“數(shù)學(xué)虐我千萬(wàn)遍,我待數(shù)學(xué)如初戀。我很努力了,可為什么我的數(shù)學(xué)還是不好?”多少學(xué)生發(fā)出共同的心聲。數(shù)學(xué)是考試中最能拉開差距的科目,如何學(xué)好數(shù)學(xué)也成了很多學(xué)生共同的困惑。
為了帶大家殺出一條血路,最近一直在和數(shù)學(xué)大神、學(xué)霸們套近乎,深挖他們的數(shù)學(xué)應(yīng)試答題技巧,發(fā)現(xiàn)原來(lái)都是“套路”來(lái)著,今天柚子老師就麻利的給大家發(fā)干貨來(lái)了?。ㄎ恼潞荛L(zhǎng),還是要吐血推薦,大家要耐心細(xì)看啊?。?/span>
一、針對(duì)易失誤的問(wèn)題
計(jì)算出錯(cuò) / 答題不規(guī)范 / 答非所選
二、不同分?jǐn)?shù)段的提分竅門
60分考生
80-90分奔120+的考生
120+奔140+的考生
140+奔150的同學(xué)
三、和試卷?yè)尫值募记?/span>
分段得分
處理好'四個(gè)'關(guān)系
附:高中數(shù)學(xué)的17個(gè)答題思路
附:初中數(shù)學(xué)最經(jīng)典的九大解題方法
一、針對(duì)易失誤的問(wèn)題
計(jì)算出錯(cuò)
計(jì)算能力是高考數(shù)學(xué)考查的一項(xiàng)基本能力,但目前反映出來(lái)的問(wèn)題是,很多考生計(jì)算能力非常不足?!霸谠u(píng)卷過(guò)程中,我們經(jīng)??吹娇忌忸}的方法和思路都正確,但就是計(jì)算出錯(cuò)。很多解答題都是多步計(jì)算,中間步驟的計(jì)算出錯(cuò)會(huì)直接導(dǎo)致后續(xù)解答相應(yīng)出錯(cuò),造成嚴(yán)重丟分。”一句話:不是不會(huì)做,而是計(jì)算錯(cuò)!”
在這些錯(cuò)誤中,高考最常見的是“代數(shù)式的恒等變形(含純數(shù)字運(yùn)算)”出錯(cuò),包括整式、分式和二次根式的運(yùn)算,因式分解等內(nèi)容;其次是求解方程(組)與不等式(組)計(jì)算出錯(cuò),這是很容易預(yù)防的錯(cuò)誤。事實(shí)上,解方程或方程組時(shí)將所求出來(lái)的解代入到原方程或方程組進(jìn)行檢驗(yàn)即可發(fā)現(xiàn)正確與否,解不等式或不等式組則可以考慮用解集區(qū)間端點(diǎn)或一些特殊值進(jìn)行檢驗(yàn)。
答題不規(guī)范
高考和中考數(shù)學(xué)解答題明確要求考生寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟。考生們必須明白,做一道解答題實(shí)際是在寫一篇數(shù)學(xué)作文!必須要把解答的思維過(guò)程無(wú)聲地展示給評(píng)卷人員,而不是把一堆數(shù)學(xué)式子和數(shù)學(xué)符號(hào)寫在試卷上即可。很多考生的文字說(shuō)明詞不達(dá)意,證明過(guò)程條件不明顯、推理不到位、演算步驟詳略不當(dāng)、卷面不整潔。有些考生則是文字表述思路不清,令人費(fèi)解,評(píng)卷老師需要猜測(cè)其解題意圖。
另外,千萬(wàn)不要觸碰高考答題要求的“紅線”:必須在指定答題區(qū)域內(nèi)書寫相應(yīng)題號(hào)的解答。有些考生將部分解答內(nèi)容寫在指定的區(qū)域之外,甚至有一些考生更改答題卡的題號(hào),如在18題答題區(qū)域上將“18”涂改成“19”并將19題解答寫在這個(gè)區(qū)域上,這些都會(huì)被作零分處理。
答非所選
填空題同樣是考生“無(wú)謂失分”較多的。一些考生做填空題時(shí)答非所選,即答題卡所選擇的題目與實(shí)際做的題目不一致,但評(píng)卷時(shí)是根據(jù)所選題目進(jìn)行評(píng)判的,當(dāng)然不給分。
此外,考生給出的結(jié)果不規(guī)范也易失分。比如答案是一個(gè)計(jì)算出來(lái)的具體數(shù)字,但考生只是給出了中間一步還沒(méi)有算完的式子等等。
二、不同分?jǐn)?shù)段的提分竅門
60分考生
趕緊先去啃公式
