原文作者，Jacob Aron，New Scientist物理科學(xué)記者。
譯文作者：小王子 ，哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)翻譯組成員，就讀于山西大學(xué)。
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我們使用了150年之久的現(xiàn)代數(shù)學(xué)將被證明是錯誤的——如果這樣一個新的計算機(jī)程序停止了運(yùn)行。還好，這不太可能發(fā)生。但是，支持它的代碼正測試著數(shù)學(xué)體系的局限。
這個程序就是一臺模擬的圖靈機(jī)，是由密碼破譯學(xué)家艾倫·圖靈發(fā)明的數(shù)學(xué)計算模型。1936年的時候，圖靈就指出，任何計算機(jī)算法的行為都可以被一臺簡單的機(jī)器模擬出來：一臺以不同狀態(tài)和指令在無限長的帶子上讀寫0，1為工作原理的機(jī)器。并且算法越復(fù)雜，機(jī)器所需要使用的狀態(tài)就越多。
現(xiàn)在，麻省理工學(xué)院的Scott Aaronson和Adam Yedidia已經(jīng)制造了三臺圖靈機(jī)，他們與一些深刻的數(shù)學(xué)問題緊密聯(lián)系。這些問題包括了已經(jīng)困擾人們150年之久的黎曼假設(shè)的證明，黎曼假設(shè)是一個對質(zhì)數(shù)的分布規(guī)律的猜想。
一直以來，圖靈機(jī)都用于探求類似的難題。這些難題源自于上世紀(jì)30年代一系列撼動數(shù)學(xué)界的帶有哲學(xué)意味的新發(fā)現(xiàn)。首先，庫爾特·哥德爾證明了總有一些數(shù)學(xué)命題既不能被證明是真的，也不能被證明是假的——他們是不可以被判定的。特別地，對于“這句話是假的”這個命題（說謊者悖論），他用了全新的數(shù)學(xué)視角做出如此解讀：一個合乎邏輯但又自相矛盾的腦筋急轉(zhuǎn)彎。
沒有能證明一切的萬能公理
哥德爾的理論給自己留了一條退路。如果你改變了建立在證明之上的基本假設(shè)——公理，雖然你可以使一個問題變得可判定了，但這樣卻會讓其它的一些問題變得不可判定。換句話說，就是不存在能證明一切的萬能公理系統(tǒng)。
根據(jù)哥德爾的結(jié)論，圖靈相信一定存在一些在標(biāo)準(zhǔn)公理體系下無法預(yù)測其行為的圖靈機(jī)，含選擇公理C的策梅洛-弗蘭克爾集合論，或者更接地氣些可描述為ZFC，ZFC是絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)的基礎(chǔ)。但是我們根本不知道這些標(biāo)準(zhǔn)公理體系有多復(fù)雜。
現(xiàn)在，Yedidia和Aaronson已經(jīng)創(chuàng)造了一臺帶有7918個狀態(tài)、具有這個ZFC屬性的圖靈機(jī)，并把它命名為“Z”。
“我們試圖能更具體地描述出在進(jìn)入不可證明性的‘黑洞’前它需要使用多少個狀態(tài)?！?Aaronson說。
他們在計算機(jī)上模擬了Z，理論上Z小得可以被當(dāng)成一個物理設(shè)備建立起來。加利福尼亞大學(xué)洛杉磯分校的陶哲軒說：“假設(shè)忽略物理的摩擦和能源的消耗，如果當(dāng)時有人已經(jīng)開啟了這樣一個物理設(shè)備，那么我們可以相信它將無限運(yùn)行?！?/p>
無邊無際
Z將在它的7918條指令中永久循環(huán)下去，然而如果它最終停止了，就將證明ZFC矛盾。數(shù)學(xué)家們不必太恐慌，因為只要他們簡單地轉(zhuǎn)向一組稍稍強(qiáng)一些的公理集合。這樣的公理系統(tǒng)是存在的，并且可以用來驗證Z的行為，但是這樣做幾乎得不到什么收獲，因為總有一臺圖靈機(jī)可以超越任何公理。
“我們可以把任何被給定的公理系統(tǒng)想象成一個有特定內(nèi)存大小和處理能力的計算機(jī)?！碧照苘幷f，“我們可以轉(zhuǎn)向一臺擁有更多內(nèi)存的計算機(jī)，但是，不管計算機(jī)有多大的存儲空間，仍然存在一些超出它能力的任務(wù)，是它無法完成的?！?/p>
Aaronson和Yedidia已經(jīng)創(chuàng)造了另外兩臺機(jī)器，這可能給數(shù)學(xué)家們節(jié)約不少的時間。長期以來，有兩個著名的數(shù)學(xué)問題一直被相信是真的，并且也只有當(dāng)它們被證明是確實假的時候，這兩臺機(jī)器才會停止。它們分別是哥德巴赫猜想和黎曼假設(shè)。哥德巴赫猜想指出，每一個大于2的偶數(shù)是兩個素數(shù)之和，黎曼假設(shè)認(rèn)為，所有的素數(shù)分布都遵循一定的規(guī)律。后者形成了部分現(xiàn)代數(shù)論的基礎(chǔ)，如果不幸地被推翻了，將會是一個重大的顛覆。
現(xiàn)實意義
實際上，他們沒有無限期運(yùn)行他們的圖靈機(jī)來證明這些問題是錯誤的打算。“這不是攻克這個問題的有效方式，”來自亞特蘭大佐治亞理工學(xué)院的Lance Fortnow說。
解釋數(shù)學(xué)問題，圖靈機(jī)有不同的實際意義：它協(xié)助計算了復(fù)雜問題的復(fù)雜性。如果說Z機(jī)器有7918個狀態(tài)，那哥德巴赫的機(jī)器就有4888個狀態(tài)，而黎曼的是5372個狀態(tài)，這表明ZFC問題是這三個問題中最復(fù)雜的。“這更符合大多數(shù)人對不同事物的直觀的比較方式?！盇aronson 說。
現(xiàn)在Yedidia 已經(jīng)將他的將他的代碼放到網(wǎng)上，數(shù)學(xué)家們也爭相把這些圖靈機(jī)的大小縮減至極致。盡管還沒有驗證，但是在Aaronson 博客下的一位評論者聲稱他已經(jīng)創(chuàng)造了一臺只需31個狀態(tài)的哥德巴赫機(jī)。
Fortnow表示圖靈機(jī)的實際大小是不影響的。他說，“文章表明我們可以有比ZFC強(qiáng)的而可以很精簡的圖靈機(jī)，但是即使它們變得更精簡了，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究上它也不會允許我們有更多的松懈?！?/p>
但Aaronson 說進(jìn)一步地縮減Z將會帶來一些有意思的討論——關(guān)于數(shù)學(xué)底層構(gòu)建的局限性的——一些哥德爾和圖靈希望能知道的事情。“他們也許會說，‘這真是太棒了，但是你可以搞定只需要800個狀態(tài)的圖靈機(jī)嗎？80個狀態(tài)的呢？’” Aaronson表示，“我想要知道，是否可以有一臺這樣的機(jī)器，它的行為能獨立于ZFC而只有10個狀態(tài)?！?/p>
