混沌吸引子又稱(chēng)奇異吸引子，它是混沌中特有的?；煦缥釉谛螒B(tài)、結(jié)構(gòu)和發(fā)生機(jī)理方面，均與非混沌吸引子不同。
混沌吸引子是整體穩(wěn)定性與局部不穩(wěn)定性共同作用的結(jié)果。耗散是整體的穩(wěn)定因素，它使運(yùn)動(dòng)軌道穩(wěn)定的收縮到吸引子上。但如果動(dòng)力系統(tǒng)在其相體積收縮的同時(shí)，它在某些方向上的運(yùn)動(dòng)又是不穩(wěn)定的，例如，在這些方向上存在著指數(shù)性的發(fā)散，那么，它的最終狀態(tài)將會(huì)是怎樣的呢？顯然，必須在有限區(qū)域，即吸引子上，實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)軌道的局部不穩(wěn)定性，例如，是運(yùn)動(dòng)軌道分離。只有一種辦法能做到這一點(diǎn)，那就是運(yùn)動(dòng)軌道無(wú)窮次的折迭。這種折迭保證了某些運(yùn)動(dòng)方向上的指數(shù)型發(fā)散，于是就產(chǎn)生了具有無(wú)窮嵌套自相似結(jié)構(gòu)的吸引子，即混沌吸引子。
混沌吸引子有幾個(gè)“奇異”的特性，首先是它的分形性質(zhì)，它作為相空間的一個(gè)子集，具有精細(xì)的嵌套自相似結(jié)構(gòu)，得到的圖形的維數(shù)不是一個(gè)整數(shù)。其次是混沌吸引子有兩種運(yùn)動(dòng)方向，一切在吸引子之外的運(yùn)動(dòng)都向它靠攏，對(duì)應(yīng)著穩(wěn)定方向；而一切到達(dá)吸引子內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)軌道都相互排斥，對(duì)應(yīng)著不穩(wěn)定的方向。它作為一個(gè)整體是動(dòng)力系統(tǒng)最終的歸宿，對(duì)于微小擾動(dòng)是穩(wěn)定的，即最終運(yùn)動(dòng)方向會(huì)到達(dá)吸引子上；但是吸引子內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)卻對(duì)初始條件非常敏感，進(jìn)入奇異吸引子的部位稍有差異，運(yùn)動(dòng)軌道變會(huì)截然不同。這也是混沌的初值敏感依賴(lài)性根本原因之所在。必須指出，只有耗散系統(tǒng)才存在混沌吸引子，但并非只有耗散系統(tǒng)才存在混沌。
為什么要推薦混沌吸引子呢？請(qǐng)球友先欣賞一下它的圖片，逐步會(huì)感覺(jué)到。
混沌運(yùn)動(dòng)與乒乓運(yùn)動(dòng)具有共同點(diǎn)： 整體確定性與局部隨機(jī)性。
美國(guó)氣象學(xué)家洛倫茲（E.N.Lorenz，不要和提出洛倫茲變換的那位搞混）是混沌理論的奠基者之一。20世紀(jì)50年代末到60年代初，他的主要工作目標(biāo)是從理論上進(jìn)行長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)。他在使用計(jì)算機(jī)模擬天氣時(shí)意外發(fā)現(xiàn)，對(duì)于天氣系統(tǒng)，哪怕初始條件的微小改變也會(huì)顯著影響運(yùn)算結(jié)果。隨后，他在同事工作的基礎(chǔ)上化簡(jiǎn)了自己先前的模型，得到了有3個(gè)變量的一階微分方程組，由它描述的運(yùn)動(dòng)中存在一個(gè)奇異吸引子，即洛倫茲吸引子。</>
洛倫茲的工作結(jié)果最初在1963年發(fā)表，論文題目為DeterministicNonperiodic Flow，發(fā)表在Journal of the AtmosphericSciences雜志上。如今，這一方程組已成為混沌理論的經(jīng)典，也是“巴西蝴蝶扇動(dòng)翅膀在美國(guó)引起德克薩斯的颶風(fēng)”一說(shuō)的肇始。它的形式看起來(lái)很簡(jiǎn)單：
