在計算教學(xué)中，學(xué)生會出現(xiàn)各種錯誤，這是每一個小學(xué)數(shù)學(xué)教師所要面對的，基于此，如何處理學(xué)生的計算錯誤就顯得尤為重要.研究關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)職初教師與專家教師在處理學(xué)生計算錯誤過程中的表征異同，包括對學(xué)生計算錯誤的歸因，糾正學(xué)生計算錯誤的教學(xué)策略.最后比較分析兩類教師關(guān)于理解學(xué)生錯誤的知識.
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，往往伴隨錯誤的產(chǎn)生，過去教師常認為學(xué)生出錯是因不小心或誤解題意.但認知心理學(xué)的興起，給研究者提供了新的視角，數(shù)學(xué)心理學(xué)的研究指出，學(xué)生在學(xué)習(xí)時會主動建構(gòu)所學(xué)習(xí)的材料，也會在建構(gòu)的過程中產(chǎn)生錯誤.很多教師認為學(xué)生犯錯誤是日常教學(xué)中一件很平常的事情，殊不知越為人們習(xí)以為常的事情卻有獨特的研究價值[1].自20世紀80年代以來，有關(guān)數(shù)學(xué)教育中學(xué)生錯誤研究的國際研討會已召開多屆，至今學(xué)生錯誤的研究依然是研究的熱點.錯誤在數(shù)學(xué)中和正確的答案一樣重要，有時候要有過之而無不及.錯誤幫助了數(shù)學(xué)的發(fā)展；錯誤幫助人們了解數(shù)學(xué)的來龍去脈；錯誤可作為診斷工具，讓人們能了解學(xué)生心理可能的想法，其錯誤并非漫無目的發(fā)生，而是有其理由[2].學(xué)者研究也指出，對學(xué)生學(xué)習(xí)的錯誤性質(zhì)及類型分析，有助于教師進行有效教學(xué)策略的設(shè)計，因而關(guān)于錯誤分析的研究是一個永恒的主題.
在計算教學(xué)中，學(xué)生會出現(xiàn)各種錯誤，這是每一個小學(xué)數(shù)學(xué)教師所要面對的，已有研究發(fā)現(xiàn)，教師十分重視學(xué)生的分數(shù)，重視學(xué)生的學(xué)習(xí)結(jié)果，從而導(dǎo)致教師對學(xué)生錯誤的認知標準是看結(jié)果，而不是看過程[3].基于此，探討小學(xué)數(shù)學(xué)教師如何處理學(xué)生的計算錯誤就顯得尤為重要.研究關(guān)注小學(xué)數(shù)學(xué)職初教師與專家教師在處理學(xué)生計算錯誤過程中的表征異同，包括對學(xué)生計算錯誤的歸因，糾正學(xué)生計算錯誤的教學(xué)策略.基于小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)的實踐，收集兩類教師對特定內(nèi)容學(xué)生計算錯誤理解的資料，進行質(zhì)的分析及討論，比較分析兩類教師關(guān)于理解學(xué)生錯誤的知識，為小學(xué)數(shù)學(xué)教師學(xué)科教學(xué)知識的發(fā)展提供思考的視角.
一、文獻探討
對學(xué)生錯誤的分析是教師重要的專業(yè)能力，這種能力對于教學(xué)起著很重要的作用.這是因為有效的數(shù)學(xué)教學(xué)要求教師了解學(xué)生知道什么以及需要學(xué)什么，然后促使并幫助他們學(xué)好，教師必須知道學(xué)生通常在理解上有困難的數(shù)學(xué)概念，并掌握如何幫助學(xué)生克服常見錯誤的方法[4].Even & Tirosh（1995）的研究指出，教師不僅應(yīng)該有關(guān)于學(xué)生某種錯誤存在的知識，更應(yīng)該有關(guān)于這些錯誤為什么存在的知識[5].也就是教師不僅知道“是什么”和“如何做”，而且還要理解學(xué)生“為什么”會這樣做.這說明，教師知識不僅包括對學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)理解，還包括對學(xué)生多種思維方式的理解.
