愛因斯坦與波爾長期論戰(zhàn)的原因除前面提到的他不滿意波函數(shù)的概率解釋外，還有一個(gè)就是測量導(dǎo)致的波函數(shù)坍縮。這是量子力學(xué)與經(jīng)典物理最格格不入的地方了。
1）量子測量的特征方程
在前面我們已經(jīng)看到了對波函數(shù)求能量和求動(dòng)量的方程：
以上都是量子力學(xué)的測量方程。
3）因此，我們看到，在量子力學(xué)中，體系的測量結(jié)果是由以下形式的測量方程確定的：
即，每個(gè)物理量有一個(gè)特定的算符，它作用于波函數(shù)，將會(huì)得到一個(gè)數(shù)值乘以該波函數(shù)。這個(gè)數(shù)值就是測量值。當(dāng)然，同一個(gè)算符，對不同的波函數(shù)將會(huì)獲得不同的測量值。
4）在數(shù)學(xué)上，上述方程是一個(gè)典型的特征方程。從這點(diǎn)上可以說，每個(gè)物理量可以表述為一個(gè)算符，測量值是該算符的一個(gè)特征值，而相應(yīng)的波函數(shù)則是與該特征值對應(yīng)的特征函數(shù)。這和線性代數(shù)中矩陣的特征值和特征向量十分類似。正因?yàn)槿绱耍锢韺W(xué)家維爾納·海森堡才在1925年發(fā)展出了量子力學(xué)的另一種表述方式－矩陣力學(xué)。
通常一個(gè)算符往往有多個(gè)特征值?，那么具體測量時(shí)究竟獲得那個(gè)特征值呢？這又是一個(gè)由概率隨機(jī)決定的事情了。當(dāng)把一個(gè)波函數(shù)用某算符的特征函數(shù)集展開時(shí)，各特征函數(shù)對應(yīng)的展開系數(shù)模的平方就是用此算符測量時(shí)測得相應(yīng)特征值的概率，這是量子力學(xué)所能給出的全部信息，而具體那個(gè)特征值被真正測得，那就看手氣了，因?yàn)檫@完全是隨機(jī)的。這里再一次反映了量子力學(xué)中的一個(gè)基本觀念：理論方程只能給出概率的分布，真正結(jié)果是什么完全是隨機(jī)的。
1）為了說明什么是波函數(shù)坍縮，我們再來看下圖。上部是一個(gè)動(dòng)量為p的粒子的波函數(shù)，當(dāng)我們對其進(jìn)行動(dòng)量測量時(shí)，我們將精準(zhǔn)地得到動(dòng)量值p，而且波函數(shù)的形態(tài)不變，因?yàn)樗褪莿?dòng)量算符對應(yīng)特征值p的特征函數(shù)。
2）可是當(dāng)我們對該波函數(shù)測量空間位置時(shí)情況就不同了。放一個(gè)膠片在空間，結(jié)果發(fā)現(xiàn)感光了一個(gè)亮點(diǎn)，這就是我們隨機(jī)獲得的一個(gè)位置坐標(biāo)x。但此時(shí)，上部的波函數(shù)也在整個(gè)空間瞬間蹋縮為下面部的δ函數(shù)（上圖下部），因?yàn)檫@才是與位置算符特征值x對應(yīng)的那個(gè)特征函數(shù)。它保證了下次測量位置時(shí)我們依舊會(huì)獲得x值。這就是波函數(shù)坍縮。
3）從傅立葉變換的角度看，動(dòng)量為p的粒子的波函數(shù)是由無數(shù)個(gè)不同坐標(biāo)的δ函數(shù)疊加而成，每個(gè)δ函數(shù)在位置測量時(shí)都有獲得顯現(xiàn)的概率，測量的結(jié)果只是隨機(jī)地挑選了一個(gè)來顯現(xiàn)，其他的自然退去而已。
4）有趣的是，如果我們對這個(gè)δ函數(shù)形的位置波函數(shù)再次進(jìn)行動(dòng)量測量的話，我們將再次遭遇到波函數(shù)坍縮。這次它將坍縮為一個(gè)類似圖中上部那樣的動(dòng)量為q的粒子的波函數(shù)，不同的是，這個(gè)q的數(shù)值不一定是原來的那個(gè)p值了，它獲得各種值的可能性都有。因?yàn)閺母盗⑷~變換的角度看，δ函數(shù)是所有p值粒子波函數(shù)的疊加，每一個(gè)p值粒子波函數(shù)都有被顯現(xiàn)的概率。