對(duì)于做歷年試題、??碱}能考60分,目標(biāo)分?jǐn)?shù)是90分的同學(xué)來(lái)說(shuō),梳理知識(shí)點(diǎn)很關(guān)鍵,因?yàn)榭?span>60分說(shuō)明知識(shí)點(diǎn)沒(méi)掌握好。數(shù)學(xué)科目中固定的公式其實(shí)沒(méi)有同學(xué)們想象得那么多,一口氣背下來(lái),做題就會(huì)順利很多。(下周柚子會(huì)把中學(xué)數(shù)學(xué)科目中固定的公式搜羅整理出來(lái),分享有需要的家長(zhǎng)和同學(xué)。)
80-90分奔120+的考生
要總結(jié)??碱}型
那些現(xiàn)在能考八九十分,努力要拿下120分的同學(xué),一般缺乏的是知識(shí)框架和條理。考生可把數(shù)學(xué)大題的每一道題作為一個(gè)章節(jié),自己或者找1對(duì)1老師把每章節(jié)的知識(shí)脈絡(luò)捋順。在這個(gè)基礎(chǔ)上,再試著總結(jié)每道大題??嫉膸追N題型。
例如:
數(shù)列題基本上第一問(wèn)求通項(xiàng)公式(記住求通項(xiàng)公式常用的幾種辦法)
第二問(wèn)求前N項(xiàng)和(通常裂項(xiàng)相消或錯(cuò)位相減)或者數(shù)列的證明(包括不等式證明)
這樣做題的時(shí)候大部分的內(nèi)容就都了然于胸。只是要符合總結(jié)的框架套路的題,都是可以直接秒刷的,所花費(fèi)的時(shí)間是用來(lái)計(jì)算、寫字的。能做到這樣,120分就不在話下了。
其實(shí)要拿到120分并不難,只要分配好各種題型的丟分就可以了。選擇加填空最多錯(cuò)3個(gè),這個(gè)可以通過(guò)訓(xùn)練達(dá)到,因?yàn)榇蟛糠值念}都是固定的。一般來(lái)說(shuō),高考中會(huì)有:
集合的題(稱之為簡(jiǎn)單送分的)、向量的題(送分的)、充分必要條件的題(送分的)、復(fù)數(shù)的題(送分的),立體幾何三視圖還原求體積表面積的題(經(jīng)過(guò)訓(xùn)練就是送分的),有的省份還有線性規(guī)劃的題(經(jīng)過(guò)訓(xùn)練也是送分的)。
當(dāng)你總結(jié)出題目的出題策略時(shí),答題就變得很簡(jiǎn)單了。
關(guān)于大題方面,基本上三角函數(shù)或解三角形、數(shù)列、立體幾何和概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)該是考生努力把分?jǐn)?shù)拿滿的題目。至于解析幾何,按照套路去寫,有的題寫著寫著就有思路了。導(dǎo)數(shù)如果想出難題也可以非常難,但想拿滿分也是很困難的。所以建議同學(xué)這兩道題上可以丟一些分??偨Y(jié)下來(lái),小題部分,15分可以丟;大題部分,丟分盡量控制在15分的范圍內(nèi)。
120+奔140+的考生
要減少總體失分
分?jǐn)?shù)達(dá)到120+的同學(xué),知識(shí)框架應(yīng)該有了,做題的套路也有一些了。那么怎么提高可以從上述丟分的地方搶分,把選填的分?jǐn)?shù)拿到,把標(biāo)準(zhǔn)提高到最多錯(cuò)一個(gè);大題部分就在丟分那兩道題里再找提高的空間??忌⒁猓@個(gè)時(shí)候前4道大題基本是不可再丟分的,否則就永遠(yuǎn)陷在120+的循環(huán)里出不來(lái),最后都不知道該補(bǔ)哪一塊了。
140+奔150的同學(xué)
要轉(zhuǎn)移復(fù)習(xí)中心
現(xiàn)在數(shù)學(xué)140+,努力奔向150的同學(xué)們,只有一個(gè)建議——好好學(xué)英語(yǔ)、語(yǔ)文或其他科目去吧,你們的提升空間不在數(shù)學(xué)上。
三、和試卷?yè)尫值?/strong>技巧
分段得分
“分段得分”的基本精神是,會(huì)做的題目力求不失分,部分理解的題目力爭(zhēng)多得分。
對(duì)于會(huì)做的題目,要解決“會(huì)而不對(duì),對(duì)而不全”這個(gè)老大難問(wèn)題。有的考生拿到題目,明明會(huì)做,但最終答案卻是錯(cuò)的--會(huì)而不對(duì)。有的考生答案雖然對(duì),但中間有邏輯缺陷或概念錯(cuò)誤,或缺少關(guān)鍵步驟--對(duì)而不全。因此,會(huì)做的題目要特別注意表達(dá)的準(zhǔn)確、考慮的周密、書寫的規(guī)范、語(yǔ)言的科學(xué),防止被“分段扣點(diǎn)分”。經(jīng)驗(yàn)表明,對(duì)于考生會(huì)做的題目,閱卷老師則更注意找其中的合理成分,分段給點(diǎn)分,所以“做不出來(lái)的題目得一二分易,做得出來(lái)的題目得滿分難”。
