知識(shí)鏈接
旋轉(zhuǎn)定義：
在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)。點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)Pˊ，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。
旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：
①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。
②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。
③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等。
①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度。
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手拉手旋轉(zhuǎn)
所謂手拉手旋轉(zhuǎn)，就是把兩個(gè)全等或相似的三角形繞著一對(duì)重合的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，再次生成一對(duì)全等或相似的三角形.其常見圖形如下：
1、一對(duì)相似的等腰三角形（以等腰直角三角形和等邊三角形最為常見）的頂角頂點(diǎn)重合
已知△ABC∽△ADE可得△ABD≌△ACE
2、全等三角形的一對(duì)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)重合
已知△ABC≌△ADE 可得△ABD∽△ACE
3、一對(duì)相似三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)重合
已知△ABC∽△DEC可得△BCD∽△ACE
手拉手旋轉(zhuǎn)中以共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形和共頂點(diǎn)的等邊三角形最為常見，下面我們就以這兩種形式為例.來探究一下它們?cè)谛D(zhuǎn)中會(huì)出現(xiàn)哪些結(jié)論.
一、共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形
如圖，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形， ∠ABC=∠EBD=90°，AB=BC，EB=BD.試探究線段AE和CD之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.并說明理由.
解：AE=CE且AE⊥CD
理由如下：因?yàn)椤鰽BC和△EBD都是等腰直角三角形，所以AB=CB,EB=DB，且∠ABC=∠EBD=90°，則∠ABE=∠CBD.所以△ABE≌△CBD.所以AE=CD；
如圖，延長(zhǎng)CD分別交AE、AB于點(diǎn)F、G.
由全等可知，∠BAE=∠BCD.又∠AGF=∠CGB
所以∠AFG=∠CBG=90°，即AE⊥CD.
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二、共頂點(diǎn)的等邊三角形
如圖，△ABC和△DBE都是等邊三角形，連接AE、CD.
求證：（1）AE=CD，（2）AE和CD所在直線所成的銳角等于60°
證明：因?yàn)?span>△ABC和△DBE都是等邊三角形
所以AB=CB,EB=DB，且∠EBD=∠ABC=60°.
所以∠ABE=∠CBD
所以△ABE≌△CBD.
所以AE=CD.
（2）如圖，延長(zhǎng)CD分別交AE、AB于點(diǎn)F、G.
由全等可得，∠GAF=∠BCG，又∠AGF=∠CGB.
所以∠AFG=∠CBG=60°.
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近年來，手拉手旋轉(zhuǎn)在各地的中考試卷中屢次出現(xiàn)，尤以等邊三角形的手拉手和共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形為甚.今天我們就以幾道河南中考題為例，探究一下手拉手旋轉(zhuǎn)在河南中考中的應(yīng)用.
（2017·河南）如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．
（1）觀察猜想
圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
（2）探究證明
把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；
（3）拓展延伸
把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4，AB=10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．
分析：（1）由題可知BD=CE且BD⊥CE.又因?yàn)辄c(diǎn)P、M、N分別是CD、DE、BC的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)可知，PM=1/2CE且PM//CE；PN=1/2BD且PN//BD.所以PM=PN且PM⊥PN.當(dāng)然，對(duì)于本題，結(jié)合題中的幾個(gè)中點(diǎn)，也可通過倍長(zhǎng)中線或延長(zhǎng)過中點(diǎn)的線段交平行線添加輔助線.如圖：
證明方法可參照中考數(shù)學(xué)中的基本模型——中點(diǎn)模型，請(qǐng)同學(xué)們自行完成.
（2）審題可知，圖中有一對(duì)共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，易證△ABD≌△ACE.由全等可得，BD=CE且BD⊥CE.再根據(jù)中位線的性質(zhì)得，PM=1/2CE，PM//CE；PN=1/2BD，PN//BD.所以BD=CE且BD⊥CE.
（3）由第二問可知，△PMN是等腰直角三角形.
所以S△PMN=1/2PM*PN=1/8BD^2,
所以當(dāng)BD取最大值時(shí)，△PMN的面積有最大值
分析可知，當(dāng)點(diǎn)D落在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BD有最大值，此時(shí)BD=10=4=14.
所以△PMN面積的最大值為49/2.
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（2016·河南）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b．
填空：當(dāng)點(diǎn)A位于 時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為 （用含a，b的式子表示）
（2）應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．
①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；
②直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值．
（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請(qǐng)直接寫出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
分析：（1）如圖：
觀察上面動(dòng)圖，你有答案了嗎？對(duì)，當(dāng)點(diǎn)A位于CB延長(zhǎng)線上時(shí)，AC有最大值，此時(shí)AC=a b.