洛倫茲方程組是基于流體力學(xué)中的Navier-Stokes方程、熱傳導(dǎo)方程和連續(xù)性方程構(gòu)建的，屬于耗散系統(tǒng)。相空間中，耗散系統(tǒng)的終態(tài)都將收縮到吸引子的狀態(tài)上。但對(duì)平庸吸引子來(lái)說(shuō)，無(wú)論初值如何，終值只有一個(gè)，而奇異吸引子卻是無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)的集合，對(duì)初值極端敏感。如洛倫茲當(dāng)年只是忽略了小數(shù)點(diǎn)4位以后的數(shù)值，得到的結(jié)果就有了相當(dāng)大的偏差，甚至是完全相反。
在洛侖茲原始的工作中，x表示的是對(duì)流的翻動(dòng)速率，y正比于上流與下流液體溫差，z是垂直方向的溫度梯度。式中三個(gè)參數(shù)（Prandtl數(shù)）、
和
（Rayleigh數(shù)）可任取大于0的數(shù)值。常用的組合是
，
，而令
取不同數(shù)值。時(shí)有混沌現(xiàn)象，奇異吸引子出現(xiàn)，此時(shí)系統(tǒng)的演化軌跡如下圖所示：
這一圖案頗似蝴蝶展翅，所謂混沌理論的“蝴蝶效應(yīng)”之得名據(jù)說(shuō)也與此吸引子的形狀有關(guān)。該系統(tǒng)中x、y、z這3個(gè)方向數(shù)值隨時(shí)間的演化如下圖，其中黑線為x軸變化情況，紅線為y軸變化情況，藍(lán)線是z軸變化情況（積分步長(zhǎng)）。
固定另2個(gè)參數(shù)，的不同取值則決定了系統(tǒng)的不同性質(zhì)。下面四圖分別為該參數(shù)取值1、10、14與99.6時(shí)的演化軌跡：
由圖中可見(jiàn)，在較小（如取1）的情況下，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，演化到兩個(gè)吸引點(diǎn)中的一個(gè)。隨著的增加，系統(tǒng)趨于復(fù)雜，在時(shí)達(dá)到混沌狀態(tài)。的情況是所謂的圓環(huán)結(jié)（torusknot）。如果單獨(dú)看以上三種情況x、y、z坐標(biāo)的演化，可能會(huì)更清楚一些：
左上：；右上：；左下：；右下：
PaulBourke作出過(guò)洛倫茲吸引子的3D圖象，并發(fā)表在2000年8月31日的Nature雜志上：
另外此君還提供了一段洛倫茲吸引子的音樂(lè)，樂(lè)譜片段如下，制作原理不詳，只知道3個(gè)軸的坐標(biāo)分別用3種樂(lè)器表示。這段midi聽(tīng)起來(lái)感覺(jué)比較怪異，有興趣的可以下載聽(tīng)一聽(tīng)。
洛倫茲吸引子的行為可以用一個(gè)“水輪”模擬，該裝置的主體是可旋轉(zhuǎn)的豎直輪盤(pán)，輪盤(pán)周?chē)b有一圈可以漏水的杯子，從輪子上方注水至杯中，調(diào)節(jié)注水速度，達(dá)到某一速度時(shí)，輪盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)出現(xiàn)混沌。這一模型是WillemMalkus和Lou Howard于1970年前后提出的，在2005底召開(kāi)的荷蘭物理教師年會(huì)上，PlanetenPaultje展示了實(shí)物。
PlanetenPaultje的水輪裝置
再說(shuō)所謂混沌。如龐加萊在《科學(xué)與方法》一書(shū)中所說(shuō)，“初始條件的微小差異有可能在最終的現(xiàn)象中導(dǎo)致巨大的差異”，“預(yù)言變得不可能”。更準(zhǔn)確的定義干脆照抄《天體力學(xué)基礎(chǔ)》的教材好了：“若初始值有一點(diǎn)小偏差，則因這一點(diǎn)偏差引起的軌道未來(lái)預(yù)報(bào)的不準(zhǔn)確將會(huì)指數(shù)增長(zhǎng)。”混沌的判據(jù)是最大Lyapunov指數(shù)，該指數(shù)大于0則系統(tǒng)混沌，至于具體計(jì)算再扯下去必然公式連篇，故不詳談。
其實(shí)混沌理論也不一定要求系統(tǒng)形式上的復(fù)雜性，比如描述洛倫茲吸引子的方程組就很簡(jiǎn)單。關(guān)鍵是，在簡(jiǎn)單的表象后面莫測(cè)的復(fù)雜。如今在混沌的研究中，計(jì)算機(jī)起了很大的作用。至于實(shí)際應(yīng)用，混沌起作用的地方還是很多的，如天氣系統(tǒng)、N體運(yùn)動(dòng)中的軌道，乃至經(jīng)濟(jì)問(wèn)題……