對(duì)絕大多數(shù)考生來(lái)說(shuō),更為重要的是如何從拿不下來(lái)的題目中分段得點(diǎn)分。我們說(shuō),有什么樣的解題策略,就有什么樣的得分策略。把你解題的真實(shí)過(guò)程原原本本寫出來(lái),就是“分段得分”的全部秘密。
A、缺步解答。如果遇到一個(gè)很困難的問(wèn)題,確實(shí)啃不動(dòng),一個(gè)聰明的解題策略是,將它們分解為一系列的步驟,或者是一個(gè)個(gè)小問(wèn)題,先解決問(wèn)題的一部分,能解決多少就解決多少,能演算幾步就寫幾步,尚未成功不等于失敗。特別是那些解題層次明顯的題目,或者是已經(jīng)程序化了的方法,每一步得分點(diǎn)的演算都可以得分。
B、跳步答題。解題過(guò)程卡在某一過(guò)渡環(huán)節(jié)上是常見的。這時(shí),我們可以先承認(rèn)中間結(jié)論,往后推,看能否得到結(jié)論。如果不能,說(shuō)明這個(gè)途徑不對(duì),立即改變方向;如果能得出預(yù)期結(jié)論,就回過(guò)頭來(lái),集中力量攻克這一“卡殼處”。由于考試時(shí)間的限制,“卡殼處”的攻克如果來(lái)不及了,就可以把前面的寫下來(lái),再寫出“證實(shí)某步之后,繼續(xù)有……”一直做到底。也許,后來(lái)中間步驟又想出來(lái),這時(shí)不要亂七八糟插上去,可補(bǔ)在后面。若題目有兩問(wèn),第一問(wèn)想不出來(lái),可把第一問(wèn)作“已知”,“先做第二問(wèn)”,這也是跳步解答。
C、退步解答。“以退求進(jìn)”是一個(gè)重要的解題策略。如果你不能解決所提出的問(wèn)題,那么,你可以從一般退到特殊,從抽象退到具體,從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單,從整體退到部分,從較強(qiáng)的結(jié)論退到較弱的結(jié)論??傊?,退到一個(gè)你能夠解決的問(wèn)題。為了不產(chǎn)生“以偏概全”的誤解,應(yīng)開門見山寫上“本題分幾種情況”。這樣,還會(huì)為尋找正確的、一般性的解法提供有意義的啟發(fā)。
D、輔助解答。一道題目的完整解答,既有主要的實(shí)質(zhì)性的步驟,也有次要的輔助性的步驟。實(shí)質(zhì)性的步驟未找到之前,找輔助性的步驟是明智之舉。如:準(zhǔn)確作圖,把題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式,設(shè)應(yīng)用題的未知數(shù)等。答卷中要做到穩(wěn)扎穩(wěn)打,字字有據(jù),步步準(zhǔn)確,盡量一次成功,提高成功率。試題做完后要認(rèn)真做好解后檢查,看是否有空題,答卷是否準(zhǔn)確,所寫字母與題中圖形上的是否一致,格式是否規(guī)范,尤其是要審查字母、符號(hào)是否抄錯(cuò),在確信萬(wàn)無(wú)一失后方可交卷。
處理好'四個(gè)'關(guān)系
〔1〕審題與解題的關(guān)系。有的考生對(duì)審題重視視不夠,匆匆一看急于下筆,以致題目的條件與要求都沒(méi)有吃透,至于如何從題目中挖掘隱含條件、啟發(fā)解題思路就更無(wú)從談起,這樣解題出錯(cuò)自然多。只有耐心仔細(xì)地審題,準(zhǔn)確地把握題目中的關(guān)鍵詞與量(如“至少”,“a>0”,自變量的取值范圍等),從中獲取盡可能多的信息,才能迅速找準(zhǔn)解題方向。
〔2〕“會(huì)做”與“得分”的關(guān)系。要將你的解題略轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn),主要靠準(zhǔn)確完整的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述,這一點(diǎn)住住被一些考生所忽視,因此卷面上大量出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)”、“對(duì)而不全”的情況,考生自己的估分與實(shí)際得分差之甚遠(yuǎn)。許多考生“心中有數(shù)'卻說(shuō)不清楚,扣分者也不在少數(shù)。只有重視解題過(guò)程的語(yǔ)言表述,“會(huì)做”的題才能“得分”。
