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2015

矩陣的各種范數(shù)

1.     n = norm(A,1) %求A的列范數(shù)，等于A的列向量的1-范數(shù)的最大值。

2.     n = norm(A,2) %求A的歐幾里德范數(shù)，和norm(A)相同。

3.     n = norm(A,inf) %求行范數(shù)，等于A的行向量的1-范數(shù)的最大值即：max(sum(abs(A')))。

4.     n = norm(A, 'fro' ) %求矩陣A的Frobenius范數(shù)，矩陣元p階范數(shù)估計(jì)需要自己編程求，

1.     1-范數(shù)：，列和范數(shù)，即所有矩陣列向量絕對(duì)值之和的最大值，matlab調(diào)用函數(shù)norm(A,1)。

2.     2-范數(shù)：，譜范數(shù)，即A'A矩陣的最大特征值的開平方。matlab調(diào)用函數(shù)norm(x,2)。

3.     ∞-范數(shù)：，行和范數(shù)，即所有矩陣行向量絕對(duì)值之和的最大值，matlab調(diào)用函數(shù)norm(A,inf)。

4.     F-范數(shù)：，Frobenius范數(shù)，即矩陣元素絕對(duì)值的平方和再開平方，matlab調(diào)用函數(shù)norm(A,’fro‘)。

例子

（1）      1范數(shù)   norm(a,1)=max(sum(abs(a)))

a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

a =

    1     2     3

    4     5     6

    7     8     9

norm(a,1)

ans =

   18

>> sum(abs(a))

ans =

   12    15    18

>> max(ans)

ans =

   18

（2）2范數(shù)

>> norm(a)

ans =

  16.8481

>> norm(a,2)

ans =

  16.8481

[V S]=eig(a'*a)

V =

  -0.4082   -0.7767    0.4797

   0.8165   -0.0757    0.5724

  -0.4082    0.6253    0.6651

S =

   0.0000         0         0

        0    1.1414         0

        0         0  283.8586

>> sqrt(S)

ans =

   0.0000         0         0

        0    1.0684         0

        0         0   16.8481

（3）∞-范數(shù)    norm(a,inf)=max(sum(abs(a),2)）                               

norm(a,inf)

ans =

24

sum(abs(a),2)

ans =

    6

   15

24

(4) F-范數(shù)         norm(a,'fro')=sqrt(sum(sum(abs(a).^2)))

norm(a,'fro')

ans =

  16.8819

>> sum(sum(abs(a).^2))

ans =

  285

>> sqrt(ans)

ans =

  16.8819