感悟尺規(guī)作圖的魅力
平面幾何有三大類(lèi)型的題目，證明題、計(jì)算題和作圖題。作圖題要求尺規(guī)作圖，所謂尺規(guī)作圖，顧名思義，就是只用直尺和圓規(guī)在平面內(nèi)作出滿(mǎn)足給定條件的圖形。本期就介紹有關(guān)尺規(guī)作圖的有關(guān)知識(shí)，并配以動(dòng)畫(huà)展示作圖的步驟，讓您感悟幾何作圖的魅力。
平面幾何研究的圖形都是由直線（或其一部分，比如射線、線段）和圓（比如圓弧）構(gòu)成的，所以，用直尺和圓規(guī)作為平面幾何作圖的基本工具是合理的。我們假設(shè)直尺是直的、無(wú)限長(zhǎng)的，并且上面沒(méi)有刻度（有刻度就當(dāng)沒(méi)有刻度，因?yàn)榭潭炔荒茏鳛樽鲌D的依據(jù)）。而圓規(guī)的兩條“腿”在需要時(shí)可以無(wú)限長(zhǎng)長(zhǎng)（zhang chang，grow longer)，并且張開(kāi)與合攏自如，從而兩“腳尖”之間的距離要多長(zhǎng)就有多長(zhǎng)，也就是說(shuō)，我們可以作出任何大小的圓。
規(guī)定用直尺和圓規(guī)可以完成下面以公法1和公法2描述的兩種作圖。
公法1：通過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)可以作一條直線。當(dāng)然包括作以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段，還包括作以其中一點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)另一點(diǎn)的射線（相當(dāng)于作線段的延長(zhǎng)線）。
公法1看上去是很自然的，因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線是我們的常識(shí)。比如窗簾桿兩端固定了，它也就穩(wěn)固了不會(huì)掉下來(lái)。
就算直尺不夠長(zhǎng)，我們也可以通過(guò)作延長(zhǎng)線的辦法作出想要長(zhǎng)度的線段。我自己在作圖時(shí)有時(shí)發(fā)現(xiàn)直尺不夠長(zhǎng)，我就先作過(guò)那兩個(gè)已知點(diǎn)的線段，同時(shí)作出一小段延長(zhǎng)線，在延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，把直尺沿著線段方向朝這點(diǎn)移動(dòng)，于是可以把延長(zhǎng)線再延長(zhǎng)一些。這樣就可以一點(diǎn)點(diǎn)地作出任意長(zhǎng)的直線了。這說(shuō)明公法1的設(shè)置是符合我們作圖實(shí)際的。
然后，您也許會(huì)問(wèn)：‘’公法1說(shuō)，過(guò)兩個(gè)已知點(diǎn)可以作一條直線，那沒(méi)有問(wèn)題，但過(guò)一個(gè)已知點(diǎn)作一條直線允許嗎?‘’ 回答是允許的。因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)可以任意作一條直線，這相當(dāng)于在作圖平面內(nèi)任取一點(diǎn)然后作過(guò)這兩點(diǎn)的直線。這樣做行得通是基于下面這個(gè)假設(shè)：可以在一條直線（或射線、線段）上任取一點(diǎn)，也可以在一個(gè)圓（或圓弧）上任取一點(diǎn)，當(dāng)然還可以在平面內(nèi)任取一個(gè)不在任何圖形上的點(diǎn)。我們?cè)谧鲌D時(shí)對(duì)這個(gè)假設(shè)是默認(rèn)的。
