直觀推導(dǎo)“歐拉公式”
不論是高等數(shù)學(xué)還是大學(xué)物理，歐拉公式都如影隨形。因?yàn)槠渲匾院蛣潟r(shí)代意義，Euler Formula(歐拉公式)有著很多了不起的別稱(chēng)，例如“上帝公式”、“最偉大的數(shù)學(xué)公式”、“數(shù)學(xué)家的寶藏”等等。
Leonhard Euler (1707-1783)
(圖片來(lái)源：Wikipedia)
歐拉公式在數(shù)學(xué)、物理和工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼(Richard Phillips Feynman)將歐拉公式稱(chēng)為：“我們的珍寶”和“數(shù)學(xué)中最非凡的公式”。
法國(guó)數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯(Pierre-Simon marquis de Laplace)曾這樣評(píng)價(jià)歐拉對(duì)于數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)：“讀歐拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師”。
這個(gè)發(fā)表于公元1748年的數(shù)學(xué)公式，將三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)巧妙地關(guān)聯(lián)了起來(lái)。
其中，e 為自然常數(shù)，i 為虛數(shù)，x 則是以弧度為單位的參數(shù)（變量）。
尤其是當(dāng)參數(shù)x 等于π 的時(shí)候，歐拉公式可簡(jiǎn)化成為：
上式將5個(gè)微妙且看似無(wú)關(guān)的數(shù)學(xué)符號(hào)e、i、π、0、1緊密地聯(lián)系了起來(lái)，其美妙之處讓人稱(chēng)絕。e、i、π 及弧度制的詳細(xì)介紹及直觀推導(dǎo)請(qǐng)分別參見(jiàn)：
萊昂納德·歐拉簡(jiǎn)介
萊昂納德·歐拉(Leonhard Euler) 1707年生于瑞士巴塞爾，他的父親保羅(Paul Euler)是一位基督教牧師，他父親原本也想將歐拉培養(yǎng)為一名牧師。
但巧的是他的父親與伯努利家族關(guān)系很不錯(cuò)，而伯努利家族是17?18世紀(jì)瑞士的一個(gè)赫赫有名的家族，其中出了很多著名的數(shù)理科學(xué)家。伯努利原籍比利時(shí)安特衛(wèi)普，1583年遭天主教迫害遷往德國(guó)法蘭克福，最后定居瑞士巴塞爾。其中以雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli），約翰·伯努利（Johann Bernoulli），丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）這三人的成就最大。雅可比·伯努利是約翰·伯努利的哥哥，也就是首此發(fā)現(xiàn)自然常數(shù)e 的那位。而丹尼爾·伯努利是約翰·伯努利的兒子。
約翰·伯努利很早就看出了幼年歐拉的數(shù)學(xué)天賦，他勸說(shuō)歐拉的父親保羅，讓歐拉從事數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的工作，并使他相信歐拉注定能成為一位偉大的數(shù)學(xué)家。
因此，13歲時(shí)就進(jìn)入了巴塞爾大學(xué)學(xué)習(xí)的歐拉，雖然按照他父親的意愿主修哲學(xué)和法律，并進(jìn)入了神學(xué)系，但在每周星期六下午便跟隨當(dāng)時(shí)歐洲最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家約翰·伯努利學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
同一時(shí)期，約翰·伯努利的兩個(gè)兒子——丹尼爾·伯努利和尼古拉·伯努利（Nicolas Bernoulli）——在位于俄國(guó)圣彼得堡的俄國(guó)皇家科學(xué)院工作。在尼古拉因闌尾炎于1726年7月去世后，丹尼爾便接替了他在數(shù)學(xué)/物理學(xué)所的職位，同時(shí)推薦歐拉到數(shù)學(xué)/物理學(xué)所工作。
St. Petersburg Academy of Science
(圖片來(lái)源：Wikipedia)
考慮到當(dāng)時(shí)俄國(guó)的持續(xù)的動(dòng)亂，歐拉在1741年離開(kāi)了圣彼得堡，到柏林科學(xué)院就職。
Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften
(圖片來(lái)源：Wikipedia)
在柏林，他出版了他最有名的兩部作品：一部關(guān)于函數(shù)方面出版于1748年的《無(wú)窮小分析引論》和一部是關(guān)于微積分出版于1755年的《微積分概論》。在《無(wú)窮小分析引論》(Introduction to Analysis of the Infinity)中，歐拉提出了著名的“歐拉公式”。
開(kāi)頭介紹了歐拉公式的一種通用寫(xiě)法是：
其將復(fù)指數(shù)與正弦、余弦函數(shù)聯(lián)系了起來(lái)。那么這是如何做到的？能否更加直觀一點(diǎn)呢？
通常書(shū)本上給出的都是歐拉公式的驗(yàn)證而不是推導(dǎo)，例如，很多人會(huì)說(shuō)：只要分別將兩邊的自然指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，即可得出兩邊相等的結(jié)論，但這只是驗(yàn)證而非真正的推導(dǎo)，就連《費(fèi)曼物理學(xué)講義》里面的計(jì)算也是如此。
為了讓其更加易于理解，這里試著用直觀的方式給予推導(dǎo)！
首先，需要記住的一點(diǎn)是：Euler方程等號(hào)兩邊都可以看作是描述在一個(gè)圓上的位置或者運(yùn)動(dòng)。
如果我們用三角函數(shù)去描述圓心在復(fù)平面原點(diǎn)處的單位圓上的位置或圓周運(yùn)動(dòng)軌跡，當(dāng)圓弧角為x 弧度時(shí)，如圖有：
(圖片來(lái)源: betterexplained)
cos(x)為當(dāng)前圓周運(yùn)動(dòng)位置的橫坐標(biāo)
sin(x)為當(dāng)前圓周運(yùn)動(dòng)位置的縱坐標(biāo)
因此采用復(fù)數(shù)cos(x)+i·sin(x)，即可描述單位圓周上點(diǎn)的位置或運(yùn)動(dòng)軌跡。
用復(fù)數(shù)來(lái)描述坐標(biāo)還比較好理解，那么歐拉公式左邊的復(fù)指數(shù)又代表的是什么呢？（由于歐拉公式左邊復(fù)指數(shù)中的實(shí)部為零，只包含虛部，因此也可以稱(chēng)之為虛指數(shù)）
先舉個(gè)與實(shí)指數(shù)相關(guān)的例子，當(dāng)看到34時(shí)，你可以把它看作是4個(gè)3連乘，但也可以換一個(gè)角度看。因?yàn)樽鳛榈讛?shù)來(lái)說(shuō)，e 作為自然底數(shù)，是所有連續(xù)復(fù)利增長(zhǎng)過(guò)程都共有的基本屬性，其內(nèi)涵的是單位數(shù)量在經(jīng)過(guò)單位時(shí)間增長(zhǎng)率為100%的連續(xù)復(fù)利增值后的最終結(jié)果，“連續(xù)復(fù)利”的定義請(qǐng)見(jiàn)：《自然常數(shù)e到底自然在哪？》。
我們可以將34改寫(xiě)為eln(3)·4，其數(shù)學(xué)內(nèi)涵可以解釋為：單位數(shù)量在單位時(shí)間增長(zhǎng)率為ln(3)的連續(xù)復(fù)利情況下，經(jīng)過(guò)4個(gè)單位時(shí)間增長(zhǎng)后的最終結(jié)果。
通式可以寫(xiě)為：Q=erate·time。
其中，rate表示單位時(shí)間的增長(zhǎng)率，time表示經(jīng)歷了多少個(gè)單位時(shí)間的增長(zhǎng)，而Q 表示最終增長(zhǎng)結(jié)果是初始值的多少倍。
因此，跳開(kāi)數(shù)值本身的大小問(wèn)題，我們把“乘以實(shí)指數(shù)”看成是初始值的一種“增長(zhǎng)”或者說(shuō)是對(duì)初始值的一種“推動(dòng)”作用（這里的“初試值”是具有大小和方向?qū)傩缘摹皬?fù)數(shù)”，復(fù)數(shù)包含實(shí)數(shù)和虛數(shù)，表達(dá)式可寫(xiě)為：復(fù)數(shù)=實(shí)部+i·虛部）。
例如實(shí)數(shù)3，可將其看做是：?jiǎn)挝粫r(shí)間增長(zhǎng)率為ln(3)≈1.1，初始值以該增長(zhǎng)率連續(xù)復(fù)利增長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)單位時(shí)間后最終結(jié)果將是eln(3)·1=3。
這里先只考慮了增長(zhǎng)率為實(shí)數(shù)時(shí)的增長(zhǎng)作用，而以實(shí)數(shù)為增長(zhǎng)率的這種“增長(zhǎng)”或“推動(dòng)”是沿著初始值的方向進(jìn)行的（復(fù)數(shù)可以看作是復(fù)平面上的矢量，因此具有方向?qū)傩裕?/span>
