6.1 自由粒子
6.2 一維無限深勢阱
6.3 一維有限深勢阱
6.4 一維簡諧振子
6.5 電子的能級
6.6 勢壘貫穿－量子隧道效應(yīng)
自由粒子的動量p是確定的，能量E＝p2/(2m)，也是確定的。
根據(jù)德布羅意波的定義，自由粒子的波函數(shù)為
這說明，自由粒子在整個x軸上存在的幾率處處相同。因此，自由粒子是一種非常極端的狀態(tài)，他的能量、動量精確地確定，而它的位置完全不確定的。它的粒子云均勻地充滿整個時空。
考慮一根長為2a的細金屬棒，其中電子可以沿金屬桿(x方向)自由運動，但不能離開金屬桿。于是，對電子來說，桿內(nèi)的勢能為0，沒有外力，只有動能，而桿的兩個端點勢能則為無窮大，電子無法逾越。取桿的中心為坐標(biāo)原點，可圖形表示如下。
上圖的右半部給出了問題的方程和邊界條件。該方程的求解并不難，因為它在數(shù)學(xué)形式上跟一維弦振動方程是一樣的。經(jīng)過簡單的運算，我們獲得的解如下：
首先我們注意到，
1）一維無限深方勢阱的能譜是分立譜，這個分立的能譜就是量子化了的能級。粒子的能量是量子化的，能量只能取一些分立的值，量子數(shù)n=1,2,3,…規(guī)定了各能級。
2）由于第n能級的能量和n的平方成正比，故隨著量子數(shù)n的增大，能級的間隔越來越大。
3）最低能量，即基態(tài)(n=1)能量非零，這是一個經(jīng)典力學(xué)里沒有的現(xiàn)象（經(jīng)典粒子最低能量為零）。
另外，我們注意到，各能級的特征波函數(shù)都是一些駐波的形式。一般來說，第n能級的波函數(shù)具有n個波峰波谷。
粒子的最低能量狀態(tài)稱為基態(tài)，就是n=1的狀態(tài)，其能量為：
稱為零點能。量子系統(tǒng)具有零點能，就必定存在零點運動。這一結(jié)果與經(jīng)典物理學(xué)概念矛盾。
實際上在量子世界零點能的出現(xiàn)也是測不準(zhǔn)關(guān)系的必然結(jié)果。因為Δx≈2a，根據(jù)測不準(zhǔn)關(guān)系，應(yīng)有Δp≠0，從而p≠常數(shù)，從而p≠0。
下面右圖給出了前三個能級的波函數(shù)公式，以及各能級波函數(shù)的圖形。我們看到，各個能級的波函數(shù)都是駐波形式，且波長與能級量子數(shù)n成反比。
波長＝2L／n，其中L＝2a是勢阱的寬度。
下圖給出了前三個能級的能級公式，以及各能級電子的概率分布。我們看到，電子在各駐波振幅最大的地方有更大的存在概率。圖中的鐘形也可以看作是電子云包絡(luò)的形態(tài)。注意，在經(jīng)典情形，電子在各處的概率是均等的。
有限深勢阱與無限深勢阱的不同只是邊界外的勢能不是無窮大，而是一個固定值V0。這相當(dāng)于長2a的細金屬棒，兩端不再是絕緣的空氣，而是連上了另一種金屬桿，兩種金屬桿之間存在一個固定電位差。其中電子可以沿金屬桿(x方向)自由運動。取桿的中心為坐標(biāo)原點，可圖形表示如下。
上圖右端給出了問題的方程和邊界條件。在邊界內(nèi)，方程與無限深勢阱的完全一致。邊界外現(xiàn)在不是簡單的0值了，而是也存在一個薛定諤方程，這個方程與勢阱內(nèi)的不同之處在于它多了一個常數(shù)勢能項。
該方程組的求解并不復(fù)雜，最終求得解的形式如下：
利用邊界內(nèi)外兩個解在邊界處要滿足值相等和導(dǎo)數(shù)的銜接條件，以及波函數(shù)在整個空間的積分為1的歸一化條件，最終可獲得上式中的常數(shù)。由此也就確定了能量E值。這里不象無限深勢阱那樣可以得到能量分立值的解析表達式，因為涉及超越方程，但利用圖解法可以得到能量的值。結(jié)果和無限深勢阱類似，這里的能量值仍舊是分立的。下圖給出了有限深勢阱問題解的能級和前三個能級波函數(shù)。為了對比，圖中也繪出了無限深勢阱的相應(yīng)結(jié)果。
從圖中可見，有限深勢阱的解與無限深勢阱的解區(qū)別主要有兩點：
1）有限深勢阱的能級比無限深勢阱的要低一些。
2）有限深勢阱的波函數(shù)在邊界外有一段延伸的非零值。
在經(jīng)典力學(xué)中,一個與固定彈簧相連的物體在其平衡位置附近的振動稱為簡諧振動，作這種運動的物體就是諧振子。在量子力學(xué)中,原子核內(nèi)核子(質(zhì)子或中子)的簡諧振動、原子和分子的簡諧振動、固體晶格上原子的簡諧振動等都屬于一維諧振子問題。下面我們就來列出一維諧振子問題的薛定諤方程。
首先，一維量子諧振子的位勢可表示為
經(jīng)求解，獲得一維諧振子的能級和波函數(shù)如下：
1）簡諧振蕩中能量是量子化的。一維諧振子的能量只能取一系列分立值，并且相鄰能級是等間距的，等于hω。
En=（n+?）hω，n=0，1，2，…。
這正闡明了Planck能量子假設(shè)的物理根據(jù)。因為，任何做簡諧振動的量子系統(tǒng)，它的能譜特征都是如此（絕對黑體空腔內(nèi)的電磁場也不例外）。能譜的這種均勻間距特征和勢場為x的平方形式密切相關(guān)。
2）具有0點能。當(dāng)一維諧振子處于基態(tài)（n=0）時，其能量為
E0=hω/2，
這表明，即使當(dāng)溫度接近絕對零度時，諧振子仍然進行著零點振動，或者說靜止的諧振子是不存在的。這一結(jié)論已被實驗所證實。
上圖還給出了前八個能級的高度，以及相應(yīng)的波函數(shù)形態(tài)。同時，圖中也繪出了諧振子的勢能曲線。
下圖是能級n＝10情形的粒子概率密度分布。作為對比，圖中還繪出了經(jīng)典情形的概率密度（紅色曲線）。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)量子
在原子核衰變過程會放射出α粒子變成另一種原子核。原子核表面有40MeV的勢能，核內(nèi)α粒子的能量約為4～9MeV，能量較小的α粒子怎么會穿過那么高的勢壘從核內(nèi)放射出來呢？因為在經(jīng)典力學(xué)中，若粒子的能量E0<</span>勢能V0，它不可能穿過勢壘的。下面我們就用薛定諤方程來求解一下這個問題。
如下圖所示，I區(qū)的入射粒子能量為E0，勢能為0，II區(qū)的勢壘部分勢能為V0，勢壘外側(cè)的III區(qū)勢能也是0。
對三個區(qū)，分別寫出薛定諤方程如下：
對方程求解，可以得到如下形式的解。從圖中可見，盡管粒子的能量小于勢能V0，但還是有一定的幾率透過勢壘。這就是勢壘貫穿現(xiàn)象，在經(jīng)典物理中不可能出現(xiàn)的現(xiàn)象，在量子物理中卻成為現(xiàn)實。量子力學(xué)中，聊齋志異中勞山道士的故事已不再是神話。
（未完待續(xù)），遨游我心_健康，2013.09.26