〔3〕快與準(zhǔn)的關(guān)系。在目前題量大、時(shí)間緊的情況下,“準(zhǔn)”字則尤為重要。只有“準(zhǔn)”才能得分,只有“準(zhǔn)”你才可不必考慮再花時(shí)間檢查,而“快”是平時(shí)練習(xí)的結(jié)果,不是考場(chǎng)上所能解決的問(wèn)題,一味求快,只會(huì)落得錯(cuò)誤百出。適當(dāng)?shù)芈稽c(diǎn)、準(zhǔn)一點(diǎn),可得多一點(diǎn)分;相反,快一點(diǎn),錯(cuò)一片,花了時(shí)間還得不到分。
〔4〕難題與容易題的關(guān)系。拿到試卷后,應(yīng)將全卷通覽一遍,一般來(lái)說(shuō)應(yīng)按先易后難、先簡(jiǎn)后繁的順序作答。近年來(lái)考題的順序并不完全是難易的順序,因此在答題時(shí)要合理安排時(shí)間,不要在某個(gè)卡住的題上打“持久戰(zhàn)”,那樣既耗費(fèi)時(shí)間又拿不到分,會(huì)做的題又被耽誤了。
附:高中數(shù)學(xué)17個(gè)答題思路
1、函數(shù)或方程或不等式的題目,先直接思考后建立三者的聯(lián)系。首先考慮定義域,其次使用“三合一定理”。
2、如果在方程或是不等式中出現(xiàn)超越式,優(yōu)先選擇數(shù)形結(jié)合的思想方法。
例題:方程sinx=lgx的根的個(gè)數(shù)為:( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
分析:因?yàn)榉匠蘳inx=lgx實(shí)根個(gè)數(shù),
就是函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=lgx的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)。
如圖得:交點(diǎn)有3個(gè)。
故選 C。
3、面對(duì)含有參數(shù)的初等函數(shù)來(lái)說(shuō),在研究的時(shí)候應(yīng)該抓住參數(shù)沒(méi)有影響到的不變的性質(zhì)。如所過(guò)的定點(diǎn),二次函數(shù)的對(duì)稱軸或是……。
4、選擇與填空中出現(xiàn)不等式的題目,優(yōu)選特殊值法。
5、求參數(shù)的取值范圍,應(yīng)該建立關(guān)于參數(shù)的等式或是不等式,用函數(shù)的定義域或是值域或是解不等式完成,在對(duì)式子變形的過(guò)程中,優(yōu)先選擇分離參數(shù)的方法。
6、恒成立問(wèn)題或是它的反面,可以轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,注意二次函數(shù)的應(yīng)用,靈活使用閉區(qū)間上的最值,分類討論的思想,分類討論應(yīng)該不重復(fù)不遺漏。
7、圓錐曲線的題目?jī)?yōu)先選擇它們的定義完成,直線與圓錐曲線相交問(wèn)題,若與弦的中點(diǎn)有關(guān),選擇設(shè)而不求點(diǎn)差法,與弦的中點(diǎn)無(wú)關(guān),選擇韋達(dá)定理公式法;使用韋達(dá)定理必須先考慮是否為二次及根的判別式。
8、求曲線方程的題目,如果知道曲線的形狀,則可選擇待定系數(shù)法,如果不知道曲線的形狀,則所用的步驟為建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)(注意去掉不符合條件的特殊點(diǎn))。
9、求橢圓或是雙曲線的離心率,建立關(guān)于a、b、c之間的關(guān)系等式即可;回憶橢圓離心率公式:回憶雙曲線離心率公式;。
10、三角函數(shù)求周期、單調(diào)區(qū)間或是最值,優(yōu)先考慮化為一次同角弦函數(shù),然后使用輔助角公式解答;解三角形的題目,重視內(nèi)角和定理的使用;與向量聯(lián)系的題目,注意向量角的范圍。
11、數(shù)列的題目與和有關(guān),優(yōu)選和通公式,優(yōu)選作差的方法;注意歸納、猜想之后證明;猜想的方向是兩種特殊數(shù)列;解答的時(shí)候注意使用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,體會(huì)方程的思想。
12、立體幾何第一問(wèn)如果是為建系服務(wù)的,一定用傳統(tǒng)做法完成,如果不是,可以從第一問(wèn)開始就建系完成;注意向量角與線線角、線面角、面面角都不相同,熟練掌握它們之間的三角函數(shù)值的轉(zhuǎn)化;錐體體積的計(jì)算注意系數(shù)1/3,而三角形面積的計(jì)算注意系數(shù)1/2;與球有關(guān)的題目也不得不防,注意連接“心心距 創(chuàng)造直角三角形解題。