我們會(huì)在作圖題中遇到“過(guò)一點(diǎn)作任意直線”的情況嗎？回答是：會(huì)的。比如我們要給一個(gè)線段三等分，那么，有一個(gè)作法就是，過(guò)線段某一端點(diǎn)作一條不與線段重合的射線，然后從射線頂點(diǎn)開(kāi)始順次在射線上截取三段等長(zhǎng)的線段，過(guò)最一個(gè)截取點(diǎn)與線段另一端點(diǎn)作直線。最后分別過(guò)另外兩個(gè)截取點(diǎn)作與上述連成的直線平行的直線，分別與原線段交于兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)就是所求作的原線段的兩個(gè)三等分點(diǎn)。
公法2：以一個(gè)已知點(diǎn)為圓心，以某確定的距離為半徑可以作一個(gè)圓。
因?yàn)閳A規(guī)兩腳尖之間的距離可以隨意調(diào)整，所以，圓規(guī)的作用非常大。比如，我們要作一個(gè)半徑等于定長(zhǎng)的圓，只需把圓規(guī)兩個(gè)腳尖對(duì)齊定長(zhǎng)線段的兩個(gè)端點(diǎn)，這樣半徑就取定了。這說(shuō)明圓規(guī)有量取某長(zhǎng)度的功能。我們也只能用圓規(guī)量取，而不能用有刻度的直尺度量長(zhǎng)度。圓規(guī)的作用遠(yuǎn)不只用于量取固定長(zhǎng)度，它還可以用于確定我們所需要的點(diǎn)，比如，我們要作一個(gè)角的平分線，作法是，以角頂點(diǎn)為圓心，以任取長(zhǎng)度為半徑作圓，與角的兩邊分別相交于兩點(diǎn)。再分別以這兩點(diǎn)為圓心，以同樣的長(zhǎng)度（大于兩點(diǎn)距離一半即可）為半徑作圓，使兩圓在角內(nèi)部有一個(gè)交點(diǎn)。那么，以角的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)這個(gè)交點(diǎn)的射線就是所求作的角平分線。這個(gè)作圖過(guò)程中，多次用圓規(guī)作圓，比如第一次作圓在角的邊上截取兩點(diǎn)，這個(gè)圓的半徑是任意的，沒(méi)有限制; 第二次作圓，只要半徑大于在邊上截出的這兩點(diǎn)之間距離的一半即可。
下面動(dòng)畫(huà)用軟件模擬了公法1作直線（線段、射線）和公法2（作圓）的過(guò)程。讓我們感悟一下吧！
有了這兩條公法，我們可以作出很多很多我們想要得到的平面圖形。下面還有一條假設(shè)，有人把它算做第三條公法，也有人不把它當(dāng)公法。下面權(quán)且以公法3給出。
公法3：直線與直線、直錢(qián)與圓、圓與圓，如果相交，那么交點(diǎn)就是確定的。
這條公法所講也是很自然的，我們作圖時(shí)其實(shí)也是默認(rèn)的。因?yàn)橐粭l直線或一個(gè)圓一旦作出，就是固定不變的，那么它們之間可以沒(méi)有交點(diǎn)，但如果有交點(diǎn)，它們的位置就一定是確定的。所以，我們?cè)谶M(jìn)行作圖時(shí)，就可以把它們的交點(diǎn)當(dāng)成是已知點(diǎn)，于是就可以以這些已知點(diǎn)為圓心，可以連接這樣的兩個(gè)點(diǎn)成線段，可以過(guò)不在同一直線上的三個(gè)交點(diǎn)作一個(gè)三角形或一個(gè)圓，還可以用圓規(guī)截取某兩點(diǎn)之間的距離，等等。
那么，一道作圖題可以用尺規(guī)作圖完成，有沒(méi)有一個(gè)理論的基礎(chǔ)呢？比如要作一個(gè)直角三角形，使其斜邊和一條直角邊分別等于已知的長(zhǎng)度。我們能不能用尺規(guī)作出它來(lái)呢？就以這個(gè)例子來(lái)說(shuō)，我們知道，斜邊直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等，這說(shuō)明斜邊和一直角邊可以完全確定一直角三角形。從而這個(gè)例子中要求作的直角三角形可用尺規(guī)作圖完成。也就是說(shuō)，尺規(guī)作圖的結(jié)論是與幾何證明的結(jié)論相對(duì)應(yīng)的。所以，我們可以說(shuō)，如果我們對(duì)幾何證明題很在行，那么，我們做幾何作圖題也應(yīng)該沒(méi)有什么問(wèn)題，很容易找到作圖的具體步驟。