(圖片來(lái)源: betterexplained)
而虛指數(shù)所帶來(lái)的增長(zhǎng)作用就和實(shí)指數(shù)有所不同，虛指數(shù)的增長(zhǎng)作用的方向與初始值的方向垂直，且隨著數(shù)值的變化始終保持著這種垂直的關(guān)系，詳情請(qǐng)見(jiàn)：《虛數(shù)i真的很“虛”嗎？》。這種增長(zhǎng)方式并不改變數(shù)的大小，而只改變復(fù)數(shù)的方向！例如，讓任何數(shù)乘以虛數(shù)i，都不會(huì)改變數(shù)的大小（或模長(zhǎng)），而是改變數(shù)的方向。
在《自然常數(shù)e到底自然在哪？》中已經(jīng)給出了自然底數(shù)e的定義式：
不過(guò)在上式中，我們假設(shè)的增長(zhǎng)率為實(shí)數(shù)，但是，如果增長(zhǎng)率為虛數(shù)呢？
其增長(zhǎng)的示意圖如下圖所示：
(圖片來(lái)源: betterexplained)
現(xiàn)在，“新的增長(zhǎng)率”其實(shí)一直是沿著復(fù)數(shù)的垂直方向。并且這并不會(huì)改變復(fù)數(shù)的長(zhǎng)度，但有人會(huì)提出質(zhì)疑，因?yàn)樯蠄D所示的示意圖是由一個(gè)個(gè)直角三角形組成，斜邊當(dāng)然比直角邊更大。
但要知道，我們正在處理的是一個(gè)極限問(wèn)題，當(dāng)n→∞（其實(shí)n可以看作到達(dá)最后結(jié)果所經(jīng)歷的增長(zhǎng)步數(shù)，這個(gè)增長(zhǎng)步數(shù)是我們?nèi)藶樵O(shè)定的，上圖中的每個(gè)藍(lán)色的直角邊都代表一步），則藍(lán)色的直角邊將越接近斜邊。
最終將得到的結(jié)果是：復(fù)數(shù)長(zhǎng)度（模長(zhǎng)）不變的連續(xù)旋轉(zhuǎn)。這是處理其與正弦、余弦之間關(guān)系的核心概念，當(dāng)復(fù)數(shù)的增量始終與復(fù)數(shù)的方向保持垂直，得到的軌跡必將是一個(gè)圓！
下面用公式來(lái)證明這一過(guò)程：
復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為實(shí)部平方與虛部平方的和的平方根；轉(zhuǎn)角為虛部除以實(shí)部的反正切值。
對(duì)于上式，如果n=1，則為1+i；（注意復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是：所有模長(zhǎng)增量相乘得到最終模長(zhǎng)；所有轉(zhuǎn)角增量相加得到最終轉(zhuǎn)角）
如果上式中n=2，則為(1+i/2) 2；
即將n=1的一步完成增長(zhǎng)變?yōu)榱?/span>n=2的兩步完成增長(zhǎng)。
那么當(dāng)n→∞時(shí)，分步增長(zhǎng)就變成了連續(xù)增長(zhǎng)問(wèn)題；
實(shí)際上就是復(fù)數(shù)1+i·0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每一小步的增長(zhǎng)方向都和復(fù)數(shù)指向方向垂直，且保證模長(zhǎng)不變，因此極限狀態(tài)就是圓周運(yùn)動(dòng)，最后轉(zhuǎn)動(dòng)角度為1弧度。
即ei=cos1+i·sin1。
那對(duì)于更為普遍exi 呢？當(dāng)n→∞時(shí)；
實(shí)際上也是復(fù)數(shù)1+i·0逆時(shí)針不斷旋轉(zhuǎn)，每一小步的轉(zhuǎn)動(dòng)方向都和復(fù)數(shù)指向方向垂直，且保證模長(zhǎng)不變，因此極限狀態(tài)也是圓周運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)然可以用歐拉公式等號(hào)右邊三角函數(shù)法定義的單位圓周上的點(diǎn)來(lái)完全等效（注意：這里的x 都采用弧度制）。
即exi=cosx+i·sinx
如果 x 是隨時(shí)間線(xiàn)性變化的參數(shù)，則可以得到以下三維等徑螺旋線(xiàn)，該螺旋線(xiàn)在復(fù)平面上的投影是一個(gè)圓，投影點(diǎn)在圓上的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。
（圖片來(lái)源：Brilliant）
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