美國數(shù)學本科生，研究生基礎(chǔ)課程參考書目
第一學年
幾何與拓撲：
1、James R. Munkres, Topology：較新的拓撲學的教材適用于本科高年級或研究生一年級；
2、Basic Topology by Armstrong：本科生拓撲學教材；
3、Kelley, General Topology：一般拓撲學的經(jīng)典教材，不過觀點較老；
4、Willard, General Topology：一般拓撲學新的經(jīng)典教材；
5、Glen Bredon, Topology and geometry：研究生一年級的拓撲、幾何教材；
6、Introduction to Topological Manifolds by John M. Lee：研究生一年級的拓撲、幾何教材，是一本新書；
7、From calculus to cohomology by Madsen：很好的本科生代數(shù)拓撲、微分流形教材。
代數(shù)：
1、Abstract Algebra Dummit：最好的本科代數(shù)學參考書，標準的研究生一年級代數(shù)教材；
2、Algebra Lang：標準的研究生一、二年級代數(shù)教材，難度很高，適合作參考書；
3、Algebra Hungerford：標準的研究生一年級代數(shù)教材，適合作參考書；
4、Algebra M,Artin：標準的本科生代數(shù)教材；
5、Advanced Modern Algebra by Rotman：較新的研究生代數(shù)教材，很全面；
6、Algebra：a graduate course by Isaacs：較新的研究生代數(shù)教材；
7、Basic algebra Vol I&II by Jacobson：經(jīng)典的代數(shù)學全面參考書，適合研究生參考。
分析基礎(chǔ)：
1、Walter Rudin, Principles of mathematical analysis：本科數(shù)學分析的標準參考書；
2、Walter Rudin, Real and complex analysis：標準的研究生一年級分析教材；
3、Lars V. Ahlfors, Complex analysis：本科高年級和研究生一年級經(jīng)典的復分析教材；
4、Functions of One Complex Variable I，J.B.Conway：研究生級別的單變量復分析經(jīng)典；
5、Lang, Complex analysis：研究生級別的單變量復分析參考書；
6、Complex Analysis by Elias M. Stein：較新的研究生級別的單變量復分析教材；
7、Lang, Real and Functional analysis：研究生級別的分析參考書；
8、Royden, Real analysis：標準的研究生一年級實分析教材；
9、Folland, Real analysis：標準的研究生一年級實分析教材。
第二學年
代數(shù)：
1、Commutative ring theory, by H. Matsumura：較新的研究生交換代數(shù)標準教材；
2、Commutative Algebra I&II by Oscar Zariski , Pierre Samuel：經(jīng)典的交換代數(shù)參考書；
3、An introduction to Commutative Algebra by Atiyah：標準的交換代數(shù)入門教材；
4、An introduction to homological algebra ,by weibel：較新的研究生二年級同調(diào)代數(shù)教材；
5、A Course in Homological Algebra by P.J.Hilton,U.Stammbach：經(jīng)典全面的同調(diào)代數(shù)參考書；
6、Homological Algebra by Cartan：經(jīng)典的同調(diào)代數(shù)參考書；
7、Methods of Homological Algebra by Sergei I. Gelfand, Yuri I. Manin：高級、經(jīng)典的同調(diào)代數(shù)參考書；
8、Homology by Saunders Mac Lane：經(jīng)典的同調(diào)代數(shù)系統(tǒng)介紹；
9、Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry by Eisenbud：高級的代數(shù)幾何、交換代數(shù)的參考書，最新的交換代數(shù)全面參考。
代數(shù)拓撲：
1、Algebraic Topology, A. Hatcher：最新的研究生代數(shù)拓撲標準教材；
2、Spaniers “Algebraic Topology”：經(jīng)典的代數(shù)拓撲參考書；
3、Differential forms in algebraic topology, by Raoul Bott and Loring W. Tu：研究生代數(shù)拓撲標準教材；
4、Massey, A basic course in Algebraic topology：經(jīng)典的研究生代數(shù)拓撲教材；
5、Fulton , Algebraic topology：a first course：很好本科生高年級和研究生一年級的代數(shù)拓撲參考書；
6、Glen Bredon, Topology and geometry：標準的研究生代數(shù)拓撲教材，有相當篇幅講述光滑流形；
