現(xiàn)代形式邏輯簡明講座
第一講有效推理和無效推理
關(guān)于“邏輯”一詞的外延，在邏輯學(xué)家之間是有爭議的，但他們一致同意它應(yīng)該包括對(duì)演繹推理（也可稱為必然性推理，與歸納推理或或然性推理相區(qū)別）的研究。對(duì)必然推理的系統(tǒng)研究開始于古希臘哲學(xué)家亞里士多德（公元前384-公元前322年），傳統(tǒng)上被稱為形式邏輯（意思是：邏輯只是形式的；一個(gè)推理是否具有必然性，完全由組成推理的前提和結(jié)論的形式或結(jié)構(gòu)所決定，而與它們所涉及的具體內(nèi)容無關(guān)）。但從19世紀(jì)以來，隨著數(shù)學(xué)或符號(hào)化方法的被引入，它已經(jīng)有了長足的發(fā)展，在廣度、深度和精確性方面都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了傳統(tǒng)邏輯。無論在基本概念的闡明，還是在具體的邏輯技術(shù)方面，傳統(tǒng)邏輯的成就盡管大體說來仍是站得住腳的，但在現(xiàn)代邏輯面前已經(jīng)完全過時(shí)。傳統(tǒng)邏輯能做到的事情，其中最醒目的是對(duì)三段論推理的處理，現(xiàn)代邏輯都能做到，而且能做得更好；現(xiàn)代邏輯還能做傳統(tǒng)邏輯做不到的事情，其中最值得一提的是，它可以用來處理關(guān)系推理，而且它對(duì)關(guān)系推理和對(duì)三段論推理（屬于性質(zhì)推理的范疇）的處理是基于同樣的原理。
作為一本入門讀物，本書將介紹演繹推理中的有效性概念，以及判斷或證明推理有效性的基本技術(shù)。在這開篇的一章中，我們先初步地談一談?dòng)行评淼母拍?，以及有效推理在信念調(diào)整中的作用。
下面這兩個(gè)推理都是有效推理。
1. 前提：（1）小明或高或帥。
（2）小明不高。
結(jié)論：小明帥。
2. 前提：有人愛所有的人。
結(jié)論：所有人都有人愛。
從直覺上說，這兩個(gè)推理的有效性都在于：如果你肯定前提，但卻同時(shí)否定結(jié)論，將會(huì)導(dǎo)致矛盾。在例1中，如果你承認(rèn)小明或高或帥，也承認(rèn)小明不高，但卻同時(shí)否定小明帥，那你就是既認(rèn)為小明或高或帥，又認(rèn)為小明不高也不帥。這明顯是個(gè)矛盾。在例2中，如果你承認(rèn)有人愛所有的人，但卻否定所有人都有人愛，這同樣也是矛盾的，雖然要說清楚這里的矛盾，要比例1費(fèi)些周折。既然有人愛所有的人，讓我們假定這人是張三；既然并不是所有人都有人愛，那一定有人不被任何人所愛，假定這個(gè)人是李四。既然李四并不被任何人所愛，那么它自然也不會(huì)被張三所愛。這樣一來，張三并不愛所有的人，至少他并不愛李四。這里就產(chǎn)生了矛盾。
反過來說，如果一個(gè)推理是無效的，那么肯定前提并否定結(jié)論并不會(huì)產(chǎn)生矛盾。我們以下面兩個(gè)無效推理加以說明。
3. 前提：（1）小明或高或帥。
（2）小明高。
結(jié)論：小明不帥。
4. 前提：所有人都有人愛。
結(jié)論：有人愛所有的人。
在例3中，肯定前提并否定結(jié)論，會(huì)使你認(rèn)為小明或高或帥，而且又高又帥；顯然，或高或帥和又高又帥這兩者之間并沒有矛盾。在例4中，肯定前提并否定結(jié)論，會(huì)使你認(rèn)為雖然所有的人都被某人所愛，但并不存在愛所有人的人，這兩者同樣是不矛盾的。為說明這一點(diǎn)，只需要考慮下面的簡單情形。假定只有3個(gè)人a，b，c，其中a只為b所愛，b只為c所愛，c只為a所愛，顯然這一情形既滿足了前提（所有的人都有人愛），同時(shí)又否定了結(jié)論（沒有人愛所有的人）。
