線段中點(diǎn)是幾何部分一個(gè)非常重要的概念，和后面學(xué)習(xí)的中線，中位線等概念有著密切的聯(lián)系.在幾何證明題中也屢次出現(xiàn).
那么，如果在題中遇到中點(diǎn)你會(huì)想到什么？
等腰三角形三線合一；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；還是中位線定理？今天我們重點(diǎn)探究“倍長(zhǎng)中線”法以及平行線間夾中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線交平行的應(yīng)用。
建立模型
模型一 倍長(zhǎng)中線
如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線.
當(dāng)題中出現(xiàn)中線時(shí)，我們經(jīng)常根據(jù)需要將AD延長(zhǎng)，使延長(zhǎng)部分和中線相等，這種方法叫做“倍長(zhǎng)中線”.如下圖：
此時(shí)，易證△ACD≌EDB，進(jìn)而得到AC=BE且AC//BE.
模型二 平行線夾中點(diǎn)
如圖，AB//CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).可延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)F.
我們把這種情況叫做平行線間夾中點(diǎn).處理這種情況的一般方法是：延長(zhǎng)過中點(diǎn)的線段和平行線相交.即“延長(zhǎng)中線交平行”
此時(shí)，易證△BEF≌△CED
模型三 中位線
如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn).可作另一邊AC的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線.如下圖所示：
由中位線的性質(zhì)可得，DE//BC且DE=1/2BC.
模型運(yùn)用
例1、如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn).連接AE，DE.求∠AED的度數(shù).
分析：本題的證明方法有很多，比如利用“雙平等腰”模型等（前文已對(duì)這種做法做過講解，不再贅述.鏈接：課本例題引出的基本圖形——雙平等腰模型），這里主要講一下平行線間夾中點(diǎn)的做法.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，AB//CD，又點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，構(gòu)成了平行線間夾中點(diǎn).當(dāng)題中出現(xiàn)這些條件時(shí)，只需將AE延長(zhǎng)和DC的延長(zhǎng)線相交，就一定會(huì)得到全等三角形，進(jìn)而得到我們需要的結(jié)果.
證明：如圖，延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB//CD，即AB//DF
∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE
又∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn) ∴BE=CE
∴△ABE≌△FCE
∴CF=AB=CD，AE=FE
∴DF=2CD, 又∵AD=2CD
∴AD=DF,又因?yàn)辄c(diǎn)E是AF的中點(diǎn)
∴DE⊥AF
即∠AED=90°.
反思：對(duì)于本題，還可以延長(zhǎng)AE至點(diǎn)F使EF=AE，連接CF.通過證明△ABE≌△FCE得到AB//CF,利用經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，得到D、C、F三點(diǎn)共線.再證明△DAF是等腰三角形，利用等腰三角形三線合一得到結(jié)論.對(duì)于第二種方法，同學(xué)們可以自己嘗試.
例2、在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以CF為邊，作菱形CDEF，使菱形CDEF與點(diǎn)A在BC的同側(cè)，連接BE，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，連接AG、DG．
（1）如圖①，當(dāng)∠BAC=∠DCF=90°時(shí)，直接寫出AG與DG的位置和數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖②，當(dāng)∠BAC=∠DCF=60°時(shí)，試探究AG與DG的位置和數(shù)量關(guān)系，
（3）當(dāng)∠BAC=∠DCF=α?xí)r，直接寫出AG與DG的數(shù)量關(guān)系．
分析：由題可知，DE//BF，且點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，滿足平行線間夾中點(diǎn)，所以可將DG延長(zhǎng)與BF相交.
證明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.
如圖，延長(zhǎng)DG交BF于點(diǎn)H，連接AH，AD.
∵四邊形CDEF是正方形，∴DE//CF
即DE//BC
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF
又∵點(diǎn)G是BF的中點(diǎn) ∴GB=GF
∴△GBH≌△GDF(AAS)
∴GD=GH，BH=DF
∵DE=DC，∴BH=CD
因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形
∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC
∴△ABH≌△ACD
∴AH=AD，∠BAH=∠CAD
∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°
∴△DAH是等腰直角三角形，又∵點(diǎn)G是DH的中點(diǎn)
∴AG=DG且AG⊥DG.
