那么是不是用尺規(guī)作圖可以實現(xiàn)所有的幾何作圖呢？看完本文你就知道啦~
導 讀
一、尺規(guī)作圖的起源
二、研究尺規(guī)作圖三大難題的思路
三、可作圖的量的范圍
四、尺規(guī)作圖三大難題不可能的證明
五、尺規(guī)作圖的教學
華東師大版《初中數(shù)學》八上91頁至92頁用“閱讀材料”的形式介紹了尺規(guī)作圖三大難題。有一段時間我們收到一些教師、學生，甚至家長的來信來電，聲稱自己解決了“三等分任意角”問題。為此，我們感到有必要介紹一下尺規(guī)作圖三大難題不可能的證明。
著名的尺規(guī)作圖三大難題是指如下三個問題：
●立方倍積：求作一立方體，使其體積是已知立方體體積的兩倍；
●三等分任意角；
●化圓為方：求作一正方形，使其面積等于一已知圓的面積。
2000多年來，尺規(guī)作圖三大難題引起了許多數(shù)學家的興趣，對它們的深入研究引出了大量的新發(fā)現(xiàn)。例如，導致了許多二次曲線、三次曲線以及幾種超越曲線的發(fā)現(xiàn)，促進了關于有理數(shù)域、代數(shù)數(shù)和超越數(shù)、群論等理論的發(fā)展，并促進了微積分的先導——窮竭法的發(fā)展。1837年，法國數(shù)學家旺策爾（Wantzel，1814-1848）證明了三等分任意角和立方倍積問題都不可能?；瘓A為方問題相當于用尺規(guī)作出π的值。1882年德國數(shù)學家林德曼（Lindemann，1852-1939）證明了π是超越數(shù)（即它不是任何一個整系數(shù)多項式方程的根），從而證明了化圓為方不可能。
一、尺規(guī)作圖的起源
古希臘人在文明史上首屈一指，在數(shù)學史上至高無上。他們研究的主要目標之一是用數(shù)學來了解宇宙是怎樣運轉(zhuǎn)著的，而且把重點放在抽象推理方面，并以使理性統(tǒng)治遍及整個自然界和人類為宗旨。古希臘人認為直線和圓是基本圖形，而直尺和圓規(guī)是其具體化，因此用這兩種工具作圖比較好。而其他機械工具過于依賴感覺境界而不甚依賴思想境界，這與他們崇尚理性的風格背道而馳。因此，他們立下規(guī)矩：幾何作圖只能用直尺和圓規(guī)。這種選擇是人為的，但很大程度上決定了后來平面幾何研究的走向，例如，《幾何原本》中有很多命題都是講如何用尺規(guī)作圖的。人們研究尺規(guī)作圖問題往往并不是要把圖實際作出來，而是從理論上說明只用直尺和圓規(guī)能否找出作圖的方法。
二、研究尺規(guī)作圖三大難題的思路
1.通過刻畫所有可作圖問題的特性來證明不可能
歷時若干世紀，人們毫無所獲地尋求著尺規(guī)作圖三大難題，后來逐漸懷疑這些問題可能根本就不可解。怎樣才能證明某種問題是不可解的呢？人們轉(zhuǎn)換思路：從不可能這樣的反面問題轉(zhuǎn)向正面問題——怎樣才能完全刻畫出所有可作圖問題的特性呢？找到了這個問題的答案之后，只要說明尺規(guī)作圖三大難題不屬于這個范圍即可。
2.用代數(shù)方法證明尺規(guī)作圖三大難題的不可能性
任何一個幾何作圖問題都可以描述成以下類型：給定某些線段如a、b、c…求作一條或多條其他線段x、y…為了簡單起見，假設只需求作一條線段x。于是，幾何作圖就歸結為解一個代數(shù)問題：
首先，必須找出所求的量x和給定的量a、b、c…之間的關系（方程）；
其次，通過解這個方程求出x；
最后，確定通過相應于用圓規(guī)和直尺來作圖的代數(shù)過程能否得到這個問題的解。
三、可作圖的量的范圍
如圖1～4所示，已知線段a、b，可作a＋b、a－b、ab、a/b。
圖1
圖2
圖3
圖4
這說明，只要給定單位1，我們就可以用尺規(guī)作出有理數(shù)域Q。
圖5
四、尺規(guī)作圖三大難題不可能的證明
1. 立方倍積問題
設給定的立方體是單位立方體，它的邊長是單位長度。若體積為這個立方體體積兩倍的立方體的邊長是x，則
我們已經(jīng)證明該方程沒有二次不盡根，因此，立方倍積問題不可解。
2. 三等分任意角
圖6
要證明三等分任意角不可能，只需證明有一個角（例如60°角）不能三等分就夠了。下面我們證明60°角不能三等分。
我們已經(jīng)證明該方程無二次不盡根的解，因此三等分任意角是不可能的。
3. 化圓為方
五、尺規(guī)作圖的教學
對尺規(guī)作圖應有以下幾點認識：
●限定用直尺和圓規(guī)作圖是人為的；
●規(guī)定只用直尺和圓規(guī)作圖的初衷是對理性思維的追求，我們應該“不忘初心”；
●從方法論的角度來說，尺規(guī)作圖的意義不大（特別是在作圖工具豐富的今天?。?。
因此，對尺規(guī)作圖的教學，不能僅要求學生記住作圖步驟，會按步驟操作，而應“教思維”——以尺規(guī)作圖為載體，提高學生的思維水平。例如，如圖7，作角平分線，應該給學生講清思路——作∠AOB的平分線，歸結為把弦DE（或弧DE）平分，而不能僅要求學生記住作圖步驟。
圖7
參考文獻
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