13、導(dǎo)數(shù)的題目常規(guī)的一般不難,但要注意解題的層次與步驟,如果要用構(gòu)造函數(shù)證明不等式,可從已知或是前問(wèn)中找到突破口,必要時(shí)應(yīng)該放棄;重視幾何意義的應(yīng)用,注意點(diǎn)是否在曲線上。
14、概率的題目如果出解答題,應(yīng)該先設(shè)事件,然后寫出使用公式的理由,當(dāng)然要注意步驟的多少?zèng)Q定解答的詳略。
15、絕對(duì)值問(wèn)題優(yōu)先選擇去絕對(duì)值,去絕對(duì)值優(yōu)先選擇使用定義。
16、與平移有關(guān)的,注意口訣“左加右減,上加下減”只用于函數(shù),沿向量平移用坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為口訣平移就可以了。
17、關(guān)于中心對(duì)稱問(wèn)題,只需使用中點(diǎn)坐標(biāo)公式就可以,關(guān)于軸對(duì)稱問(wèn)題,注意兩個(gè)等式的運(yùn)用:一是垂直,一是中點(diǎn)在對(duì)稱軸上。
附:初中數(shù)學(xué)九大解題方法
1、配方法。通過(guò)把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法,把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法,叫配方法。配方法用的最多的是配成完全平方式,它是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法,它的應(yīng)用十分非常廣泛,在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。
2、因式分解法。因式分解,就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式,是恒等變形的基礎(chǔ),它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多,除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外,還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。
3、換元法。換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元,所謂換元法,就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中,用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來(lái)的式子,使它簡(jiǎn)化,使問(wèn)題易于解決。
4、判別式法與韋達(dá)定理。一元二次方程ax2bxc=0(a、b、c屬于R,a≠0)根的判別,△=b2-4ac,不僅用來(lái)判定根的性質(zhì),而且作為一種解題方法,在代數(shù)式變形,解方程(組),解不等式,研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。
韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根,求另一根;已知兩個(gè)數(shù)的和與積,求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用外,還可以求根的對(duì)稱函數(shù),計(jì)論二次方程根的符號(hào),解對(duì)稱方程組,以及解一些有關(guān)二次曲線的問(wèn)題等,都有非常廣泛的應(yīng)用。
5、待定系數(shù)法。在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式,其中含有某些待定的系數(shù),而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式,最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系,從而解答數(shù)學(xué)問(wèn)題,這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。
