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一. Predicting Movie Ratings

1.1 Problem Formulation

　　下圖是四位用戶對于五部電影的評分（若用戶沒有評分, 則用?表示）. 一些符號如下圖右下角所示. 推薦系統(tǒng)就是通過已知的評分來判斷未知的評分.
　　

1.2 Content Based Recommendations

　　假設(shè)每一部電影都對應(yīng)一個特征向量, 如下圖x1$x_1$, x2$x_2$所示. 對于第j$j$個用戶, 我們通過學習得到參數(shù)θ$\theta$. 這樣, 這個用戶對于第i$i$電影的評分就可以(θ(j))Tx(i)$({\theta }^{(j)}{)}^T{x}^{(i)}$用來估計.
　　

　　用公式化表示為：
　　

　　優(yōu)化目標為：
　　

　　使用梯度下降來得到最優(yōu)解（和線性回歸相似）.
　　

　　這一種推薦系統(tǒng)是基于內(nèi)容的, 在這個例子中, 我們使用一個特征向量來表示一部電影. 但是通常情況下, 我們沒有這樣的向量或者很難得到這樣的向量. 這個時候我們就需要不是基于內(nèi)容的推薦系統(tǒng).

二. Collaborative Filtering

2.1 Collaborative Filtering

　　假設(shè)我們知道用戶對于不同種類電影的喜好（θ(j)${\theta }^{(j)}$）以及對各個電影的評分, 我們就大致可以得到各個電影的特征向量（x$x$）.
　　

　　下面是上述問題的公式化表達：
　　

　　協(xié)同過濾：
　　

2.2 Collaborative Filtering Algorithm

　　協(xié)同過濾的優(yōu)化目標：　　
　　

　　協(xié)同過濾算法：
　　

三. Low Rank Matrix Factorization

3.1 Vectorization: Low Rank Matrix Factorization

　　協(xié)同過濾算法矩陣化：
　　

　　

　　使用該算法后, 可以利用得到的特征向量來計算相似的電影.
　　

3.2 Implementation Detail: Mean Normalization

　　假設(shè)我們有一個用戶Eve, 他沒有對任何電影進行評分. 這個時候, 我們運行完算法之后會得到θ(5)=[00]${\theta }^{(5)}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$. 這時在對Eve對電影的評分進行預(yù)測的話, 會得到所有的評分都是0. 這顯然不太合理.
　　

　　我們需要進行 Mean Normalizaion處理, 如下圖所示. 然后對于第j$j$個用戶在第i$i$個電影的評分用(θ(j))(x(i))+μi$({\theta }^{(j)})(x^{(i)})+{\mu }_i$來預(yù)測.
　　

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