有很多作圖題相當(dāng)復(fù)雜，可能要用上十幾條甚至幾十條這三個(gè)公法組合在一起。那么，有些相對(duì)基本的作圖我們就會(huì)認(rèn)為是理所當(dāng)然可行的，就可以不必再都從3個(gè)公法出發(fā)。比如需要確定某線段的中點(diǎn)，我們可以直接說(shuō)“取線段AB的中點(diǎn)M”，而無(wú)需再說(shuō)“分別以線段AB的端點(diǎn)A、B為圓心以大于AB/2為半經(jīng)作圓，作過(guò)兩圓兩個(gè)交點(diǎn)的直線，直線與AB的交點(diǎn)即為AB中點(diǎn)”這一大段話。類(lèi)似“作線段中點(diǎn)”這種比3個(gè)公法“大”卻又不是很”大”的，但能感覺(jué)出是可以用尺規(guī)作圖的比較簡(jiǎn)單的作圖問(wèn)題，我們把它們歸入基本作圖法。它們可以在今后拿來(lái)直接使用。下面列出一些供參考。
（1）在直線上截取定長(zhǎng)的線段。
（2）作一條線段的垂直平方線。
（3）過(guò)直線外或直線上一點(diǎn)作直線的垂線。
（4）作一個(gè)已知角的平分線。
（5）取一線段的中點(diǎn)。
（6）取一線段的任意等分點(diǎn)（三等分點(diǎn)，四等分點(diǎn)，......，n等分點(diǎn)）。
（7）在一條直線上取一條定長(zhǎng)的線段。
（8）以一條已知線段為一邊作一個(gè)角使它等于已知的角。
（9）過(guò)直線外一點(diǎn)做直線的平行線。
（10）已知三邊，已知兩邊及它們的夾角，已知兩角及它們所夾的邊，已知兩角及一角的對(duì)邊，已知兩邊及其中一邊的對(duì)角（可能會(huì)有兩解），作一個(gè)三角形。
（11）作一個(gè)斜邊和一直角邊分別等于定長(zhǎng)的直角三角形。
（12）以已知長(zhǎng)度為邊作一個(gè)正方形或正三角形。
（13）作一個(gè)30度、45度或60度的角。
（14）作一個(gè)長(zhǎng)和寬分別等于定長(zhǎng)的矩形。
（15）作一個(gè)三角形的外接圓（用到第（2）條）
（16）作一個(gè)三角形的內(nèi)切圓（用到第（4）條）
（17）平分一段已知圓?。ㄓ玫降冢?）條）
（18）以定線段為直徑作圓（用到第（5）條）
（19）從圓上一點(diǎn)作圓的切線（用到第（3）條）
（20）從圓外一點(diǎn)作圓的切線（用到第（18）條）
還有一些與比例或面積有關(guān)的基本作圖法。這里不一一給出。
基本作圖法都是可以分解為公法的組合的，甚至簡(jiǎn)單的基本作圖法再加上公法又得到新的基本作圖法。下面以第（20）條為例加以說(shuō)明。
“（20）從圓外一點(diǎn)作圓的切線?！?/strong>
您可能會(huì)感覺(jué)到這條基本作圖法似乎不太基本。是的，所以我們有時(shí)會(huì)想到用直尺的邊始終通過(guò)圓外已知的點(diǎn)，而同時(shí)讓直尺的邊繞圓外點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)接近圓周直到“挨上”圓周為止。但這樣作是不對(duì)的，不是尺規(guī)作圖法。我們需要用到公法或其他基本作圖法來(lái)確定出切點(diǎn)，再把切點(diǎn)與圓外已知點(diǎn)進(jìn)行連線來(lái)得到所求作的切線。
步驟如下：
步驟1：連接圓外點(diǎn)和圓心，得到線段。（公法1）
步驟2：取線段的中點(diǎn)（基本作圖法（5）），以這個(gè)中點(diǎn)為圓心，以線段長(zhǎng)度的一半為半徑作圓（公法2）， 圓與已知圓相交于兩點(diǎn)（公法3）。
