二次函數(shù)y = ax2 (a ≠ 0) 與 y = ax2 + c (a ≠ 0)的圖象與性質(zhì)
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1．理解二次函數(shù)的概念，能用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式；
2．會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù) y= ax2 (a≠0) 與 y = ax2 + c (a ≠ 0) 的圖象，
并結(jié)合圖象理解拋物線(xiàn)、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)、開(kāi)口方向等概念；
3. 掌握二次函數(shù) y=ax2 (a ≠ 0) 與 y = ax2 + c (a ≠ 0) 的圖象的性質(zhì) .
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
1、二次函數(shù)的概念
一般地，形如 y= ax2 + bx + c（a ≠ 0，a, b, c 為常數(shù)）的函數(shù)是二次函數(shù) .
若 b = 0，則 y = ax2 + c；
若 c = 0，則 y = ax2 + bx；
若 b = c = 0，則 y = ax2 .
以上三種形式都是二次函數(shù)的特殊形式，而 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）是二次函數(shù)的一般式 .
二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：
注：
如果 y = ax2 + bx + c ( a , b , c 是常數(shù)，a ≠ 0 )，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù)．
這里，當(dāng) a = 0 時(shí)就不是二次函數(shù)了，但 b、c 可分別為零，也可以同時(shí)都為零．
a 的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小 .
2、二次函數(shù)解析式的表示方法
① 一般式：
② 頂點(diǎn)式：
③ 兩根式：
注：
任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，
只有拋物線(xiàn)與軸有交點(diǎn)，即 b^2 - 4ac ≥ 0 時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．
二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化 .
3、二次函數(shù) y = ax2（a ≠ 0）的圖象及性質(zhì)
① 二次函數(shù) y = ax2 ( a ≠ 0 ) 的圖象
用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù) y = ax2（a ≠ 0）的圖象，
如圖，它是一條關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)，這樣的曲線(xiàn)叫做拋物線(xiàn) .
因?yàn)閽佄锞€(xiàn) y = x2 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，
所以 y 軸是這條拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，
從圖上看，拋物線(xiàn) y = x2 的頂點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn) .
因?yàn)閽佄锞€(xiàn) y = x2 有最低點(diǎn)，所以函數(shù) y = x2 有最小值，它的最小值就是最低點(diǎn)的縱坐標(biāo) .
② 二次函數(shù) y = ax2 ( a ≠ 0 ) 的圖象的畫(huà)法
用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù) y = ax2（a≠0）的圖象時(shí)，應(yīng)在頂點(diǎn)的左、右兩側(cè)對(duì)稱(chēng)地選取自變量 x 的值，
然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的 y 值，這樣的對(duì)應(yīng)值選取越密集，描出的圖象越準(zhǔn)確 .
注：
畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：
開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與 x 軸的交點(diǎn)，與 y 軸的交點(diǎn) .
③ 二次函數(shù) y = ax2 ( a ≠ 0 ) 的圖象的性質(zhì)
頂點(diǎn)決定拋物線(xiàn)的位置 .
幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，
只是頂點(diǎn)的位置不同.
│a│相同，拋物線(xiàn)的開(kāi)口大小、形狀相同.
│a│越大，開(kāi)口越小，圖象兩邊越靠近 y 軸，│a│越小，開(kāi)口越大，圖象兩邊越靠近 x 軸 .
4、二次函數(shù) y = ax2 + c ( a ≠ 0 ) 的圖象及性質(zhì)
① 二次函數(shù) y = ax2 + c ( a ≠ 0 ) 的圖象
（1） a > 0
（2） a < 0
② 二次函數(shù) y = ax2 + c ( a ≠ 0 ) 的圖象的性質(zhì)
【典型例題】
類(lèi)型一、二次函數(shù)的概念
【例題1】
此題根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的定義，確定 m 的值．
(1) 題關(guān)鍵要考慮兩點(diǎn)：一是自變量的最高次數(shù)，二是最高次項(xiàng)系數(shù)不為零．
(2) 題運(yùn)用了分類(lèi)討論思想，討論時(shí)應(yīng)防止重復(fù)和遺漏．
類(lèi)型二、二次函數(shù) y = ax2（a ≠ 0）的圖象及性質(zhì)
【例題2】
分別在 △A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…中，運(yùn)用勾股定理分別表示出 B1、B2、B3的坐標(biāo)，
利用拋物線(xiàn)解析式建立等式，分別求出 △A0A1B1，△A1A2B2，△A2A3B3 的邊長(zhǎng)，
然后探究規(guī)律，求出 △A2012A2013B2013 的邊長(zhǎng)．
類(lèi)型三、二次函數(shù) y = ax2 + c ( a ≠ 0 ) 的圖象及性質(zhì)
【例題3】有一個(gè)拋物線(xiàn)形的拱形隧道，隧道的最大高度為 6 m，跨度為 8 m，
把它放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中．
（1）求這條拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若要在隧道壁上點(diǎn) P（如圖）安裝一盞照明燈，燈離地面高 4.5 m．
求燈與點(diǎn) B 的距離．
本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．
此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．
（1）根據(jù)拋物線(xiàn)在坐標(biāo)系的位置可設(shè)解析式：y = ax2+6，把點(diǎn)A（-4，0）代入即可；
（2）燈離地面高 4.5 m，即 y=4.5 時(shí)，求 x 的值，再根據(jù) P 點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理求 PB 的值.
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