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1.初見泊松分布

Poisson distribution，翻譯成中文名為泊松分布、普阿松分布、帕松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等，是概率與統(tǒng)計學(xué)中一種常見的離散概率分布，常用來描述單位時間內(nèi)隨機時間發(fā)生次數(shù)的概率分布。

若隨機變量 $X$ 服從參數(shù)為 $λ$ 的泊松分布，則可以記為 $X \sim π (X)$ ，或者 $X \sim P (X)$ 。其中，參數(shù) $λ$ 是單位時間內(nèi)隨機事件 $X$ 發(fā)生的平均概率。

2.從二項分布到泊松分布

博主當(dāng)年上大學(xué)的時候，因為學(xué)習(xí)不是很認(rèn)真，一直沒用弄明白泊松分布這分布還有那分布到底是個什么鬼。這里咱們先給出一個結(jié)論：泊松分布是二項分布的極限情況。具體推導(dǎo)過程，且看下面咱們的解釋。
先看看咱們最熟悉的二項分布。說到二項分布，自然就以拋硬幣為例。假設(shè)我們拋4次硬幣， $P (x)$ 表示有 $x$ 次硬幣正面朝上，二項分布的概率為：
$p (0) = \frac{C_{4}^{0}}{2^{4}} = \frac{1}{16}$ ， $p (1) = \frac{C_{4}^{1}}{2^{4}} = \frac{4}{16}$ ， $p (2) = \frac{C_{4}^{2}}{2^{4}} = \frac{6}{16}$
$p (3) = \frac{C_{4}^{3}}{2^{4}} = \frac{4}{16}$ ， $p (4) = \frac{C_{4}^{4}}{2^{4}} = \frac{1}{16}$
上面的計算也很簡單，無需過多解釋。不過需要提及的一點是，二項分布中的隨機變量 $X$ 是離散變量，如果是連續(xù)變量呢？就該輪到我們的泊松分布登場了。

舉一個泊松分布中常用的例子。假設(shè)我們現(xiàn)在要估計某個路口一小時經(jīng)過 $k$ 輛車的概率。那么第一步，肯定是先大量觀察一段時間，獲取一小時的時間內(nèi)通過的汽車數(shù)量的期望 $λ$ 。例如連續(xù)三天的14：00-17：00都在路口觀察，得到最終的期望值 $λ$ 。然后我們把每小時分為60min。同時，還假設(shè)每分鐘的時間間隔內(nèi)，要么經(jīng)過一輛車，要么沒有車。根據(jù)咱們上面的二項分布，很容易得出以下概率：

p (k) = C_{60}^{k} \frac{λ}{60} (1 - \frac{λ}{60})^{60 - k}

其中，

\frac{λ}{60}

表示每分鐘都有一輛車經(jīng)過的概率。

很明顯，實際情況中，并不是真的每分鐘只有一輛車經(jīng)過，大路口每分鐘有很多車經(jīng)過是很正常的現(xiàn)象。那說明之前的假設(shè)不成立，怎么辦呢？學(xué)過微積分的同學(xué)們都知道，很簡單，繼續(xù)分嘛。一分鐘的精度如果不夠，咱們分成半分鐘；半分鐘的精度如果還不夠，分成一秒鐘…..如果這么一直下去取極限，我們就得到了泊松分布，其實也就是二項分布的極限情況！

寫到這里為止，先將泊松分布的表達(dá)式給出：

p (X = k) = \frac{e^{- λ} λ^{k}}{k!}

其中 $λ$ 是單位時間內(nèi)隨機事件的平均發(fā)生率。

3.泊松分布的推導(dǎo)

在二項分布的伯努利試驗中，如果試驗次數(shù)n很大，二項分布的概率p很小，且乘積λ= np比較適中，則事件出現(xiàn)的次數(shù)的概率可以用泊松分布來逼近。事實上，二項分布可以看作泊松分布在離散時間上的對應(yīng)物。

證明：
首先回顧 $e$ 的定義:

lim_{n \to \infty} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n} = e^{- λ}