7、Algebraic Topology Homology and Homotopy：高級、經(jīng)典的代數(shù)拓撲參考書；
8、A Concise Course in Algebraic Topology by J.P.May：研究生代數(shù)拓撲的入門教材，覆蓋范圍較廣；
9、Elements of Homotopy Theory by G.W. Whitehead：高級、經(jīng)典的代數(shù)拓撲參考書。
實分析、泛函分析：
1、Royden, Real analysis：標準研究生分析教材；
2、Walter Rudin, Real and complex analysis：標準研究生分析教材；
3、Halmos，”Measure Theory”：經(jīng)典的研究生實分析教材，適合作參考書；
4、Walter Rudin, Functional analysis：標準的研究生泛函分析教材；
5、Conway,A course of Functional analysis：標準的研究生泛函分析教材； 6、Folland, Real analysis：標準研究生實分析教材；
7、Functional Analysis by Lax：高級的研究生泛函分析教材；
8、Functional Analysis by Yoshida：高級的研究生泛函分析參考書；
9、Measure Theory, Donald L. Cohn：經(jīng)典的測度論參考書。
微分拓撲 李群、李代數(shù)
1、Hirsch, Differential topology：標準的研究生微分拓撲教材，有相當難度；
2、Lang, Differential and Riemannian manifolds：研究生微分流形的參考書，難度較高；
3、Warner,Foundations of Differentiable manifolds and Lie groups：標準研究生微分流形教材，有相當?shù)钠v述李群；
4、Representation theory: a first course, by W. Fulton and J. Harris：李群及其表示論標準教材；
5、Lie groups and algebraic groups, by A. L. Onishchik, E. B. Vinberg：李群的參考書；
6、Lectures on Lie Groups W.Y.Hsiang：李群的參考書；
7、Introduction to Smooth Manifolds by John M. Lee：較新的關(guān)于光滑流形的標準教材；
8、Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representation by V.S. Varadarajan：最重要的李群、李代數(shù)參考書；
9、Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , SpringerVerlag, GTM9：標準的李代數(shù)入門教材。
第三學年
微分幾何：
1、Peter Petersen, Riemannian Geometry：標準的黎曼幾何教材；
2、Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature by John M. Lee：最新的黎曼幾何教材；
3、doCarmo, Riemannian Geometry.：標準的黎曼幾何教材；
4、M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I—V：全面的微分幾何經(jīng)典，適合作參考書；
5、Helgason , Differential Geometry,Lie groups,and symmetric spaces：標準的微分幾何教材；
6、Lang, Fundamentals of Differential Geometry：最新的微分幾何教材，很適合作參考書；
7、kobayashi/nomizu, Foundations of Differential Geometry：經(jīng)典的微分幾何參考書；
8、Boothby,Introduction to Differentiable manifolds and Riemannian Geometry：標準的微分幾何入門教材，主要講述微分流形；
9、Riemannian Geometry I.Chavel：經(jīng)典的黎曼幾何參考書；
10、Dubrovin, Fomenko, Novikov “Modern geometry-methods and applications”Vol 1—3：經(jīng)典的現(xiàn)代幾何學參考書。
代數(shù)幾何：
1、Harris,Algebraic Geometry: a first course：代數(shù)幾何的入門教材；
2、Algebraic Geometry Robin Hartshorne ：經(jīng)典的代數(shù)幾何教材，難度很高；
3、Basic Algebraic Geometry 1&2 2nd ed. I.R.Shafarevich.：非常好的代數(shù)幾何入門教材；
4、Principles of Algebraic Geometry by giffiths/harris：全面、經(jīng)典的代數(shù)幾何參考書，偏復代數(shù)幾何；
5、Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry by Eisenbud：高級的代數(shù)幾何、交換代數(shù)的參考書，最新的交換代數(shù)全面參考；
