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2008

海明碼是一種多重(復(fù)式)奇偶檢錯(cuò)系統(tǒng)。它將信息用邏輯形式編碼，以便能夠檢錯(cuò)和糾錯(cuò)。用在海明碼中的全部傳輸碼字是由原來的信息和附加的奇偶校驗(yàn)位組成的。每一個(gè)這種奇偶位被編在傳輸碼字的特定位置上。實(shí)現(xiàn)得合適時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)對(duì)于錯(cuò)誤的數(shù)位無論是原有信息位中的，還是附加校驗(yàn)位中的都能把它分離出來。 

推導(dǎo)并使用長度為m位的碼字的海明碼，所需步驟如下： 

1、確定最小的校驗(yàn)位數(shù)k，將它們記成D1、D2、…、Dk，每個(gè)校驗(yàn)位符合不同的奇偶測(cè)試規(guī)定。 

2、原有信息和k個(gè)校驗(yàn)位一起編成長為m+k位的新碼字。選擇k校驗(yàn)位（0或1）以滿足必要的奇偶條件。 

3、對(duì)所接收的信息作所需的k個(gè)奇偶檢查。 

4、如果所有的奇偶檢查結(jié)果均為正確的，則認(rèn)為信息無錯(cuò)誤。 

如果發(fā)現(xiàn)有一個(gè)或多個(gè)錯(cuò)了，則錯(cuò)誤的位由這些檢查的結(jié)果來唯一地確定。 

校驗(yàn)位數(shù)的位數(shù) 

推求海明碼時(shí)的一項(xiàng)基本考慮是確定所需最少的校驗(yàn)位數(shù)k?？紤]長度為m位的信息，若附加了k個(gè)校驗(yàn)位，則所發(fā)送的總長度為m+k。在接收器中要進(jìn)行k個(gè)奇偶檢查，每個(gè)檢查結(jié)果或是真或是偽。這個(gè)奇偶檢查的結(jié)果可以表示成一個(gè)k位的二進(jìn)字，它可以確定最多2k種不同狀態(tài)。 這些狀態(tài)中必有一個(gè)其所有奇偶測(cè)試試都是真的，它便是判定信息正確的條件。于是剩下的（2^k-1）種狀態(tài)，可以用來判定誤碼的位置。于是導(dǎo)出下一關(guān)系： 

2^k-1≥m+k 

碼字格式 

從理論上講，校驗(yàn)位可放在任何位置，但習(xí)慣上校驗(yàn)位被安排在1、2、4、8、…的位置上。 

圖5列出了m=4，k=3時(shí)，信息位和校驗(yàn)位的分布情況。 

圖5 海明碼中校驗(yàn)位和信息位的定位 

循環(huán)冗余校驗(yàn)碼（Cyclic Redundancy Check CRC)是常用的校驗(yàn)碼，在早期的通信中運(yùn)用廣泛，因?yàn)樵缙诘耐ㄐ偶夹g(shù)不夠可靠（不可靠性的來源是通信技術(shù)決定的，比如電磁波通信時(shí)受雷電等因素的影響），不可靠的通信就會(huì)帶來‘確認(rèn)信息’的困惑，書上提到紅軍和藍(lán)軍通信聯(lián)合進(jìn)攻山下的敵軍的例子，第一天紅軍發(fā)了條信息要藍(lán)軍第二天一起進(jìn)攻，藍(lán)軍收到之后，發(fā)一條確認(rèn)信息，但是藍(lán)軍擔(dān)心的是‘確認(rèn)信息’如果也不可靠而沒有成功到達(dá)紅軍那里，那自己不是很危險(xiǎn)？于是紅軍再發(fā)一條‘對(duì)確認(rèn)的確認(rèn)信息’，但同樣的問題還是不能解決，紅軍仍然不敢冒然行動(dòng)。