波函數(shù)坍縮雖然與觀測事實(shí)符合，但它確是一種非常特別的現(xiàn)象，它根本不在薛定諤方程描述的范圍內(nèi)。它所帶來的突變性、非局域性與原有的物理框架完全不相容。正因?yàn)槿绱耍鼘?dǎo)致了有關(guān)量子力學(xué)解釋問題上長久的爭論和質(zhì)疑。
下面我們先來看看幾個(gè)真實(shí)量子測量的實(shí)例吧。
我們知道，光子是一種電磁波，它的電場振動(dòng)在與光的傳播方向垂直的平面上，在這個(gè)平面上，每個(gè)光子的振動(dòng)方向又不盡相同，這個(gè)方向就是光子的偏振方向。利用偏振濾波器我們可以檢測光子的偏振方向。
1）我們考慮用一組x方向或y方向的濾波器來檢測光子的偏振究竟是x方向還是在y方向，這就形成了一種量子測量。x方向的偏振光能通過x濾波器不能通過y濾波器，y方向的偏振光能通過y濾波器不能通過x濾波器。那么一個(gè)光子究竟是x偏振還是y偏振呢？薛定諤方程計(jì)算只能知道兩者的概率各占50%，以及x偏振的波函數(shù)水平振動(dòng)，y偏振的的波函數(shù)豎直振動(dòng)。
2）如下圖所示，當(dāng)我們用一個(gè)x濾波器來測量它的偏振屬性值時(shí)，就像讓“上帝”拋了一把骰子，我們獲得或者x偏振或者y偏振值。假設(shè)我們獲得的是x偏振，則光通過了濾波器。伴隨著的是，原來的波函數(shù)即刻蹋縮，轉(zhuǎn)變?yōu)樗椒较蛘駝?dòng)的波函數(shù)。然后，若再用y濾波器測量它的偏振屬性時(shí)，因?yàn)檫@已是一個(gè)確定為x偏振的波函數(shù)了，因此它不能通過濾波器。因?yàn)閤濾波器和y濾波器進(jìn)行的是粒子同一種屬性——xy偏振的測量，因此這反映了重復(fù)測量時(shí)測量值不變。
3）上面的（x，y）偏振檢測可以看作是對光子第一屬性的測量，它只有兩個(gè)特征值，x偏振或y偏振。就像動(dòng)量和位置是光子的兩個(gè)不同的屬性一樣，我們現(xiàn)在來構(gòu)造一個(gè)與（x，y）偏振不同的第二屬性。我們現(xiàn)在構(gòu)造另外兩個(gè)正交方向（ξ，η）的偏振檢測，它也有兩個(gè)特征值，ξ偏振或η偏振。（ξ，η）坐標(biāo)系相當(dāng)于把（x，y）坐標(biāo)系逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了45度角。于是，每個(gè)光子既有有（x，y）偏振屬性也有（ξ，η）偏振屬性，其波函數(shù)向各個(gè)方向的振動(dòng)都有可能。
4）如下圖所示，經(jīng)x濾波器測量獲得第一屬性為x偏振具有水平振動(dòng)波函數(shù)的光子，其第二屬性（ξ，η）偏振究竟為何仍是未知的，薛定諤方程計(jì)算只能知道兩者的概率各占50%，以及ξ偏振波函數(shù)在45度方向上振動(dòng)，η偏振的波函數(shù)在135度方向振動(dòng)。
5）當(dāng)我們用一個(gè)45度濾波器來測量它的第二屬性值時(shí)，就像讓“上帝”又拋了一把骰子，我們獲得或者ξ偏振或者η偏振值。假設(shè)獲得的是ξ偏振，則光通過了濾波器。伴隨著的是，原來的水平方向振動(dòng)波函數(shù)即刻?？s，轉(zhuǎn)變?yōu)?5度方向振動(dòng)的波函數(shù)。這說明，每當(dāng)進(jìn)行不同屬性的測量時(shí)，就會(huì)發(fā)生波函數(shù)坍縮。我們可以用薛定諤方程重新計(jì)算這個(gè)新波函數(shù)的演化。
