怎樣解題表 一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的題目，但在解答任何一道題目的過程中都會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)。 ——波利亞 怎樣解題表 一、理解題目 1.未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 2.畫張圖。引入適當(dāng)?shù)姆?hào)。 3.把條件的各個(gè)部分分開。你能否把它們寫下來？ 二、擬定方案 1.你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？ 2.你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個(gè)可能用得上的定理？ 3.觀察未知量！試想出一個(gè)具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題。 4.這里有一個(gè)與你現(xiàn)在的問題有關(guān)，且早已解決的問題，你能應(yīng)用它嗎? 你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？為了能利用它，你是否應(yīng)該引入某些輔助元素？ 5.你能不能重新敘述這個(gè)問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義。 6.你若不能解這個(gè)問題，試著先解一個(gè)有關(guān)的問題。你能想出一個(gè)更容易著手的有關(guān)問題么？一個(gè)更一般的問題？一個(gè)更特殊的問題？一個(gè)類似的問題？你能解問題的一部分嗎？ 7.你用了全部條件嗎？ 三、執(zhí)行方案 1.執(zhí)行你的解決方案，檢查每一個(gè)步驟。 2.你能否清楚地看出這一步是正確的？你能否證明這一步是正確的？ 四、回顧反思 1.你能檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)果嗎？你能檢驗(yàn)這個(gè)論證嗎？ 2.你能以不同的方式推到這個(gè)結(jié)果嗎？你能一眼就看出它來嗎？ 3.你能再別的什么題目中利用這個(gè)結(jié)果或這種方法嗎? 波利亞的《怎樣解題》 第一次印刷序 一個(gè)重大的發(fā)現(xiàn)可以解決一道重大的題目，但是在解答任何一道題目的過程中都會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)。你要解答的題目可能很平常，但是如果它激起你的好奇心，并使你的創(chuàng)造力發(fā)揮出來，而且如果你用自己的方法解決了它，那么你就能經(jīng)歷那種緊張狀態(tài)，而且享受那種發(fā)現(xiàn)的喜悅。在一個(gè)易受外界影響的年齡段，這樣的經(jīng)歷可能會(huì)培養(yǎng)出對(duì)智力思考的愛好，并對(duì)思想和性格留下終生的影響。 因此，一位數(shù)學(xué)教師就有著很大的機(jī)會(huì)。如果他把分配給他的時(shí)間都用來讓學(xué)生操練一些常規(guī)運(yùn)算，那么他就會(huì)扼殺他們的興趣，阻礙他們的智力發(fā)展，從而錯(cuò)失他的良機(jī)。相反地，如果他用和學(xué)生的知識(shí)相稱的題目來激起他們的好奇心，并用一些激勵(lì)性的問題去幫助他們解答題目，那么他就能培養(yǎng)學(xué)生對(duì)獨(dú)立思考的興趣，并教給他們某些方法。 如果一個(gè)學(xué)生的大學(xué)課程中包含了某些數(shù)學(xué)科目，那么他也就有了一個(gè)獨(dú)特的機(jī)會(huì)。當(dāng)然，如果他把數(shù)學(xué)看成是一門這樣的課程，他必須從中得到多少多少學(xué)分，而在期末考試后則應(yīng)盡可能快地把它遺忘掉，那么他就失掉了這個(gè)機(jī)會(huì)。即使這個(gè)學(xué)生數(shù)學(xué)上有些天賦，他也有可能會(huì)失掉這一機(jī)會(huì)，因?yàn)楹腿魏纹渌艘粯?，他必須去發(fā)現(xiàn)他自己的天賦和興趣。要是他從未嘗過樹莓餡餅，他也就不可能知道自己會(huì)喜歡樹莓餡餅。然而，他卻有可能發(fā)現(xiàn)一道數(shù)學(xué)題目會(huì)如同一個(gè)縱橫字謎游戲一樣有趣，或者發(fā)現(xiàn)充滿活力的思維練習(xí)就像一場(chǎng)激烈的網(wǎng)球比賽一樣令人神往。在嘗到了數(shù)學(xué)帶來的樂趣以后，他就不會(huì)輕易地忘記，于是數(shù)學(xué)就很有機(jī)會(huì)成為他生活中的一部分：一種愛好，或者他專業(yè)工作中的一種工具，或者是他的職業(yè)，或者是一種崇高的抱負(fù)。 作者還記得自己的學(xué)生時(shí)代，那時(shí)他還是一個(gè)有點(diǎn)雄心的學(xué)生，渴望能懂一點(diǎn)數(shù)學(xué)和物理學(xué)。他聽課、看書，試圖領(lǐng)會(huì)所給出的解答及事實(shí)。