因子分析（降維）
1.、為什么做因子分析：實(shí)際門(mén)店問(wèn)題中，往往我們會(huì)選擇潛力最大的門(mén)店作為領(lǐng)航店，以此為樣板，實(shí)現(xiàn)業(yè)績(jī)和利潤(rùn)的突破及未來(lái)新店的標(biāo)桿。那么，選擇領(lǐng)航店過(guò)程中我們要注重很多因素，比如所在小區(qū)的房?jī)r(jià)，總面積，戶(hù)主年齡分布、小區(qū)戶(hù)數(shù)、門(mén)店面積，2公里范圍內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)門(mén)店數(shù)量等。收集到所有的這些數(shù)據(jù)雖然能夠全面、精準(zhǔn)的確定領(lǐng)航店的入選標(biāo)準(zhǔn)，但實(shí)際建模時(shí)這些變量未必能夠發(fā)揮出預(yù)期的作用。主要體現(xiàn)兩方面：計(jì)算量的問(wèn)題；變量間的相關(guān)性問(wèn)題。
2、解決方法：最簡(jiǎn)單直接的方案就是削減變量個(gè)數(shù)，確定主要變量，但這會(huì)導(dǎo)致信息不全面的問(wèn)題，因子分析以最少的信息丟失為前提，將眾多的原有變量綜合成少數(shù)的綜合指標(biāo)，名為因子。
3、因子分析特點(diǎn)：因子個(gè)數(shù)遠(yuǎn)小于變量個(gè)數(shù)；能夠反應(yīng)原變量的絕大數(shù)信息；因子之間的線(xiàn)性關(guān)系不顯著；因子具有命名解釋性
4、因子分析步驟：一、原有變量是否能夠進(jìn)行因子分析；二、提取因子；三、因子的命名解釋?zhuān)凰?、?jì)算因子得分；五、綜合評(píng)價(jià)
5、因子分析的數(shù)學(xué)模型：
X1=A11F1 A12F2 A13F3 --- A1kFk
X2=A21F1 A22F2 A23F3 --- A2kFk
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-
-
Xp=Ap1F1 Ap2F2 Ap3F3 --- ApkFk
6、應(yīng)用舉例：
收集到18年全國(guó)31個(gè)省市自治區(qū)各類(lèi)經(jīng)濟(jì)單位，包括國(guó)有經(jīng)濟(jì)單位、集體經(jīng)濟(jì)單位，聯(lián)營(yíng)經(jīng)濟(jì)單位、股份制經(jīng)濟(jì)單位和其他經(jīng)濟(jì)單位的人均年收入數(shù)據(jù)，現(xiàn)對(duì)全國(guó)各地區(qū)人均年收入的差異性和相似性進(jìn)行研究。
一、考察原有變量是否適合進(jìn)行因子分析。
檢驗(yàn)收集到的變量是否存在線(xiàn)性關(guān)系，應(yīng)用方法：相關(guān)系數(shù)矩陣、巴特利特球度檢驗(yàn)和KMO檢驗(yàn)。
原有變量的相關(guān)系數(shù)矩陣：
巴特利特球度檢驗(yàn)和KMO檢驗(yàn)
KMO值為0.882，接近1，說(shuō)明變量相關(guān)性很強(qiáng)（越接近1越強(qiáng)）
從巴特利特球度檢驗(yàn)看，假設(shè)相關(guān)系數(shù)矩陣與單位陣無(wú)顯著差異。P值接近0，若顯著性水平為0.05，P<0，則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為相關(guān)系數(shù)矩陣與單位陣有顯著差異。
經(jīng)檢測(cè)原有變量間有相關(guān)性關(guān)系，可以進(jìn)行因子分析。
二、提取因子
根據(jù)原有變量的相關(guān)系數(shù)矩陣，采用主 成分分析法提取因子并選取大于1的特征值(某一因子載荷的平方和及因子的方差)。
因子分析變量的共同度(載荷矩陣中i行元素的平方和)
有三個(gè)經(jīng)濟(jì)單位變量的信息缺失較為嚴(yán)重（金40%）。
重新指定提取標(biāo)準(zhǔn)，提取2個(gè)因子。
由上圖可知，所有變量的共同度均較高，因子提取的效果較理想。
因子解釋原有變量總方差的情況
因子載荷矩陣
單位1=0.955F1-0.095F2
單位2=0.923FI 0.057F2
三、因子的命名解釋
對(duì)因子載荷矩陣實(shí)行正交旋轉(zhuǎn)（載荷矩陣*正交向量），使因子具有命名解釋性。
第一個(gè)因子主要解釋內(nèi)部投資經(jīng)濟(jì)單位
第二個(gè)因子主要解釋外來(lái)投資經(jīng)濟(jì)單位
四、計(jì)算因子得分
采用回歸估計(jì)法估計(jì)因子得分系數(shù)
F1=0.223 國(guó)有 0.196集體 0.656聯(lián)營(yíng) 0.331股份-0.062外商 0.020港澳臺(tái)-0.519其他
F2=-0.002國(guó)有 ------
計(jì)算兩個(gè)因子得分時(shí)，聯(lián)營(yíng)經(jīng)濟(jì)單位和其他經(jīng)濟(jì)單位的權(quán)重較高，方向相反，與因子的實(shí)際意義相吻合。另外、因子得分的均值為0。正值表示高于平均水平，負(fù)值表示低于平均水平。
五、綜合評(píng)價(jià)
得出結(jié)論1：北京第2因子得分最高，表示外來(lái)投資經(jīng)濟(jì)單位人均收入遠(yuǎn)高于其他省份，第1因子得分在平均值附近，表明內(nèi)部投資經(jīng)濟(jì)單位的人均年收入與其他地區(qū)的差異不大，處于平均水平。
其次，對(duì)各地區(qū)人均年收入進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。以?xún)蓚€(gè)因子的方差貢獻(xiàn)率為權(quán)數(shù)。
F=0.45/(0.45 0.39)*F1 0.39/(0.45 0.39)F2
得出結(jié)論2：人均收入較高的省份是北京、上海、廣東等，多屬經(jīng)濟(jì)文化中心或東南沿海地區(qū)。人均收入較低的省區(qū)有內(nèi)蒙古。山西。青海等，多數(shù)內(nèi)陸或西北邊遠(yuǎn)地區(qū)。
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