)過(guò)許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了。微積分學(xué)堅(jiān)實(shí)牢固基礎(chǔ)的建立，結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時(shí)的混亂局面，同時(shí)也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決。
羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)
十九世紀(jì)下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產(chǎn)生時(shí)，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù)。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。“一切數(shù)學(xué)成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?900年，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈……今天，我們可以說(shuō)絕對(duì)的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到了……”
康托爾
可是，好景不長(zhǎng)。1903年，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問(wèn)：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合。因此，對(duì)于一個(gè)給定的集合，問(wèn)是否屬于它自己是有意義的。但對(duì)這個(gè)看似合理的問(wèn)題的回答卻會(huì)陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。無(wú)論如何都是矛盾的。
羅素
其實(shí)，在羅素之前集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數(shù)悖論。1899年，康托爾自己發(fā)現(xiàn)了最大基數(shù)悖論。但是，由于這兩個(gè)悖論都涉及集合中的許多復(fù)雜理論，所以只是在數(shù)學(xué)界揭起了一點(diǎn)小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動(dòng)。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心地說(shuō)：“一個(gè)科學(xué)家所遇到的最不合心意的事莫過(guò)于是在他的工作即將結(jié)束時(shí)，其基礎(chǔ)崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置于這個(gè)境地。”戴德金也因此推遲了他的《什么是數(shù)的本質(zhì)和作用》一文的再版。可以說(shuō)，這一悖論就象在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。
危機(jī)產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過(guò)對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造，通過(guò)對(duì)集合定義加以限制來(lái)排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來(lái)。”1908年，策梅羅在自已這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系，后來(lái)經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進(jìn)，稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。但在另一方面，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué)。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭(zhēng)，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派，而各派的工作又都促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展等等。
以上簡(jiǎn)單介紹了數(shù)學(xué)史上由于數(shù)學(xué)悖論而導(dǎo)致的三次數(shù)學(xué)危機(jī)與度過(guò)，從中我們不難看到數(shù)學(xué)悖論在推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展中的巨大作用。有人說(shuō)：“提出問(wèn)題就是解決問(wèn)題的一半”，而數(shù)學(xué)悖論提出的正是讓數(shù)學(xué)家無(wú)法回避的問(wèn)題。它對(duì)數(shù)學(xué)家說(shuō)：“解決我，不然我將吞掉你的體系！”正如希爾伯特在《論無(wú)限》一文中所指出的那樣：“必須承認(rèn)，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能長(zhǎng)期忍受下去的。人們?cè)囅耄涸跀?shù)學(xué)這個(gè)號(hào)稱可靠性和真理性的模范里，每一個(gè)人所學(xué)的、教的和應(yīng)用的那些概念結(jié)構(gòu)和推理方法竟會(huì)導(dǎo)致不合理的結(jié)果。如果甚至于數(shù)學(xué)思考也失靈的話，那么應(yīng)該到哪里去尋找可靠性和真理性呢？”悖論的出現(xiàn)逼迫數(shù)學(xué)家投入最大的熱情去解決它。而在解決悖論的過(guò)程中，各種理論應(yīng)運(yùn)而生了：第一次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了公理幾何與邏輯的誕生；第二次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了分析基礎(chǔ)理論的完善與集合論的創(chuàng)立；第三次數(shù)學(xué)危機(jī)促成了數(shù)理邏輯的發(fā)展與一批現(xiàn)代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生。數(shù)學(xué)由此獲得了蓬勃發(fā)展，這或許就是數(shù)學(xué)悖論重要意義之所在吧。