反思：若將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)任意角度，在旋轉(zhuǎn)的過程中，上述結(jié)論還成立嗎？試試看
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(2)AG⊥DG，AG=√3DG
如圖，延長(zhǎng)DG交BF于點(diǎn)H，連接AH，AD.
∵四邊形CDEF是菱形，∴DE//CF
即DE//BC
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF
又∵點(diǎn)G是BF的中點(diǎn) ∴GB=GF
∴△GBH≌△GDF(AAS)
∴GD=GH，BH=DF
∵DE=DC，∴BH=CD
因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形
∴AB=AC,∠ACD=180°-60°-60°=60°=∠ABC
∴△ABH≌△ACD
∴AH=AD，∠BAH=∠CAD
∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=60°
∴△DAH是等邊三角形，又∵點(diǎn)G是DH的中點(diǎn)
∴AG⊥DG.∠DAG=1/2∠DAH=30°
∴AG=√3DG
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（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2)
證明：延長(zhǎng)DG與BC交于H，連接AH、AD，
∵四邊形CDEF是菱形，
∴DE=DC，DE∥CF，
∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，
∵G是BE的中點(diǎn)，
∴BG=EG，
∴△BGH≌△EGD（AAS），
∴BH=ED，HG=DG，
∴BH=DC，
∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，
∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2，
∴∠ABC=∠ACD，
∴△ABH≌△ACD（SAS），
∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，
∴∠BAC=∠HAD=α；
∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2，
∴tan∠DAG=tan(α/2)，
∴DG=AGtan（α/2）．
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反思：在本題的證明中，我們結(jié)合題目中給出的平行線間夾中點(diǎn)這一條件，將DG進(jìn)行延長(zhǎng)和BC相交，通過全等使問題得證.對(duì)于本題我們也可以采用倍長(zhǎng)中線法進(jìn)行證明.下面用倍長(zhǎng)中線法對(duì)第一種情況加以證明.
證明：如圖，延長(zhǎng)AG至點(diǎn)H，使GH=AG.連接EH，AD，DH.
在△ABG和△HEG中
BG=EG,∠AGB=∠HGE，AG=HG
∴△ABG≌△HEG
∴AB=HE，∠ABG=∠HEG
∵AB=AC∴AC=HE
∵DE//BC∴∠DEG=∠EBC
∴∠HED=∠HEB+∠DEG=∠ABG+∠EBC=∠ABC=45°
又∠ACD=180°-45°-90°=45°
∴∠ACD=∠HED
在△ACD和△HED中
AC=HE，∠ACD=∠HED，DC=DE
∴△ACD≌△HED
DA=DH，∠ADC=∠HDE
∴∠ADC-∠HDC=∠HDE-∠HDC
即∠ADH=∠CDE=90°
所以△ADH是等腰直角三角形
又因?yàn)辄c(diǎn)G是AH的中點(diǎn)
所以DG=AG，DG⊥AG.
上面我們用倍長(zhǎng)中線證明了第一種情況，請(qǐng)你對(duì)第二三問加以證明.
反思：在本題的證明過程中，容易犯的一個(gè)錯(cuò)誤是，許多同學(xué)看到HE經(jīng)過點(diǎn)C，就說∠HED=45°.而這一結(jié)論是需要證明的.
小試身手
如圖1，在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥AB交BD于點(diǎn)F，取FD的中點(diǎn)G，連接EG、CG.易證：EG=CG且EG⊥CG.
（1）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，如圖2所示，則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想.
（2）將△BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，如圖3所示，則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并加以證明.
（3）將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一個(gè)任意角度α，如圖4所示，則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)直接寫出結(jié)論.
前兩問較簡(jiǎn)單，請(qǐng)同學(xué)們自行完成，這里只給出第三問的幾種解法，僅供大家參考.
解法一：如圖，延長(zhǎng)EG至點(diǎn)H，使GH=EG.連接DH，CE，CH.