Ball的研究團隊發(fā)現(xiàn)教學(xué)需要教師擁有大量的知識，但是這些知識又是從事其他職業(yè)的人員所不需要的，只有教師才需要，其中一項就是分析學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤的知識，她在研究中給出了一個計算的例子[6]，這個例子是關(guān)于整數(shù)退位減法的內(nèi)容，是學(xué)生學(xué)習(xí)中一個非常普遍的錯誤：307-168=261，所有小學(xué)數(shù)學(xué)教師都能立刻指出學(xué)生算錯了，這種判斷并不需要專門的知識就完全可以做到，是其他任何人只要會計算就能知道261是錯誤答案.但是，從教學(xué)的角度來看，分析這個錯誤要比判斷一個錯誤的答案復(fù)雜得多.好的教學(xué)要求教師能在看到學(xué)生錯誤的一瞬間，就能分析出學(xué)生錯誤的原因，并能用適當?shù)牟呗约右约m正.
馬立平以多位數(shù)乘法123×645為任務(wù)情境，比較分析了中美教師處理學(xué)生錯誤的異同[7].研究發(fā)現(xiàn)兩國教師都認為，學(xué)生在進行多位數(shù)乘法時將中間步驟的乘積錯誤排列，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個問題，且這不是粗心引起的.教師對于該問題的認識，與他們關(guān)于該內(nèi)容的數(shù)學(xué)學(xué)科知識相一致.大部分美國教師關(guān)于該內(nèi)容的知識理解是過程性的.相反，大部分中國教師表現(xiàn)出了概念性的理解.
綜上所述發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)教師的工作具有一定的特質(zhì)，需要掌握其他職業(yè)所不需要的數(shù)學(xué)推理的知識.盡管數(shù)學(xué)家也常常分析錯誤，但他們大多是因為自己的研究出現(xiàn)了問題.所以，分析學(xué)生的數(shù)學(xué)錯誤和數(shù)學(xué)家所做的既有聯(lián)系又有區(qū)別.并且，因為這樣的錯誤常常發(fā)生在課堂，要求教師分析學(xué)生的錯誤必須迅速及時，而對數(shù)學(xué)家卻沒有這樣的要求.另外，上述幾位學(xué)者在研究中都運用了教師專業(yè)知識的研究工具——假想數(shù)學(xué)任務(wù)情境，為研究在方法上提供了借鑒.
二、研究設(shè)計
（一）研究對象
研究的樣本包括專家教師與職初教師，兩類教師各選取60名，樣本的選擇標準如下：（1）專家教師選取特級教師、省級學(xué)科帶頭人、省級學(xué)科骨干教師.（2）職初教師選取教齡4年以下（含4年）的教師.
（二）研究工具
研究工具是為教師出示數(shù)學(xué)任務(wù)情境，數(shù)學(xué)任務(wù)情境是評價教師知識常見的方法之一，用于評價教師知識的數(shù)學(xué)任務(wù)情境可以是書面的問題，也可以是口頭訪談的一部分.書面測試和訪談相結(jié)合的方法，可以幫助研究者深入了解教師知識的程度.
任務(wù)情境是兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算，是整數(shù)乘法的核心內(nèi)容，從計算難度上來說，學(xué)生已學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)，在寫積時如果有進位，可以先在旁邊作寄存0的標記，而計算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，求第二部分的乘積時由于沒處寄存0的標記，從而加大了學(xué)生的思維難度，另外第二部分的乘積如何記錄到準確位置也是一個難點.兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算是學(xué)生學(xué)習(xí)乘法的一個特殊階段，是一個質(zhì)變的過程，因為，再往后無論乘數(shù)是三、四位數(shù)的乘法，都只是一個量變、類推的過程.乘法的計算策略跟加減法比起來略顯復(fù)雜，這是因為對乘法而言，計算時要掌握將數(shù)字分成好幾個部分的彈性做法.這種分配性在乘法計算中是一個非常重要的概念，例如25×6，有的學(xué)生會把25分成20和5，將每個部分都乘6，再加起來得到答案，學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法時需要發(fā)展這樣的概念，才能把整數(shù)乘法做好.數(shù)學(xué)任務(wù)情境如下：