對(duì)通信的可靠性檢查就需要‘校驗(yàn)’，校驗(yàn)是從數(shù)據(jù)本身進(jìn)行檢查，它依靠某種數(shù)學(xué)上約定的形式進(jìn)行檢查，校驗(yàn)的結(jié)果是可靠或不可靠，如果可靠就對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，如果不可靠，就丟棄重發(fā)或者進(jìn)行修復(fù)。

CRC碼是由兩部分組成，前部分是信息碼，就是需要校驗(yàn)的信息，后部分是校驗(yàn)碼，如果CRC碼共長n個(gè)bit，信息碼長k個(gè)bit，就稱為(n,k)碼。 它的編碼規(guī)則是：

首先將原信息碼(kbit)左移r位(k+r=n)
運(yùn)用一個(gè)生成多項(xiàng)式g(x)（也可看成二進(jìn)制數(shù)）用模2除上面的式子，得到的余數(shù)就是校驗(yàn)碼。
非常簡單，要說明的：模2除就是在除的過程中用模2加，模2加實(shí)際上就是我們熟悉的異或運(yùn)算，就是加法不考慮進(jìn)位，公式是：

 0+0=1+1=0,1+0=0+1=1
即‘異’則真，‘非異’則假。

由此得到定理：a+b+b=a 也就是‘模2減’和‘模2加’直值表完全相同。

有了加減法就可以用來定義模2除法，于是就可以用生成多項(xiàng)式g(x)生成CRC校驗(yàn)碼。

例如： g(x)=x4+x3+x2+1,(7,3)碼,信息碼110產(chǎn)生的CRC碼就是：

          101
11101 | 110,0000

        111 01
        
        1 0100
        
        1 1101
          
        1001
余數(shù)是1001，所以CRC碼是110,1001

標(biāo)準(zhǔn)的CRC碼是，CRC-CCITT和CRC-16，它們的生成多項(xiàng)式是：

CRC-CCITT=x16+x12+x5+1
CRC-16=x16+x15+x2+1

校驗(yàn)位的確定 

下面為我增加，意在提出編碼方法以助理解（但編碼是否主要標(biāo)準(zhǔn)不可知）

每行的值等于數(shù)值為1的各位碼相異或。

如m=4,k=3.數(shù)據(jù)位前三行，校驗(yàn)位為后三行。即

A=p₁⊕D₁⊕D₃⊕D₄=0 得P₁=D₁⊕D₃⊕D₄

B=P₂⊕D₂⊕D₃⊕D₄=0 得P₂=D₂⊕D₃⊕D₄

C=P₃⊕D₁⊕D₂⊕D₃⊕D₄=0 得P₃=D₁⊕D₂⊕D₃⊕D_{4           以下計(jì)算訪求同下}

k個(gè)校驗(yàn)位是通過對(duì)m+k位復(fù)合碼字進(jìn)行奇偶校驗(yàn)而確定的。

其中：P₁位負(fù)責(zé)校驗(yàn)海明碼的第1、3、5、7、…（P₁、D₁、D₂、D₄、…）位，（包括P₁自己）

P₂負(fù)責(zé)校驗(yàn)海明碼的第2、3、6、7、…（P₂、D₁、D₃、D₄、…）位，（包括P₂自己）

P₃負(fù)責(zé)校驗(yàn)海明碼的第4、5、6、7、…（P₃、D₂、D₃、D₄、…）位，（包括P₃自己）

對(duì)m=4，k=3，偶校驗(yàn)的例子，只要進(jìn)行式次偶性測(cè)試。這些測(cè)試（以A、B、C表示）在圖6所示各位的位置上進(jìn)行。