如果一個(gè)推理是有效的，我們就說該推理的前提蘊(yùn)涵結(jié)論，比如我們說，“張三或高或帥，而且張三不高”蘊(yùn)涵“張三帥”；“有人愛所有的人”蘊(yùn)涵“所有人都有人愛”。任何一個(gè)有效推理都對(duì)應(yīng)著一個(gè)語句之間的蘊(yùn)涵關(guān)系。反之，無效推理中的前提并不蘊(yùn)涵結(jié)論。
因?yàn)樵谟行评碇?，肯定前提而否定結(jié)論會(huì)導(dǎo)致矛盾，所以，如果我們不想陷入矛盾，那么在肯定前提時(shí)就一定要肯定結(jié)論。（注意，如果我們并不肯定某個(gè)有效推理中的前提，那么我們也就沒有肯定結(jié)論的義務(wù)，可以肯定也可以否定，這樣做并不矛盾。）有效推理或蘊(yùn)涵關(guān)系是我們信念系統(tǒng)的粘合劑。如果我們看出一個(gè)語句為我們相信為真的一些語句所蘊(yùn)涵，我們就得相信它是真的；如果我們不愿相信它為真，就得改變我們對(duì)參與蘊(yùn)涵它的某個(gè)語句的信念。因此，蘊(yùn)涵關(guān)系構(gòu)成了我們信念之網(wǎng)的網(wǎng)上紐結(jié)，各種信念通過這樣的紐結(jié)而彼此關(guān)聯(lián)。
深?yuàn)W的科學(xué)理論之所以能和我們直接觀察到的東西發(fā)生聯(lián)系，也完全是靠了蘊(yùn)涵關(guān)系的幫助。當(dāng)我們用科學(xué)理論解釋或預(yù)測(cè)某類可觀察的現(xiàn)象時(shí)，我們其實(shí)是在科學(xué)理論和描述這類現(xiàn)象的語句之間建立有效推理或蘊(yùn)涵關(guān)系，比如從分子運(yùn)動(dòng)論及其他我們所承認(rèn)的前提中推導(dǎo)出“物體熱脹冷縮”的結(jié)論。當(dāng)我們檢驗(yàn)一個(gè)科學(xué)理論時(shí)，通常只能間接地檢驗(yàn)這個(gè)理論所蘊(yùn)涵的可觀察結(jié)論，因?yàn)槔碚摫旧硭枋龅臇|西（分子、原子之類的微觀結(jié)構(gòu)和太陽系、河外星系之類的宇觀對(duì)象）是我們根本無法觀察到的。
上面對(duì)有效推理和無效推理的說明只是初步的。有效推理就是肯定前提而否定結(jié)論會(huì)導(dǎo)致矛盾的推理，無效推理就是肯定前提而否定結(jié)論不會(huì)導(dǎo)致矛盾的推理。很好。但什么是矛盾呢？我們并沒有對(duì)此作出進(jìn)一步的闡明，而是求助于讀者的直覺。
我們?cè)赋?，?duì)于一個(gè)有效推理，我們只要接受了其前提，就必須接受它的結(jié)論；否則的話，我們將會(huì)陷入矛盾中。但這里有一個(gè)問題產(chǎn)生了：陷入矛盾有什么不好呢？我們?yōu)槭裁磻?yīng)該拒絕矛盾呢？
還有，我們以上所舉的有效推理和無效推理的例子，肯定前提并否定結(jié)論會(huì)不會(huì)導(dǎo)致矛盾都是一目了然的。但一些復(fù)雜語句的矛盾性，以及一些復(fù)雜推理的有效性，并不是這樣一目了然的，這就需要專門的邏輯技術(shù)來幫助我們作出判斷。
因此，如果你想獲得基本的邏輯概念和技術(shù)，就繼續(xù)往下閱讀這本小書吧。
復(fù)習(xí)題：
1. 什么是有效推理？
2. 關(guān)于有效推理，下面這個(gè)關(guān)于蘇格拉底的三段論是一個(gè)屢屢被舉的例子。請(qǐng)對(duì)這個(gè)例子的有效性作出說明。
前提（1）所有人都會(huì)死。
（2）蘇格拉底是人。
結(jié)論：蘇格拉底會(huì)死。
3. 如何利用有效推理或蘊(yùn)涵關(guān)系整合我們的信念？
第二講矛盾句和矛盾模式、邏輯結(jié)構(gòu)的層次性
我們已經(jīng)指出，推理的有效性就在于肯定前提而否定前提會(huì)導(dǎo)致矛盾。因此，要說明上一章中所舉的兩個(gè)例子是有效的，就是要說明下面兩個(gè)通過肯定前提而否定結(jié)論所形成的語句是矛盾的。