因?yàn)辄c(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，所以GF=GD.根據(jù)SAS易證△GEF≌△GHD
EF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.
分別延長(zhǎng)HD與EB交于點(diǎn)K，HD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)M.如下圖：
因?yàn)镋B⊥EF，而EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.
又∠BMK=∠CMD.根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得∠KBM=∠MDC.
所以∠EBC=∠HDC.又EB=HD，BC=DC
所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.
所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直角三角形，
又因?yàn)辄c(diǎn)G是斜邊EB的中點(diǎn)，
所以CG⊥GE且CG=GE.
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解法二：如圖，延長(zhǎng)CG至點(diǎn)N，是GN=CG.連接FN，EN，EC.
以下過程可參照解法一自行完成
解法三：延長(zhǎng)FE至點(diǎn)P使得EP=EF，連接BP；延長(zhǎng)DC至點(diǎn)Q，使得CQ=CD，連接BQ.連接FQ，DP。FQ分別與DP，DB交于點(diǎn)N，M.如下圖：
易知，△PBE和△DBQ都是等腰直角三角形.
根據(jù)SAS可證△PBD≌△FBQ.所以PD=FQ，∠PDB=∠FQB
又因?yàn)椤螻MD=∠BMQ，所以∠DMN=∠MBQ=90°.
即PD⊥QF.
又因?yàn)辄c(diǎn)G和點(diǎn)C分別是DF和DQ的中點(diǎn)，即GC是△DFQ的中位線
所以GC=1/2FQ且GC//FQ.
同理EG=1/2DP且EG//DP
因?yàn)镕Q=DP且FQ⊥DP
所以GC=EG且GC⊥EG.
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例4、如圖，∠MON大小確定，點(diǎn)A、B、C分別在∠MON的邊上，A，B是動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是定點(diǎn)，且OA=BC.取OC的中點(diǎn)D，AB的中點(diǎn)E.求證：在AB運(yùn)動(dòng)的過程中，∠EDB的大小不變.
解法一：如圖，連接AC，作AC的中點(diǎn)F，連接DF,EF.
DF是△AOC的中位線，所以DF//OA且DF=1/2OA
EF是△ABC的中位線，所以EF//BC且EF=1/2BC
因?yàn)镺A=BC，所以DF=EF.
根據(jù)等邊對(duì)等角可得，∠FDE=∠FED
由EF//BC得，∠FED=∠EDB，所以∠FDE=∠EDB
即∠EDB=1/2∠FDB
由FD//OA得，∠MON=∠FDB
所以∠EDB=1/2∠MON.
即∠EDB的大小不變.
解法二分析：根據(jù)題中的中點(diǎn)，可通過倍長(zhǎng)中線.進(jìn)而構(gòu)造中位線.
解法二：如圖，連接AD并延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G，使DG=AD，連接CG，BG.
因?yàn)辄c(diǎn)D是OC中點(diǎn)，根據(jù)SAS易證△AOD≌△GCD.
所以∠AOD=∠GCD且OA=CG.
因?yàn)镺A=BC，所以CG=CB.
所以∠CBG=∠CGB=1/2∠GCD.
又因?yàn)辄c(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，所以DE是△ABG的中位線
所以DE//BG，所以∠EDB=∠CBG=1/2∠GCD
又因?yàn)椤螦OD=∠GCD
所以∠EDB=1/2∠AOD=1/2∠MON.
解法三：如圖，連接CE并延長(zhǎng)CE至點(diǎn)H，使得EH=CE.
具體做法請(qǐng)同學(xué)們自行完成.
動(dòng)畫鏈接：http://www.netpad.net.cn/svg.html#posts/16288（選中復(fù)制并打開操作演示動(dòng)畫效果）
反思：本專題我們主要探究了當(dāng)題中出現(xiàn)中點(diǎn)的時(shí)候，通過倍長(zhǎng)中線或構(gòu)造中位線，將分散的條件集中起來，使問題得以解決.當(dāng)然在運(yùn)用的過程中，還需大家認(rèn)真體會(huì)，不斷總結(jié).
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