但是有一個(gè)問題卻一再困擾著他：“是的，這個(gè)解答看來是行的，它似乎是正確的，但怎樣才能想到這樣一個(gè)解答呢？是的，這個(gè)實(shí)驗(yàn)看起來可行，這似乎是事實(shí)，但是人們?cè)趺磿?huì)發(fā)現(xiàn)這些事實(shí)的？而我自己如何才能想到或發(fā)現(xiàn)它們呢？” 如今，作者正在一所大學(xué)中教授數(shù)學(xué)。他認(rèn)為，或者說他希望，他的一些更努力的學(xué)生能提出類似的一些問題，他會(huì)盡力去滿足他們的好奇心。不僅要盡力去理解這道或那道題目的解答，而且要去理解這個(gè)解答的動(dòng)機(jī)和步驟，并盡力向別人解釋這些動(dòng)機(jī)和步驟，這就最終導(dǎo)致他寫了現(xiàn)在這本書。作者希望本書對(duì)于那些期望提高學(xué)生解題能力的教師，以及對(duì)于渴望提高個(gè)人能力的學(xué)生都會(huì)有用。 雖然本書特別關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生和教師的要求，但它也應(yīng)能引起任何關(guān)心創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的各種途徑和方法的人的興趣。這種興趣可能比一個(gè)人不經(jīng)過思考而隨意設(shè)想的要廣泛得多。在那些流行的報(bào)紙和雜志上由縱橫字謎游戲及其他謎語所占的篇幅似乎說明，人們會(huì)在解不合實(shí)際的題目上花費(fèi)時(shí)間。在解答這道或那道不涉及物質(zhì)利益的題目的愿望背后，也許有著一個(gè)更深切的好奇心，一個(gè)要求理解解答的各種途徑和方法、動(dòng)機(jī)和步驟的愿望。 本書寫得有些簡(jiǎn)明扼要，但又盡可能淺顯，并且是根據(jù)作者對(duì)求解方法的長(zhǎng)期認(rèn)真嚴(yán)肅的研究來寫就的。這種研究方法被某些作者稱為探索法，雖然現(xiàn)在它已經(jīng)不再那么流行了，但是它有過一段很長(zhǎng)的歷史，而且也許還會(huì)有其將來。 通過研究解題的方法，我們察覺到了數(shù)學(xué)的另一面。是的，數(shù)學(xué)具有兩個(gè)面，它既是歐幾里得的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，但同時(shí)也是別的什么。以歐幾里得方式表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)看上去是一種系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在形成過程中的數(shù)學(xué)看上去卻是一種實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。這兩個(gè)方面都如同數(shù)學(xué)科學(xué)本身一樣古老，但是第二個(gè)方面從某種意義上來說又是新的，因?yàn)槲覀冋幱趧?chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)從未完全以這種方式呈現(xiàn)給學(xué)生或教師自己，乃至一般的公眾。 關(guān)于探索法的這一主題和各個(gè)方面都有著聯(lián)系。因此數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、心理學(xué)家、教育家，甚至哲學(xué)家都會(huì)提出將它的各個(gè)不同部分納入他們各自的專門領(lǐng)域。由于充分認(rèn)識(shí)到對(duì)立方有可能會(huì)提出批評(píng)，并敏銳地意識(shí)到自己的局限性，作者要做一點(diǎn)聲明：在解題及教授各種層次的數(shù)學(xué)方面，作者都有一定的經(jīng)驗(yàn)。 此主題在作者的一本即將完成的、內(nèi)容更為寬泛的書中有了更為充分的闡述。 1944年8月1日 于斯坦福大學(xué)
第二版序
除了一些小的改進(jìn)外，第二版新增了第四部分：題目、提示、解答。
在本版即將付印之際，出現(xiàn)了一篇論文，它似乎系統(tǒng)地提出了一些中肯的意見，雖然這些意見對(duì)于知情者來說已了無新意，但是向公眾表述它們卻正是時(shí)機(jī)：“......數(shù)學(xué)的聲譽(yù)令人懷疑，它是專業(yè)課程中最不受歡迎的一門......未來的教師在小學(xué)畢業(yè)時(shí)變得憎惡數(shù)學(xué)了......當(dāng)他們回到小學(xué)去執(zhí)教時(shí)，又教出痛恨數(shù)學(xué)的下一代?！?/p>
我希望為使本書有更廣大的讀者面而修訂的這一版，能使一些讀者確信，數(shù)學(xué)除了作為通向工程工作和科學(xué)知識(shí)的必由之路以外，還可能有樂趣，并能為最高水平的智力活動(dòng)開辟一個(gè)前景。
1956年6月30日
于蘇黎世
謝謝男神的分享！
不客氣，獨(dú)樂樂不如眾樂樂！若您覺得不錯(cuò)，歡迎轉(zhuǎn)發(fā)文章至朋友圈分享！歡迎在最下方點(diǎn)在看、點(diǎn)贊、留言交流！
聯(lián)系客服