（步驟2可以用“基本作圖法（18）以定線段為直徑作圓”代替）
步驟3：分別過(guò)圓外的點(diǎn)與所得的兩個(gè)點(diǎn)作直線（公法1），所得兩條直線即為所求作的切線。
下面是一道作圖題，我們看看怎么解這道題。
作圖題：求作一個(gè)三角形，使它的一邊上的中線長(zhǎng)等于m，這條邊上的高線長(zhǎng)等于h，而三角形的另一邊長(zhǎng)等于c。
先看一下作圖步驟的小動(dòng)畫(huà)吧，感悟一下作圖題的過(guò)程。然后，再與下面的文字具體步驟對(duì)照。
作圖步驟：
步驟1：畫(huà)一條直線（比如水平的）。 （公法1）
步驟2：在直線上取一點(diǎn)H，過(guò)這點(diǎn)作直線的垂線（公法（2）），在直線上方垂線上截取一點(diǎn)A，使AH等于h（公法2和公法3）。
步驟3：以點(diǎn)A為圓心，c為半徑作圓弧（公法2），與直線交于點(diǎn)B（還有另一交點(diǎn)，但從另一交點(diǎn)出發(fā)最終所作得三角形是與這里所作得三角形全等的，所以不考慮）。連接AB（公法1）。
步驟4：連接HB。
步驟5：以點(diǎn)A為圓心，以m為半徑作圓弧（公法2），與直線交于點(diǎn)M。連接MH。
步驟6：延長(zhǎng)BM到點(diǎn)C，使CM=BM（公法1和公法2）。
步驟7：連接AC。則三角形ABC即為所求作的三角形。
說(shuō)明：在c>m>h的情況下，會(huì)有第二個(gè)解，這時(shí)作得的三角形是一個(gè)鈍角三角形，那條垂線位于三角形外面了。請(qǐng)您自己想像一下。
前面說(shuō)及用直尺去“挨到”圓而得到切線的做法不是尺規(guī)作圖法，這讓我想起有一個(gè)三等分角的做法與此類(lèi)似，也不是尺規(guī)作圖可以實(shí)現(xiàn)的。如下圖所示，角AOB為要三等分的角，以點(diǎn)O為圓心以適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作圓，A和B為圓與角的邊的兩個(gè)交點(diǎn)。于是，OA=OB為定長(zhǎng)。準(zhǔn)備一把直尺，在上面量取一段長(zhǎng)度CD=OA（這一步已經(jīng)不是尺規(guī)作圖了）。讓點(diǎn)D始終位于OA的反向延長(zhǎng)線上，讓點(diǎn)C始終位于圓周上，同時(shí)，讓直尺始終過(guò)點(diǎn)B。最終總會(huì)找到直尺的某個(gè)位置達(dá)到上述要求，那么，角ADB就等于角AOB的三分之一。這里不證明，從圖中可以明顯看出。這個(gè)方法是超出尺規(guī)作圖法的。
有一種體現(xiàn)這個(gè)作圖過(guò)程的圓規(guī)，被稱(chēng)作海爾梅斯（Hermes）圓規(guī)。它不是通常的圓規(guī)，而是在一個(gè)腿下端又分出兩叉，如下圖所示。要求三只腳的腳尖永遠(yuǎn)處于同一條直線上（首先要保證這種圓規(guī)本身的組件都處于同一個(gè)平面上，其次要求分叉與腿之間在銜接處S是鉸接的，即可以在平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)）。分叉兩端之間的距離CD等于上圖中OA的長(zhǎng)度。然后，我們把海爾梅斯圓規(guī)點(diǎn)B這一端“扎在”上圖中的點(diǎn)B處，那么這時(shí)，我們只需調(diào)整海爾梅斯圓規(guī)兩腿之間的夾角，讓分出叉的兩個(gè)“腳尖”一個(gè)落在AO延長(zhǎng)線上，一個(gè)落在圓上。
上圖中看似CD之間距離是固定死的，這不方便，可以把CSD替換成一個(gè)普通圓規(guī)。
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