拋物線壓軸題
（2016·湘西州）如圖，長方形OABC的OA邊在x軸的正半軸上，OC在y軸的正半軸上，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過點B（1，4）和點E（3，0）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點D在線段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D點的坐標(biāo)；
（3）在條件（2）下，在拋物線的對稱軸上找一點M，使得△BDM的周長為最小，并求△BDM周長的最小值及此時點M的坐標(biāo)；
（4）在條件（2）下，從B點到E點這段拋物線的圖象上，是否存在一個點P，使得△PAD的面積最大？若存在，請求出△PAD面積的最大值及此時P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（1）將點B（1，4），E（3，0）的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得到關(guān)于a、b的方程組，求得a、b的值，從而可得到拋物線的解析式；
（2）依據(jù)同角的余角相等證明∠BDC=∠DE0，然后再依據(jù)AAS證明△BDC≌△DEO（即：一線三等角），從而得到OD=AO=1，于是可求得點D的坐標(biāo)；
（3）將軍飲馬問題：
作點D關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點D′，連接D′B交拋物線的對稱軸與點M．先求得拋物線的對稱軸方程，從而得到點B′的坐標(biāo)，由軸對稱的性質(zhì)可知當(dāng)點B、M、D′在一條直線上時，△BMD的周長有最小值，依據(jù)兩點間的距離公式求得BD和BD′的長度，從而得到三角形的周長最小值，然后依據(jù)待定系數(shù)法求得直線D′B的解析式，然后將點M的橫坐標(biāo)代入可求得點M的縱坐標(biāo)；
（4）提供四種思路：
方法一：過點P作PG⊥x軸，垂足為G．設(shè)點P（a，-2a2+6a），則OG=a，PG=-2a2+6a．然后依據(jù)S△PAD=S梯形DOGP-S△ODA-S△AGP的三角形的面積與a的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可，如下圖法一。
方法二：如上圖法二，連接OP．設(shè)點P（a，-2a2+6a），則OG=a，PG=-2a2+6a．然后依據(jù)S△PAD=S△POD+S△POA-S△OAD得到面積與a的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可。
方法三：鉛垂線法。過P作x軸的垂線，交直線AD于點Q，則：
方法四：平行線法。過P作底邊AD的平行線PN交y軸于N，則PN的解析式y(tǒng)=kx+b中的k與AD解析式的k相同。當(dāng)直線PN與拋物線僅有一個公共點（即聯(lián)立直線PN和拋物線解析式，消元后的一元二次方程有二等根，即△=0）時，面積最大，依據(jù)△=0，得到直線待定系數(shù)b。面積等于△ADN，ND為底，OA為高，面積易求。
參考解答
（4）今日打印題目沒有此問，因此粘貼原題解析于此。僅給出方法一的求解過程如下：
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