圖6 奇偶校驗(yàn)位置

因此可得到三個(gè)校驗(yàn)方程及確定校驗(yàn)位的三個(gè)公式：

A=B₁⊕B₃⊕B₅⊕B₇=0 得P₁=D₁⊕D₂⊕D₄

B=B₂⊕B₃⊕B₆⊕B₇=0 得P₂=D₁⊕D₃⊕D₄

C=B₄⊕B₅⊕B₆⊕B₇=0 得P₃=D₂⊕D₃⊕D₄

若四位信息碼為1001，利用這三個(gè)公式可求得三個(gè)校驗(yàn)位P₁、P₂、P₃值。和海明碼， 

上面是發(fā)送方的處理

在接收方，也可根據(jù)這三個(gè)校驗(yàn)方程對(duì)接收到的信息進(jìn)行同樣的奇偶測(cè)試：

A=B₁⊕B₃⊕B₅⊕B₇=0；

B=B₂⊕B₃⊕B₆⊕B₇=0；

C=B₄⊕B₅⊕B₅⊕B₇=0。

若三個(gè)校驗(yàn)方程都成立,即方程式右邊都等于0，則說明沒有錯(cuò)。若不成立即方程式右邊不等于0，說明有錯(cuò)。從三個(gè)方程式右邊的值，可以判斷那一位出錯(cuò)。例如，如果第3位數(shù)字反了，則C=0(此方程沒有B₃），A=B=1（這兩個(gè)方程有B₃）?？蓸?gòu)成二進(jìn)數(shù)CBA，以A為最低有效位，則錯(cuò)誤位置就可簡單地用二進(jìn)數(shù)CBA=011指出。

同樣，若三個(gè)方程式右邊的值為001，說明第1位出錯(cuò)。若三個(gè)方程式右邊的值為100，說明第4位出錯(cuò)。

海明碼的碼距應(yīng)該是3，所以能糾正1位出錯(cuò)。而奇偶校驗(yàn)碼的碼距才是2，只能發(fā)現(xiàn)1位出錯(cuò)，但不能糾正（不知道那一位錯(cuò)）。無校驗(yàn)的碼距是1，它出任何一位出錯(cuò)后還是合法代碼，所以也就無法發(fā)現(xiàn)出錯(cuò)。 

這是關(guān)于海明碼的經(jīng)典說法，即碼距為3，可以發(fā)現(xiàn)2位，或者糾正1位錯(cuò)。應(yīng)滿足2^k-1≥m+k。 

但在清華的王愛英主編的《計(jì)算機(jī)組成與結(jié)構(gòu)》（該書已成為國內(nèi)的權(quán)威）中還提出了一種碼距為4的海明碼，可以發(fā)現(xiàn)2位，并且糾正1位錯(cuò)。應(yīng)滿足2^(k-1)≥m+k。 

由于王愛英書上對(duì)這兩種概念沒有很仔細(xì)解釋（特別對(duì)碼距為3的海明碼），過渡很突然。有些書簡單抄襲時(shí)沒有仔細(xì)消化，所以出現(xiàn)一些概念錯(cuò)。對(duì)于一般碼距為3的海明碼，應(yīng)該是“可以發(fā)現(xiàn)2位，或者糾正1位錯(cuò)”，而不是“可以發(fā)現(xiàn)2位，并且糾正1位錯(cuò)”。在試題中出現(xiàn)過類似的錯(cuò)誤。 

若四位信息碼為1001，利用這三個(gè)公式可求得三個(gè)校驗(yàn)位P₁、P₂、P₃值。和海明碼，如圖7則表示了信息碼為1001時(shí)的海明碼編碼的全部情況。而圖8中則列出了全部16種信息（D₁D₂D₃D₄=0000～1111）的海明碼。

圖7 四位信息碼的海明編碼 

圖8 未編碼信息的海明碼

上面是發(fā)送方的處理

在接收方，也可根據(jù)這三個(gè)校驗(yàn)方程對(duì)接收到的信息進(jìn)行同樣的奇偶測(cè)試：

A=B₁⊕B₃⊕B₅⊕B₇=0；

B=B₂⊕B₃⊕B₆⊕B₇=0；

C=B₄⊕B₅⊕B₅⊕B₇=0。

若三個(gè)校驗(yàn)方程都成立,即方程式右邊都等于0，則說明沒有錯(cuò)。若不成立即方程式右邊不等于0，說明有錯(cuò)。從三個(gè)方程式右邊的值，可以判斷那一位出錯(cuò)。例如，如果第3位數(shù)字反了，則C=0(此方程沒有B₃），A=B=1（這兩個(gè)方程有B₃）。可構(gòu)成二進(jìn)數(shù)CBA，以A為最低有效位，則錯(cuò)誤位置就可簡單地用二進(jìn)數(shù)CBA=011指出。