1. 小明或高或帥，而且小明不高，而且小明不帥。
2. 有人愛所有的人，而且并不是所有人都有人愛。
當(dāng)然，這兩個(gè)語句的矛盾性，從直覺上看是一目了然的。但說它們是矛盾的，究竟是什么意思呢？
從邏輯的觀點(diǎn)看，矛盾語句的特點(diǎn)在于，所有與之有著相同邏輯結(jié)構(gòu)或形式的語句都是假的；換言之，矛盾句之所以是矛盾的，完全是由于它的邏輯結(jié)構(gòu)或形式。
矛盾句的這個(gè)特點(diǎn)在下面這個(gè)最簡單的矛盾句中是很顯然的：
3. 中國是亞洲國家，而且中國不是亞洲國家。（可以更加流利地表述成：中國既是亞洲國家又不是亞洲國家。）
這個(gè)語句是由兩個(gè)互相否定的語句用“而且”聯(lián)結(jié)起來的，因此它的結(jié)構(gòu)可以寫成：
4. （），而且并非（）。
4本身并不是語句，而是一個(gè)表示語句邏輯結(jié)構(gòu)的模式；但只要其中的括號(hào)被替換成一個(gè)語句，便能形成一個(gè)語句。這樣形成的語句可以稱為該模式的一個(gè)例句。4就是該模式中的“（）”被“中國是亞洲國家”替換而形成的例句。
很顯然，具有4這樣結(jié)構(gòu)的所有語句，一律都是假的（矛盾律）。這樣的語句模式，即所有例句都為假的語句模式，我們稱為矛盾模式或不一致模式。矛盾句就是矛盾模式的例句。我們之所以要拒絕矛盾，理由就在這里。矛盾句是假的（可以稱為邏輯假），以追求真理為己任的人當(dāng)然要拒絕那些他看出矛盾的語句，而且要拒絕一切他看出假的語句。有些矛盾是一望而知的（3就是如此，1和2相信對(duì)我們的讀者也是如此）；即使不那么自明的矛盾，原則上我們也可以通過邏輯技術(shù)的幫助來表明它們確實(shí)是矛盾的。因此，拒絕矛盾不但應(yīng)該，而且是可以做到的。
現(xiàn)在，我們對(duì)于語句3的矛盾性已經(jīng)了解了，它的矛盾性在于它是矛盾模式4的例句。但據(jù)說1和2也是矛盾句，那么它們分別是哪個(gè)矛盾模式的例句呢？
先看1的情況。1看上去是三個(gè)語句通過“而且”聯(lián)結(jié)而形成的，因此，它是下面這個(gè)模式的例句：
5. p，而且q，而且r。
其中斜體的小寫字母“p”、“q”、“r”，起著括號(hào)的作用，用來標(biāo)出模式中的語句位置。這個(gè)模式當(dāng)然也可以寫成：（），而且【】，而且｛｝。但很顯然，用括號(hào)標(biāo)出成分句的位置，不及用字母來得簡明；因此，我們今后將采用字母來標(biāo)出模式中的語句位置。
值得注意的是，要將這個(gè)模式與下面的模式相區(qū)別：
6. p，而且p，而且p。
這兩者的區(qū)別在于，5的例句的范圍更廣。6的例句中的三個(gè)成分句必須是相同的語句；5的例句中的三個(gè)成分句卻不必如此，它們可以是相同的，也可以是不同的語句。從模式形成例句的一般規(guī)則是：同樣的字母必須被替換以相同的語句，而替換不同字母的語句可以相同也可以不同。5和6的區(qū)別相當(dāng)于數(shù)學(xué)中“x+y+z”和“x+x+x”這兩個(gè)代數(shù)式的區(qū)別。我們的模式其實(shí)就是代句式。
回到對(duì)1的分析上來?，F(xiàn)在我們知道，它是模式5的例句。但這個(gè)模式是矛盾的嗎？只要我們將這個(gè)模式中的三個(gè)字母替換以3個(gè)真語句，便可形成一個(gè)真語句，比如：中國是亞洲國家，而且英國是歐洲國家，而且秘魯是美洲國家。這樣一來，5的所有例句不全是假的，因此根據(jù)我們的定義，5并不是一個(gè)矛盾模式。
但我們是不是應(yīng)該得出結(jié)論：既然1所從屬的模式5并不是矛盾的，所以1并不是一個(gè)矛盾句？難道我們關(guān)于1是一個(gè)矛盾句的直覺錯(cuò)了嗎？