6、The Geometry of Schemes by Eisenbud：很好的研究生代數(shù)幾何入門教材；
7、The Red Book of Varieties and Schemes by Mumford：標準的研究生代數(shù)幾何入門教材；
8、Algebraic Geometry I : Complex Projective Varieties by David Mumford：復代數(shù)幾何的經(jīng)典。
調(diào)和分析 偏微分方程
1、An Introduction to Harmonic Analysis,Third Edition Yitzhak Katznelson：調(diào)和分析的標準教材，很經(jīng)典；
2、Evans, Partial differential equations：偏微分方程的經(jīng)典教材；
3、Aleksei.A.Dezin，Partial differential equations，Springer-Verlag：偏微分方程的參考書；
4、L. Hormander “Linear Partial Differential Operators, ” I&II：偏微分方程的經(jīng)典參考書；
5、A Course in Abstract Harmonic Analysis by Folland：高級的研究生調(diào)和分析教材；
6、Abstract Harmonic Analysis by Ross Hewitt：抽象調(diào)和分析的經(jīng)典參考書；
7、Harmonic Analysis by Elias M. Stein：標準的研究生調(diào)和分析教材；
8、Elliptic Partial Differential Equations of Second Order by David Gilbarg：偏微分方程的經(jīng)典參考書；
9、Partial Differential Equations ，by Jeffrey Rauch：標準的研究生偏微分方程教材。
復分析 多復分析導論
1、Functions of One Complex Variable II，J.B.Conway：單復變的經(jīng)典教材，第二卷較深入；
2、Lectures on Riemann Surfaces O.Forster：黎曼曲面的參考書；
3、Compact riemann surfaces Jost：黎曼曲面的參考書；
4、Compact riemann surfaces Narasimhan：黎曼曲面的參考書；
5、Hormander ” An introduction to Complex Analysis in Several Variables”：多復變的標準入門教材；
6、Riemann surfaces , Lang：黎曼曲面的參考書；
7、Riemann Surfaces by Hershel M. Farkas：標準的研究生黎曼曲面教材；
8、Function Theory of Several Complex Variables by Steven G. Krantz：高級的研究生多復變參考書；
9、Complex Analysis: The Geometric Viewpoint by Steven G. Krantz：高級的研究生復分析參考書。
專業(yè)方向選修課：
1、多復分析；2、復幾何；3、幾何分析；4、抽象調(diào)和分析；5、代數(shù)幾何；6、代數(shù)數(shù)論；7、微分幾何；8、代數(shù)群、李代數(shù)與量子群；9、泛函分析與算子代數(shù)；10、數(shù)學物理；11、概率理論；12、動力系統(tǒng)與遍歷理論；13、泛代數(shù)。
數(shù)學基礎(chǔ)：
1、halmos ,native set theory；
2、fraenkel ,abstract set theory；
3、ebbinghaus ,mathematical logic；
4、enderton ,a mathematical introduction to logic；
5、landau, foundations of analysis；
6、maclane ,categories for working mathematican。應該在核心課程學習的過程中穿插選修
假設本科應有的水平
分析：
Walter Rudin, Principles of mathematical analysis；
Apostol , mathematical analysis；
M.spivak , calculus on manifolds；
Munkres ,analysis on manifolds；
Kolmogorov/fomin , introductory real analysis；
Arnold ,ordinary differential equations。
代數(shù)：
linear algebra by Stephen H. Friedberg；
linear algebra by hoffman；
linear algebra done right by Axler；
advanced linear algebra by Roman；
algebra ,artin；
a first course in abstract algebra by rotman。
幾何：
do carmo, differential geometry of curves and surfaces；
Differential topology by Pollack；
Hilbert ,foundations of geometry；
James R. Munkres, Topology。