6、構(gòu)造法。在解題時(shí),我們常常會(huì)采用這樣的方法,通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的分析,構(gòu)造輔助元素,它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等,架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁,從而使問(wèn)題得以解決,這種解題的數(shù)學(xué)方法,我們稱為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題,可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透,有利于問(wèn)題的解決。
7、面積法。平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理,不僅可用于計(jì)算面積,而且用它來(lái)證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來(lái)證明或計(jì)算平面幾何題的方法,稱為面積方法,它是幾何中的一種常用方法。
用歸納法或分析法證明平面幾何題,其困難在添置輔助線。面積法的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來(lái),通過(guò)運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。所以用面積法來(lái)解幾何題,幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系,只需要計(jì)算,有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線,即使需要添置輔助線,也很容易考慮到。
8、幾何變換法。在數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中,常常運(yùn)用變換法,把復(fù)雜性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問(wèn)題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來(lái)很難甚至于無(wú)法下手的習(xí)題,可以借助幾何變換法,化繁為簡(jiǎn),化難為易。另一方面,也可將變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來(lái),有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。
幾何變換包括:(1)平移;(2)旋轉(zhuǎn);(3)對(duì)稱。
9、反證法。反證法是一種間接證法,它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè),然后,從這個(gè)假設(shè)出發(fā),經(jīng)過(guò)正確的推理,導(dǎo)致矛盾,從而否定相反的假設(shè),達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟,大體上分為:(1)反設(shè);(2)歸謬;(3)結(jié)論。
反設(shè)是反證法的基礎(chǔ),為了正確地作出反設(shè),掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一個(gè)/一個(gè)也沒(méi)有;至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè);至多有一個(gè)/至少有兩個(gè);唯一/至少有兩個(gè)。
歸謬是反證法的關(guān)鍵,導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式,但必須從反設(shè)出發(fā),否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水,無(wú)本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型:與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設(shè)矛盾;自相矛盾。