而二項分布的定義：

P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

如果令 $p = λ / n$ ，有：

\begin{aligned} lim_{n \to \infty} P (X = k) & = lim_{n \to \infty} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} \\ = lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(n - k)! k!} {(\frac{λ}{n})}^{k} {(1 - \frac{λ}{n})}^{n - k} \\ = lim_{n \to \infty} \underset{F}{\underset{⏟}{[\frac{n!}{n^{k} (n - k)!}]}} (\frac{λ^{k}}{k!}) \underset{\to \exp (- λ)}{\underset{⏟}{{(1 - \frac{λ}{n})}^{n}}} \underset{\to 1}{\underset{⏟}{{(1 - \frac{λ}{n})}^{- k}}} \\ = lim_{n \to \infty} \underset{\to 1}{\underset{⏟}{[(1 - \frac{1}{n}) (1 - \frac{2}{n}) \dots (1 - \frac{k - 1}{n})]}} (\frac{λ^{k}}{k!}) \underset{\to \exp (- λ)}{\underset{⏟}{{(1 - \frac{λ}{n})}^{n}}} \underset{\to 1}{\underset{⏟}{{(1 - \frac{λ}{n})}^{- k}}} \\ = (\frac{λ^{k}}{k!}) \exp (- λ) \end{aligned}

看完上述推導(dǎo)過程以后，想必對泊松分布是二項分布的極限情況這個概念應(yīng)該有更深入的了解。

4.再看個實例

如果某個小商店，平均每周賣出兩個水果罐頭。問：該小商店水果罐頭的最佳庫存為多少？
假定水果罐頭的銷量不存在季節(jié)性因素，可以近似認(rèn)為滿足下列條件：
1.顧客購買水果罐頭是小概率事件。
2.顧客購買水果罐頭是獨立事件。
3.顧客購買水果罐頭的概率是平穩(wěn)的，不會發(fā)生突變。

在統(tǒng)計學(xué)上，只要某類事件滿足以上三個條件，就可以認(rèn)為它服從’泊松分布’。

根據(jù)前面泊松分布的公式：

p (X = k) = \frac{e^{- λ} λ^{k}}{k!}

具體到本例中：

P

：每周銷售k個罐頭的概率

X

：水果罐頭的銷售變量

k

：X的取值(0,1,2,3…)

λ

：每周水果罐頭的銷量，本例中為2

有泊松分布的公式，可以計算得出每周銷售的分布：

從上表可見，如果存貨4個罐頭，95%的概率不會缺貨（平均每19周發(fā)生一次）；如果存貨5個罐頭，98%的概率不會缺貨（平均59周發(fā)生一次）。

注：罐頭的例子來自網(wǎng)絡(luò)。找不到原始的出處了，所以沒有給相應(yīng)的來源信息。

5.與伽馬(gamma)分布的關(guān)系

伽馬分布是概率統(tǒng)計的萬人迷，到處都可以見到他的身影。咱們先看看伽馬函數(shù)的定義：

Γ (z) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{z - 1}}{e^{x}} d x

如果

z

為正整數(shù)，那么伽馬函數(shù)可以定義為：

Γ (n) = (n - 1)!

這就顯示除了伽馬函數(shù)與階乘之間的聯(lián)系。很明顯可以看出，伽馬函數(shù)將 $n!$ 的計算擴展到了實數(shù)域與復(fù)數(shù)域。

將上面的伽馬函數(shù)做個簡單處理，可以得到：

\int_{0}^{\infty} \frac{x^{α - 1} e^{- x}}{Γ (α)} d x = 1

取上式中的函數(shù)作為概率密度，可以得到一個最簡單的Gamma分布的密度函數(shù)：

Γ (x | α) = \frac{x^{α - 1} e^{- x}}{Γ (α)}

對比一下我們之前的泊松分布：

p (X = k) = \frac{λ^{k} e^{- λ}}{k!}

在Gamma分布中，如果令 $α = k + 1$ ，可以發(fā)現(xiàn)Gamma分布于泊松分布是完全一致的！
所以，泊松分布于Gamma分布的區(qū)別在于，泊松分布是離散的，而Gamma分布是連續(xù)的，最直觀的解釋就是Gamma分布是泊松分布在正實數(shù)集上的連續(xù)化！

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1.初見泊松分布

2.從二項分布到泊松分布

3.泊松分布的推導(dǎo)

4.再看個實例

5.與伽馬(gamma)分布的關(guān)系