當(dāng)然不是這樣的。問題出在我們的分析并不充分。1誠然從屬于5，但還從屬于其他模式，其中有些比5更簡單，有些比5更復(fù)雜。更簡單的模式：“p”（任何語句都從屬于這個(gè)模式）、“p，而且q”（用“小明或高或帥，而且小明不高”替換“p”，用“小明不帥”替換“q”，便可得到1）。更復(fù)雜的模式：“p或者q，而且r，而且s”（p：小明高；q：小明帥；r：小明不高；s：小明不帥。）、“
p
或者q，而且并非p，而且并非q”（p：小明高；q：小明帥。）。
我們將會(huì)看到，最后一個(gè)模式
7 p或者q，而且并非p，而且并非q
是一個(gè)矛盾模式（具體分析見下一講）。由于1可以看成是它的例句，因此終究是一個(gè)矛盾句。
以上分析給我們的教益是：語句的邏輯結(jié)構(gòu)有淺層和深層之分。5刻畫的只是1的比較淺層的結(jié)構(gòu)，7刻畫的是比較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。如果我們對(duì)某個(gè)語句的結(jié)構(gòu)只作淺層分析就可發(fā)現(xiàn)它從屬于某個(gè)矛盾模式，我們就可以說這個(gè)語句是個(gè)矛盾句，而無需深入分析下去。但如果我們的淺層分析并沒有發(fā)現(xiàn)矛盾模式，那是不足以作出否定結(jié)論的；我們的分析必須繼續(xù)下去，直到分析出它所從屬的最終模式為止。如果這個(gè)最終模式仍然不是矛盾模式，這時(shí)我們才可以說被分析的語句確實(shí)不是矛盾句。
7在某種意義上是1所從屬的最終模式。如果分析的最小單位是語句，那么分析出7以后，確實(shí)無法再深入下去了，因?yàn)樗呀?jīng)詳盡無遺地刻畫了1的各個(gè)成分句之間的關(guān)系。它是這樣得出來的：我們找出1中最簡單的不相同的成分句“小明高”、“小明帥”，并且用不同的字母“p”、“q”分別替換它們。由于這兩個(gè)成分句分別出現(xiàn)在兩處不同的位置（后一處是被否定的），我們就在這兩處不同的位置都替換以相同的字母（后一處也同樣要被否定）。
但即使我們分析出語句所從屬的最終的語句復(fù)合模式，而且即使這個(gè)模式不是矛盾模式，我們?nèi)圆蛔阋詳嘌赃@個(gè)語句不是矛盾句。2就是一個(gè)例子。它所從屬的最終的語句復(fù)合模式是一目了然的“p而且并非q”（p：有人愛所有人；q：所有人都有人愛）。雖然這個(gè)模式并不是矛盾的，但2仍是矛盾句。要說明2的矛盾性，我們的分析還得進(jìn)一步深入下去，深入到簡單句的內(nèi)部，即深入到語詞層面（見第某講及以后）。
從下一章開始，我們將開始比較系統(tǒng)地講解語句模式及其性質(zhì)。我們將分兩步走。首先，我們介紹真值函項(xiàng)模式，它們是由所謂的真值函項(xiàng)聯(lián)結(jié)詞（我們已經(jīng)接觸到了其中的“而且”、“并非”、“或者”）所形成的模式。然后，我們將介紹更加復(fù)雜的模式，出現(xiàn)在這些模式中的不僅可以有真值函項(xiàng)聯(lián)結(jié)詞，而且還可以有所謂的量詞（相當(dāng)于日常語言中的“有些”，“所有”）和變項(xiàng)（相當(dāng)于日常語言中的單數(shù)代詞“它”）。上一章中的推理2，以及這一章中的例句2，其有效性和矛盾性只有在將它們納入到這樣的復(fù)雜模式后才能得到說明。
復(fù)習(xí)題：
1. 什么是語句模式？舉例說明。
2. 什么是矛盾模式，它和矛盾句的關(guān)系是怎樣的？舉例說明。
3. 分析出矛盾句“中國是亞洲國家，而且中國不是亞洲國家”所從屬的所有模式，這些模式都是矛盾模式嗎？
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