美女视频免费观看网址,鞠婧祎污视频,杨幂艺考舞蹈过程视频

1.泊松分布

泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，假設(shè)有一列二項(xiàng)分布B(n,p_n)，均值為 $λ$ ,即 $lim_{n \to \infty} n p_{n} = λ > 0$ ，對任何非負(fù)整數(shù)k(即發(fā)生k次的概率)有 $lim_{n \to \infty} b (k; n, p_{n}) = lim_{n \to \infty} C_{n}^{k} p_{n}^{k} (1 - p_{n})^{n - k} = e^{- λ} \frac{λ^{k}}{k!}$ 。
證明：
$\begin{aligned} (1) & C_{n}^{k} p_{n}^{k} (1 - p_{n})^{n - k} & = \frac{n!}{k! (n - k)!} p_{n}^{k} (1 - p_{n})^{n - k} \\ (2) & = \frac{1 \times 2 \times 3 \times . . . \times n}{k! \times 1 \times 2 \times 3... \times (n - k) \times n^{k}} (1 - p_{n})^{- k} (n p_{n})^{k} (1 - p_{n})^{n} \\ (3) & = \frac{n \times (n - 1) \times (n - 2) \times . . . \times (n - k + 1)}{k! \times n^{k}} (1 - p_{n})^{- k} (n p_{n})^{k} (1 - p_{n})^{n} \\ (4) & = \frac{1}{k!} (1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) . . . (1 - \frac{k - 1}{n}) (1 - p_{n})^{- k} (n p_{n})^{k} (1 - p_{n})^{n} \end{aligned}$
注意到 $lim_{n \to \infty} (n p_{n})^{k} = λ^{k}$ ，和 $lim_{n \to \infty} (1 - p_{n})^{n} = e^{- λ}$ 。

定理證畢。

泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時，二項(xiàng)分布就可以近似地看成時參數(shù) $λ = n p$ 的泊松分布。

2.泊松過程

實(shí)驗(yàn)結(jié)果滿足泊松分布的實(shí)驗(yàn)即為泊松過程。

3.泊松點(diǎn)過程

泊松點(diǎn)過程其實(shí)和泊松過程并無區(qū)別。只是在我初接觸的時候不自覺的把它當(dāng)成一個二維的撒點(diǎn)過程。所以我想更多人會把這個術(shù)語當(dāng)做是如何在二維平面撒滿足泊松分布點(diǎn)的方法。放心，這里也是介紹方法的。

3.1一維的撒點(diǎn)方法

3.1.1算法1

我們注意到，在齊次泊松過程中，兩次事件的距離是滿足均值為 $\frac{1}{λ}$ 的指數(shù)分布。

(0) 初始化 t = 0;

(1) 取一個滿足均勻分布u~U(0,1)的隨機(jī)數(shù)u;

(2) $t = t - \frac{1}{λ} l o g (u)$ ;

(3) 生成一個點(diǎn)t；

(4) 返回(1)。

3.1.2算法2

假設(shè)在固定的時長 $[0, t_{0}]$ ，事件發(fā)生次數(shù)為 $N (t_{0}) = n ，事件发生的时间$ T_1,T_2,...,T_n $(排序过的) 满足均匀分布。 (1) 生成随机变量 n 满足泊松分布$ n\sim Poisson(\lambda t);

(2) 如果n=0,結(jié)束退出。否則，獨(dú)立地生成 $u_{1} \sim U (0, 1), u_{2} \sim U (0, 1), . . ., u_{n} \sim U (0, 1)$ ，然后將得到的 $u_{i}$ 進(jìn)行排序（按升序）得到 $u_{(1)}, u_{(2)}, u_{(3)}, . . ., u_{(n)}$

(3) $t_{i} = t_{0} u_{(i)}, i = 1, 2, . . . ., n$

(4) 生成 $t_{i}$ 。

3.2二維的撒點(diǎn)方法

二維撒點(diǎn)滿足的泊松分布最關(guān)鍵的唯一和一維的不同點(diǎn)在于泊松分布參數(shù)由 $λ t$ 變?yōu)?span data-mathml=" $λ \times A (R)$ " role="presentation" style="position: relative;"> $λ \times A (R)$ ,A(R)是區(qū)域R的容量(對更高維也可以用的定義)。在半徑為r>0的的圓平面更容易完成滿足泊松分布的撒點(diǎn)過程。