同樣，若三個(gè)方程式右邊的值為001，說明第1位出錯(cuò)。若三個(gè)方程式右邊的值為100，說明第4位出錯(cuò)。

海明碼的碼距應(yīng)該是3，所以能糾正1位出錯(cuò)。而奇偶校驗(yàn)碼的碼距才是2，只能發(fā)現(xiàn)1位出錯(cuò)，但不能糾正（不知道那一位錯(cuò)）。無校驗(yàn)的碼距是1，它出任何一位出錯(cuò)后還是合法代碼，所以也就無法發(fā)現(xiàn)出錯(cuò)。 

這是關(guān)于海明碼的經(jīng)典說法，即碼距為3，可以發(fā)現(xiàn)2位，或者糾正1位錯(cuò)。應(yīng)滿足2^k-1≥m+k。 

循環(huán)冗余校驗(yàn)碼（Cyclic Redundancy Check CRC)是常用的校驗(yàn)碼，在早期的通信中運(yùn)用廣泛，因?yàn)樵缙诘耐ㄐ偶夹g(shù)不夠可靠（不可靠性的來源是通信技術(shù)決定的，比如電磁波通信時(shí)受雷電等因素的影響），不可靠的通信就會(huì)帶來‘確認(rèn)信息’的困惑，書上提到紅軍和藍(lán)軍通信聯(lián)合進(jìn)攻山下的敵軍的例子，第一天紅軍發(fā)了條信息要藍(lán)軍第二天一起進(jìn)攻，藍(lán)軍收到之后，發(fā)一條確認(rèn)信息，但是藍(lán)軍擔(dān)心的是‘確認(rèn)信息’如果也不可靠而沒有成功到達(dá)紅軍那里，那自己不是很危險(xiǎn)？于是紅軍再發(fā)一條‘對(duì)確認(rèn)的確認(rèn)信息’，但同樣的問題還是不能解決，紅軍仍然不敢冒然行動(dòng)。

對(duì)通信的可靠性檢查就需要‘校驗(yàn)’，校驗(yàn)是從數(shù)據(jù)本身進(jìn)行檢查，它依靠某種數(shù)學(xué)上約定的形式進(jìn)行檢查，校驗(yàn)的結(jié)果是可靠或不可靠，如果可靠就對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，如果不可靠，就丟棄重發(fā)或者進(jìn)行修復(fù)。

CRC碼是由兩部分組成，前部分是信息碼，就是需要校驗(yàn)的信息，后部分是校驗(yàn)碼，如果CRC碼共長n個(gè)bit，信息碼長k個(gè)bit，就稱為(n,k)碼。 它的編碼規(guī)則是：

首先將原信息碼(kbit)左移r位(k+r=n)
運(yùn)用一個(gè)生成多項(xiàng)式g(x)（也可看成二進(jìn)制數(shù)）用模2除上面的式子，得到的余數(shù)就是校驗(yàn)碼。
非常簡單，要說明的：模2除就是在除的過程中用模2加，模2加實(shí)際上就是我們熟悉的異或運(yùn)算，就是加法不考慮進(jìn)位，公式是：

