數(shù)學(xué)，顧名思義是研究數(shù)的科學(xué)。人類很早就認識了自然數(shù)1,2,3,…，進而知道整數(shù)、分數(shù)及其運算的性質(zhì)。在歐幾里得的《原本》中已經(jīng)知道素數(shù)以及任何正整數(shù)可以唯一分解成素數(shù)因子的乘積。經(jīng)過長期的實踐，人們總結(jié)出數(shù)的一些經(jīng)驗規(guī)律，其中著名的有哥德巴赫猜想，即偶數(shù)（≥6）都可以表示為兩個素數(shù)之和，奇數(shù)（≥9）都可以表示為三個素數(shù)之和。與這個猜想有關(guān)的是孿生素數(shù)問題。所謂孿生素數(shù)就是相差為2的素數(shù)對，例如3與5，11與13，17與19等等。孿生素數(shù)問題就是問：孿生素數(shù)是否有無窮多？另一個是英國數(shù)學(xué)家華林問題。華林在他的著作《代數(shù)的思考》（1770）中，猜想任何正整數(shù)都可以表示為不超過9個立方數(shù)之和，也可以表示為不超過19個四次方數(shù)之和。更一般來講，對于任何κ，任何正整數(shù)都可以表示為不超過g（κ）個κ次方數(shù)之和。
另外一個問題是素數(shù)定理，也就是素數(shù)的分布狀況如何，或者說不超過某個數(shù)N的素數(shù)數(shù)目π（N）是多少。用簡單的篩法可知π（10）＝4，也就是不超過10的素數(shù)有4個，即2,3,5,7。同樣π（100）＝25，π（1000）＝168，…，但是素數(shù)有無窮多，而且在正整數(shù)里的分布越來越稀，也就是總能找到兩個素數(shù)，它們之差可以是1000，10000，或者任意大的偶數(shù)，而且這1000，10000，…個數(shù)之間沒有別的素數(shù)；同時素數(shù)的分布也很不均勻，有的地方素數(shù)很密很多，有的地方很稀很少。數(shù)學(xué)家為了表示素數(shù)的分布，采用漸近公式，即當N很大很大時，有
這就是素數(shù)定理。
除了素數(shù)在所有自然數(shù)中的分布之外，是否等差級數(shù)a＋bn（a,b為兩個固定的互素的正整數(shù)，n＝l,2,3,…）里都有無窮多個素數(shù)？德國數(shù)學(xué)家狄里克雷為了證明這點，引進L函數(shù)
完成了這個證明，從而開拓了解析數(shù)論這一新分支。后來德國數(shù)學(xué)家黎曼提出著名的ζ函數(shù)
其中s＝σ十it。他猜想ζ（s）的零點除了明顯的以外，都落在σ＝1/2這條直線上。這個著名的黎曼的猜想一直是解析數(shù)論的核心問題。
由于復(fù)變函數(shù)論的巨大進展，兩位數(shù)學(xué)家成功地證明了素數(shù)定理，這是解析數(shù)論的巨大成功。
1908年希爾伯特用分析方法解決了華林問題，證明了g（κ）的存在。但是他的方法并沒有給出g（κ）的具體數(shù)值。其后英國數(shù)學(xué)家哈代和李特爾伍德創(chuàng)造了圓法，可以估計g（κ）的數(shù)值。其后經(jīng)過許多數(shù)學(xué)家的努力，到1986年基本定出所有g(shù)（κ）的值。原來的華林問題基本解決。蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫改進了圓法，發(fā)展了三角和法，大大改進了推廣的華林問題的g（κ）估值。而且，在1937年，成功地解決了奇數(shù)的哥德巴赫猜想。我國數(shù)學(xué)家華羅庚對這些方法作了重大改進。對于哥德巴赫猜想，還發(fā)展了一些初等方法，特別是篩法和密率法。但是這個猜想的全部解決仍有待方法的進一步改進。
希爾伯特在1900年提出的著名的23個問題中除了素數(shù)的第八問題之外，還有關(guān)于超越數(shù)的第七問題。其中問像
之類的數(shù)是否超越數(shù)。一個數(shù)如果滿足有理系數(shù)的代數(shù)方程，就叫做代數(shù)數(shù)。不是代數(shù)數(shù)的數(shù)就稱為超越數(shù)。這種問題很難，一直到1882年才證明圓周率π是超越數(shù)。希爾伯特曾對他的第七問題的解決很悲觀，認為黎曼猜想的解決要比這個問題容易。不料情況恰恰相反。1929年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家蓋爾芳德取得了突破，不久就解決了第七問題。近年來超越數(shù)論取得了重大的進展，并解決一系列經(jīng)典問題，比如人們很早猜想ab－ba＝1只有唯一一組解32－23＝1，一直到1977年才由于超越數(shù)論的進展而得到基本解決。
作者：李佩珊 許良英 主編
出處：《20世紀科學(xué)技術(shù)簡史》（科學(xué)出版社1999年第二版）
授權(quán)方：科學(xué)出版社
