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向量叉乘的線性性質(zhì) 幾何解釋

2018.12.05

叉乘(向量的外積)是物理里面常常用到的概念, 它是由兩個向量得到一個新的向量的運算。一般我們都是從幾何意義下手: 向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 叉乘, 得到一個垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的向量 $\vec{a} \times \vec{b}$ , 它的方向由右手螺旋法則確定, 它的長度是 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 張開的平行四邊形的面積:

| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | ? | \vec{b} | ? \sin ? θ

其中

θ

是

\vec{a}

和

\vec{b}

的夾角.

叉乘滿足的基本的性質(zhì)如下:

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ , 因為夾角是0, 所以平行四邊形面積也是0, 即叉積長度為0
$\vec{a} \times \vec{b} = ? (\vec{b} \times \vec{a})$ , 等式兩邊的叉積等大反向, 模長因為平行四邊形不變而相同, 方向因為右手法則旋轉(zhuǎn)方向相反而相反
$(λ \vec{a}) \times b = λ (\vec{a} \times \vec{b})$ , 這點比較好想, 因為: ①正數(shù) $λ$ 數(shù)量乘不會影響 $\vec{a}$ 的方向, 所以左右的叉積方向一樣; 負(fù)數(shù) $λ$ 使得 $\vec{a}$ 反向了, 但也使得左右叉積方向相反. ②對 $\vec{a}$ 進行縮放, 平行四邊形面積也同等縮放.
$(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$ , 這種分配率是以前最難想象的了.

上述3. 4.兩點結(jié)合起來, 說明叉乘具有一種線性性質(zhì), 再結(jié)合2.就是雙線性了(同時對左右具有線性性質(zhì)). 一直以來我都想找到性質(zhì)4. 的一種幾何證明, 可它就像一個過不去的坎, 擋住了我追求完美的心.

每次想到性質(zhì)4., 都會去想象空間中一點出發(fā)的三個隨機向量, 然后又叉乘出兩個新向量, 一共5個向量, 甚至畫圖都很難. 這個問題一直持續(xù)了很久, 后來某天突然想到, 可以固定一個向量, 剩余的工作在二維投影面完成啊~

結(jié)論4的證明

這里證明4.的等價結(jié)論: $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{b}$ . 如下圖所示, 把向量 $\vec{b}$ 和 $\vec{c}$ 按照向量 $\vec{a}$ 的負(fù)方向, 投影到與 $\vec{a}$ 垂直的平面S.

這里先要說明, 向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的叉乘, 等于和 $\vec{b}$ 的投影 $\vec{b}^{'}$ 的叉乘:

\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times \vec{b}^{'}

這個結(jié)論很好想象, 這種投影其實是把

\vec{b}

掰成與

\vec{a}

垂直的等價部分: 叉乘方向不會變, 并且平行四邊形面積不變(底乘高,高沒變).

那么這就好說了, 直接在投影面分析:

$\vec{a} \times \vec{b}$ 就是 $\vec{b}^{'}$ 逆時針旋轉(zhuǎn)90度, 并且伸縮 $| \vec{a} |$ (藍(lán)色的向量)
$\vec{a} \times \vec{c}$ 就是 $\vec{c}^{'}$ 逆時針旋轉(zhuǎn)90度, 并且伸縮 $| \vec{a} |$ (綠色的向量)
$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) ?$ 就是 $\vec{b}^{'} + \vec{c}^{'} ?$ 逆時針旋轉(zhuǎn)90度, 并且伸縮 $| \vec{a} | ?$ (紅色的向量)