（2）題中有一對(duì)共頂點(diǎn)等邊三角形，易證△BAE≌△DAC，所以BE=DC，要使BE最大，只需CD最大即可.由上題可知，當(dāng)點(diǎn)D落在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，CD有最大值，此時(shí)CD=CB BD=3 1=4，所以BE的最大值是4.
（3）解法一：由題可知△PBM是等腰直角三角形，可構(gòu)造共頂點(diǎn)的等腰直角三角形.將點(diǎn)A繞點(diǎn)P順時(shí)針方向90°得到點(diǎn)C.如下作圖：
連接AC，BC.則AC=2√2.
易證△BPC≌△MPA.所以BC=AM.
要使AM取最大值，只需BC取最大值即可.
當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BC取最大值.此時(shí)，BC=BA AC=2√2 3.
所以AM的最大值是2√2 3.
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（2-√2，√2）
解法二：將點(diǎn)A繞點(diǎn)P沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C.
如下左圖. 連接AC，MC.則AC=2√2.
易證△MPC≌△BPA.所以MC=BA=3,.
當(dāng)點(diǎn)C落在線段AM上時(shí)，AM取最大值，此時(shí)，AM=AC MC=2√2 3.
解法三：捆綁旋轉(zhuǎn)法（關(guān)于捆綁旋轉(zhuǎn)，可參閱文章再說捆綁旋轉(zhuǎn)）. 由題可知，AP=2，且點(diǎn)A為定點(diǎn)，所以點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，半徑為2的圓上. 如圖：
再來確定點(diǎn)M的軌跡. 由題可知，∠PBM=45°，且BM=√2BP.
所以點(diǎn)M可以看做是將點(diǎn)P繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，再以點(diǎn)B為位似中心放大√2倍得到的. 因此將點(diǎn)P的軌跡，即圓P繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，再以點(diǎn)B為中心放大√2倍，得到的就是點(diǎn)M的軌跡.而該圓的圓心就是將點(diǎn)A繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，再以點(diǎn)B為位似中心放大√2倍得到的.如下左圖：
此時(shí)，AA''=AB=3，A''M=2√2.
當(dāng)點(diǎn)M落在AA''的延長(zhǎng)線上時(shí)，AM取最大值，此時(shí)AM=AA'' A''M=2√2 3.
若點(diǎn)M是由點(diǎn)B繞點(diǎn)P沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的，如圖：
此時(shí)，當(dāng)AM取最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2-√2，-√2）
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（2015·河南）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．
（1）問題發(fā)現(xiàn)
①當(dāng)α=0°時(shí)，AE:BD= ；②當(dāng)α=180°時(shí)，AE:BD= ．
（2）拓展探究
試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，BD:CE的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．
（3）問題解決
當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng)．
分析：（1）根據(jù)題意作圖如下：
則BD:CE=√5：2.
（2）根據(jù)兩邊成比例且夾角相等，可證△ACE∽△BCD，
所以AE:BD=AC:BC=√5：2.
（3）在△CDE繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離始終保持不變.所以點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑的圓上.又∠CDE=90°，當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，可得∠ADC=90°.根據(jù)過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線可知，AD所在直線即為圓的切線.所以過點(diǎn)A作圓的切線，切點(diǎn)的位置即為點(diǎn)D的確定位置.如圖：
①如上左圖，因?yàn)锳B=CD根據(jù)勾股定理可求AD=BC，又，且∠ABC=90°，所以四邊形ABCD是矩形，所以BD=AC=4√5. ②如下圖：設(shè)AD與BC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.
AB=CD,∠ABF=∠CDF，∠AFB=∠CFD.所以△ABF≌△CDF
所以AF=CF，BF=DF.
所以∠CBD=∠ACB.，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G.
則GD:BG=AB:BC=1:2，設(shè)DG=x，則BG=2x.所以CG=8-2x.
在Rt△CDG中，CG^2 DG^2=CD^2.
即x^2 (8-2x)^2=4^2，解得，x=4（舍去）或x=12/5.
所以BD=√5X=12√5/5.
綜上所述，BD=4√5或BD=12√5/5.
反思：本題的前兩問比較簡(jiǎn)單，難點(diǎn)在于第三問，而第三問的難點(diǎn)又在于確定點(diǎn)D的位置，進(jìn)而準(zhǔn)確畫出所需圖形.在確定點(diǎn)D的過程中，根據(jù)A、D、E三點(diǎn)共線，且CD⊥DE.利用輔助圓及其切線巧妙地確定了點(diǎn)D的位置.（關(guān)于輔助圓的應(yīng)用可參考以下兩篇文章 （“圓”來如此——輔助圓在解題中的應(yīng)用（一） 、 “圓”來如此——輔助圓在解題中的作用（二））
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