6）此時(shí)若再用y濾波器測量其第一個(gè)屬性，此時(shí)它就像原始的波函數(shù)一樣，其第一屬性已是未知的了，因此x偏振，y偏振的可能性都存在，薛定諤方程計(jì)算知道兩者各占50%的概率。因此它又有可能通過y濾波器了。這說明，當(dāng)進(jìn)行（ξ，η）偏振測量后，粒子已經(jīng)完全忘掉原先的x偏振屬性，從而才可以重新以概率的方式獲得x或y偏振。
你理解了嗎？這就是量子力學(xué)給我們描述出的物理世界的奇異面目。
? 由于非均勻磁場可將不同自旋取值的銀原子束分開，因此斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)裝置可看作是自旋的過濾器，自旋是經(jīng)典粒子不具備的屬性，只有在量子力學(xué)中才出現(xiàn)。從概念上理解，它相當(dāng)于粒子自身的轉(zhuǎn)動(dòng)。比如沿z方向的非均勻磁場可將自旋在z方向投影值Sz＝?和Sz＝－?的自旋分開，見下圖(a)。同樣沿x方向的非均勻磁場可將Sx＝?和Sx＝－?的自旋分開等等。
1）下圖(b)表示將Sz＝?的自旋束過濾出來，如果連續(xù)通過兩個(gè)這樣的裝置，仍有Sz＝?的自旋束射出。這體現(xiàn)了重復(fù)測量時(shí)測量值不變。
2）?下圖(c)表示先過濾出Sz＝?的自旋束，再試圖過濾出Sz＝－?的自旋束，最終無自旋束射出。因?yàn)橄蛏虾拖蛳碌脑O(shè)備測量的是同一種屬性——自旋z分量，這還是體現(xiàn)了重復(fù)測量時(shí)測量值不變。
3）上圖(d)表示Sz＝?的自旋束通過x方向非均勻磁場可將Sx＝?的自旋束選擇出來。這里由于是不同屬性的測量，從而波函數(shù)經(jīng)歷了一次坍縮，從自旋z分量有確定值的狀態(tài)轉(zhuǎn)換為自旋x分量有確定值的狀態(tài)。
?4）而上圖(e)則表示，在通過(d)的裝置后，再讓電子通過z方向非均勻磁場，于是就可以將Sz＝－?的自旋束選擇出來了。這說明，當(dāng)進(jìn)行自旋x分量測量后，粒子已經(jīng)完全忘掉原先的自旋z分量屬性，從而才可以重新以概率的方式獲得自旋z分量向上或向下的狀態(tài)。
連續(xù)的斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)說明，Sz取值和Sx取值無法同時(shí)確定，而在經(jīng)典力學(xué)中我們總可以同時(shí)確定Sz和Sx的取值，或x與p的取值。這正是量子力學(xué)區(qū)別于經(jīng)典力學(xué)的本質(zhì)特征，或者體現(xiàn)為海森堡不確定關(guān)系。
從5.7節(jié)我們已經(jīng)看到，在量子力學(xué)中每個(gè)物理量有一個(gè)特定的算符，它作用于波函數(shù)，將會(huì)得到一個(gè)數(shù)值乘以該波函數(shù)。這個(gè)數(shù)值就是該物理量的測量值。
而哈密頓算符又可分解為動(dòng)能算符與勢能算符之和：
H=T+V(r)，
從而知道了動(dòng)量算符，就能推出動(dòng)能算符來。
其實(shí)就象哈密頓算符和動(dòng)量算符那樣，把經(jīng)典關(guān)系式中的相關(guān)量代換成算符就可以了。當(dāng)然，量子力學(xué)中也會(huì)出現(xiàn)一些經(jīng)典力學(xué)中不存在的物理量，比如粒子的自旋等，就需要邊發(fā)現(xiàn)邊定義了。
根據(jù)角動(dòng)量的經(jīng)典定義，我們可以構(gòu)造出角動(dòng)量算符：
即對算符轉(zhuǎn)置并取復(fù)共軛后還等于它本身。這相當(dāng)于是實(shí)數(shù)域?qū)ΨQ的概念在復(fù)數(shù)域的推廣。