3.2.1算法1

3.2.1.1定理1

假設(shè) $(R_{1}, θ_{1}), (R_{2}, θ_{2}), . . ., (R_{N}, θ_{N})$ 是極坐標(biāo)系中代表N>0的事件的位置，分布滿足在圓 $C \equiv (x, y) : x^{2} + y^{2} \leq r^{2}$ 內(nèi)的齊次泊松過程。設(shè)N=n,排好序的事件的半徑 $R_{(1)}, R_{(2)}, . . ., R_{(n)}$ 符合密度函數(shù)為 $f (z) = \frac{2 z}{r^{2}}, z \in [0, r]$ 的分布， $θ_{1}, θ_{2}, . . ., θ_{n}$ 獨(dú)立同分布于均勻分布 $U [0, 2 π]$ 并且和 $R_{1}, R_{2}, . . ., R_{n}$ 獨(dú)立。
下面就提出利用齊次泊松過程在半徑為r的圓上生成N=n個點(diǎn)，滿足參數(shù)為 $π r^{2} λ$ 的泊松分布。生成的點(diǎn)的極坐標(biāo)半徑滿足上述定理。

3.2.1.2算法實(shí)現(xiàn)

(0) $n \sim P o i s s o n (π r^{2} λ)$ 。如果n=0，結(jié)束退出。否則，獨(dú)立地生成 $u_{1} \sim U (0, 1), u_{2} \sim U (0, 1), . . ., u_{n} \sim U (0, 1)$

(1) $R_{1} \leftarrow r \sqrt{u_{1}}, R_{2} \leftarrow r {\sqrt{u}}_{2}, . . . R_{n} \leftarrow r {\sqrt{u}}_{n}$ 。

(2) 對 $R_{1}, R_{2}, . . ., R_{n}$ 排序（升序）得到 $R_{(1)}, R_{(2)}, . . ., R_{(n)}$ 。

(3) 獨(dú)立地生成 $u_{n + 1} \sim U (0, 1), u_{n + 2} \sim U (0, 1), . . ., u_{2 n} \sim U (0, 1)$ 。

(4) $θ_{1} \leftarrow 2 π u_{n + 1}, θ_{2} \leftarrow 2 π u_{n + 2}, . . ., θ_{n} \leftarrow 2 π u_{2 n}$ 。

(5) 生成點(diǎn)的坐標(biāo) $(R_{(1)}, θ_{1}), (R_{(2)}, θ_{2}), . . ., (R_{(n)}, θ_{n})$ 。

3.2.2算法2

在更加不規(guī)則的區(qū)域內(nèi)完成。如:感興趣的區(qū)域?yàn)?span data-mathml=" $C \equiv (x, y) : x \geq 0, y \geq 0, y \leq f (x), x \leq T$ " role="presentation" style="position: relative;"> $C \equiv (x, y) : x \geq 0, y \geq 0, y \leq f (x), x \leq T$ .其中排過序的 $X_{(1)}, X_{(2)}, . . ., X_{(N)}$ 是事件的橫坐標(biāo)，那么 $\int_{X_{(} i - 1)}^{X_{(} i)} f (x) d x, X_{(0)} = 0, i = 1, 2, . . ., 独立同分布于均值为 \frac{1}{λ} 的指数分布$ 。其相應(yīng)的縱坐標(biāo) $Y_{i}$ 服從均勻分布 $U (0, f (X_{(i)}))$

(0) 初始化 $j = 1, n = 0, w = 0, x_{0} = 0$ .

(1) 獨(dú)立地生成 $u_{j} \sim U (0, 1)$ .

(2) $w_{j} \leftarrow - \frac{1}{λ} l n (1 - u_{j})$ .

(3) $w \leftarrow w + w_{j}$ .

(4) 如果 $w \leq \int_{0}^{T} f (x) d x$ ,那么 $n \leftarrow n + 1$ 然后跳回到(1)

(5) 如果n=0,退出結(jié)束，否則，求解 $x_{(i)}, i = 1, 2, . . ., n 满足 \int_{x_{(} i - 1)}^{x_{(} i)} f (x) d x = w_{i}$ .

(6) 獨(dú)立地生成 $u_{n + 1} \sim U (0, 1), u_{n + 2} \sim U (0, 1), . . ., u_{2 n} \sim U (0, 1)$ .

(7) $y_{i} \leftarrow u_{n + i} f (x_{i})$ .

(8) 撒點(diǎn) $(x_{9 i)}, y_{(i)}), i = 1, 2, . . ., n$ .

3.2.3算法3

更普適理論的算法

(1) $n \sim P o i s s o n (λ A (C))$ .

(2) 如果n=0,退出結(jié)束。否則生成n個點(diǎn) $(x_{i}, y_{i}), i = 1, 2, . . ., n$ 在C中均勻分布。

(3) 撒點(diǎn) $(x_{i}, y_{i})$ .
注意：如果區(qū)域C不是規(guī)則的，那么步驟2不能直接得到，在二維情景中，可以生成一個矩形區(qū)域C'包含區(qū)域C。

Reference:Generating Homogeneous Poisson Processes。

本站僅提供存儲服務(wù)，所有內(nèi)容均由用戶發(fā)布，如發(fā)現(xiàn)有害或侵權(quán)內(nèi)容，請點(diǎn)擊舉報。

国产一级a片免费看高清,亚洲熟女中文字幕在线视频,黄三级高清在线播放,免费黄色视频在线看