 0+0=1+1=0,1+0=0+1=1
即‘異’則真，‘非異’則假。

由此得到定理：a+b+b=a 也就是‘模2減’和‘模2加’直值表完全相同。

有了加減法就可以用來定義模2除法，于是就可以用生成多項(xiàng)式g(x)生成CRC校驗(yàn)碼。

例如： g(x)=x4+x3+x2+1,(7,3)碼,信息碼110產(chǎn)生的CRC碼就是：

          101
11101 | 110,0000

        111 01
        
        1 0100
        
        1 1101
     

奇偶校驗(yàn)碼是奇校驗(yàn)碼和偶校驗(yàn)碼的統(tǒng)稱，是一種最基本的檢錯(cuò)碼。它是由n-1位信息元和1位校驗(yàn)元組成，可以表示成為（n，n-1）。如果是奇校驗(yàn)碼，在附加上一個(gè)校驗(yàn)元以后，碼長為n的碼字中“1”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)；如果是偶校驗(yàn)碼，在附加上一個(gè)校驗(yàn)元以后，碼長為n的碼字中“1”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)個(gè)。設(shè)：如果一個(gè)偶校驗(yàn)碼的碼字用A=[an-1,an-2,…，a1,a0]表示，則：

式中 為校驗(yàn)元，“+”為模二和（以后也這樣表示，請(qǐng)注意）。式（1）通常被稱為校驗(yàn)方程。利用式（1），由信息元即可求出校驗(yàn)元。另外，如果發(fā)生單個(gè)（或奇數(shù)個(gè)）錯(cuò)誤，就會(huì)破壞這個(gè)關(guān)系式，因此通過該式能檢測(cè)碼字中是否發(fā)生了單個(gè)或奇數(shù)個(gè)錯(cuò)誤。

奇偶校驗(yàn)碼是一種有效地檢測(cè)單個(gè)錯(cuò)誤的方法，之所以將注意力集中在檢（或糾）單個(gè)錯(cuò)，這主要是因?yàn)榇a字中發(fā)生單個(gè)錯(cuò)誤的概率要比發(fā)生2個(gè)或多個(gè)錯(cuò)誤的概率大得多。例如，n = 5的碼字，如果碼字中各碼元的錯(cuò)誤是互相獨(dú)立，誤碼率為10-4，則錯(cuò)1、2、3、4和5位的概率分別為：5×10-4、10-7、10-11、10-16和10-20。由此可見，要檢（或糾）錯(cuò)誤，首先要解決單個(gè)錯(cuò)誤，這樣才抓住了主要矛盾。一般情況下用上述偶校驗(yàn)碼來檢出單個(gè)錯(cuò)誤，檢錯(cuò)效果是令人滿意的，不僅如此，奇偶校驗(yàn)碼的編碼效率很高，R=(n-1)/n，隨n增大而趨近于1。下面就給出以碼長n＝5為例，利用表1列出全部偶校驗(yàn)碼字.

在數(shù)字信息傳輸中，奇偶校驗(yàn)碼的編碼可以用軟件實(shí)現(xiàn)，也可用硬件電路實(shí)現(xiàn)。圖8-4(a)就是碼長為5的偶校驗(yàn)碼編碼器。從圖中可以看到，4位碼元長的信息組，串行送入四級(jí)移位寄存器（輸入定時(shí)緩沖器），同時(shí)經(jīng)模二運(yùn)算得到校驗(yàn)元，存入輸出緩沖器末級(jí)，編碼完成即可輸出碼字。接收端的檢錯(cuò)電路如圖1(b)所示。當(dāng)一個(gè)接收碼組B完全進(jìn)入五級(jí)移存器內(nèi)時(shí)，開關(guān)S立即接通，從而得到檢錯(cuò)信號(hào)M=b4+b3+b2+b1+b0。如果接收碼組B無錯(cuò)，B＝A，則M＝0；如果接收碼組B有單個(gè)（或奇數(shù)個(gè)）錯(cuò)誤，則M＝1。

      
        1001
余數(shù)是1001，所以CRC碼是110,1001

標(biāo)準(zhǔn)的CRC碼是，CRC-CCITT和CRC-16，它們的生成多項(xiàng)式是：

CRC-CCITT=x16+x12+x5+1
CRC-16=x16+x15+x2+1