從前面5.7節(jié)我們已經(jīng)知道，測量值即是算符的特征值。而只有厄米算符的特征值才是實(shí)數(shù)，從而，可觀測物理量對應(yīng)的算符都是厄米算符。
在量子力學(xué)中，對兩個(gè)算符A和B來說，通常算符AB并不等于BA。如果相等，我們就稱算符A和算符B是可對易的。
定義對易式為：［A,B]=AB-BA，
從而，可對易的兩個(gè)算符A和B滿足：［A,B]=0，
經(jīng)具體演算可以獲得一個(gè)非常重要的結(jié)論：兩個(gè)對易的算符具有相同的特征函數(shù)(即相同狀態(tài)的波函數(shù))，從而它們所對應(yīng)的物理量有可能同時(shí)確定各自的特征值。在經(jīng)典物理中，所有的物理量都是可以同時(shí)確定的。而在量子力學(xué)中，只有那些具有可對易算符的物理量才可能同時(shí)有確定的值。否則，它們之間就存在測不準(zhǔn)關(guān)系而不能同時(shí)確定。
經(jīng)過具體計(jì)算，我們可以發(fā)現(xiàn)，坐標(biāo)和動(dòng)量算符滿足：
它們也不能同時(shí)確定。
此外，動(dòng)能算符和勢能算符也是不可對易的，它們不能同時(shí)具有確定值。而動(dòng)能算符和動(dòng)量算符是可對易的，從而動(dòng)量和動(dòng)能是可以同時(shí)確定的。
角動(dòng)量三個(gè)分量的算符也不對易，
于是，量子力學(xué)中角動(dòng)量不能象經(jīng)典力學(xué)那樣用一個(gè)矢量來表達(dá)，由原點(diǎn)發(fā)出的每個(gè)角動(dòng)量矢只能利用上圖所示的一個(gè)圓錐面來表達(dá)。即，角動(dòng)量矢量的模和在z方向的投影長度是確定的，而它在xy平面的指向則呈現(xiàn)類似電子云般的均勻概率分布。
為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對易的力學(xué)量算符的最?。〝?shù)目）集合稱為力學(xué)量完全集。
完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同。
完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成體系狀態(tài)的一組完備的基函數(shù)，體系的任何狀態(tài)均可用它展開。
例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個(gè)兩兩對易的力學(xué)量。而三個(gè)動(dòng)量分量算符剛好滿足這個(gè)條件。
例2:氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個(gè)兩兩對易的力學(xué)量。而哈密頓算符、角動(dòng)量平方算符和角動(dòng)量z分量算符剛好滿足這個(gè)條件。
至此，我們已經(jīng)完成了量子力學(xué)的理論部分。這些盡管不是全部，但作者認(rèn)為這些內(nèi)容應(yīng)該是量子力學(xué)理論的核心內(nèi)容，其它只是些細(xì)枝末節(jié)了。只要能夠理解這部分的內(nèi)容，那說明你已經(jīng)基本掌握了量子力學(xué)的核心思路。以下的章節(jié)，我們將去瀏覽量子力學(xué)對客觀世界給出的一些具體的結(jié)論和圖像。在最末一章，我們將重點(diǎn)回來討論量子力學(xué)的解釋問題。因?yàn)榱孔邮澜缬^是人類對物質(zhì)世界認(rèn)識上的一大飛躍，而大多數(shù)人目前還不了解這個(gè)飛躍。加之人類普遍具有的一個(gè)重要特點(diǎn)就是難于突破舊觀念的束縛，因此這方面的爭議也是最多的。我希望這篇ppt能在幫助大家在理解量子世界觀方面有所助益。
（未完待續(xù)），遨游我心_健康，2013.09.26
