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瑞士與法國(guó)、德國(guó)邊界有個(gè)人口很少超過20萬(wàn)的小鎮(zhèn)巴塞爾,是個(gè)在科學(xué)意義上非常著名的地方。那里有瑞士最古老的大學(xué)(建于1460年),在那里出生和工作過的杰出人物不計(jì)其數(shù),包括大名鼎鼎的貝努里家族和史上最偉大、最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家歐拉。不過,我們這里要說的是一個(gè)中學(xué)老師,他把玩一組四個(gè)數(shù)據(jù)得到的公式是量子力學(xué)得以發(fā)軔的基礎(chǔ)事件之一。

巴爾末1825年出生于巴塞爾,1849年在巴塞爾大學(xué)獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位,也算是個(gè)早慧之人。巴爾末一生都是在巴塞爾度過的,他一直在一所女校里教書,間或也到巴塞爾大學(xué)上課。巴爾末老師研究數(shù)學(xué),但是到了60歲也沒有什么值得稱道的成就,看來他這一生大概會(huì)碌碌無(wú)為了?？墒蔷驮?885年巴爾末老師60歲時(shí),他在盯著一組四個(gè)數(shù)字足夠長(zhǎng)時(shí)間后,得到了一個(gè)可以給出這四個(gè)數(shù)字的公式,這個(gè)公式讓巴爾末老師的名字深深地刻在了物理學(xué)史的紀(jì)功碑上。

天上的太陽(yáng)慷慨地把光線撒到大地上,燃燒著的物體也會(huì)發(fā)光, 到1885年,科學(xué)家關(guān)于譜線的研究已經(jīng)獲得了一些非常深刻的認(rèn)識(shí)。 

比如,人們注意到堿金屬的譜線很有規(guī)則,某幾條譜線從分布上看明顯屬于一組(看似趨于一個(gè)極限值)。那時(shí),關(guān)于譜線的波長(zhǎng)也有了精確的測(cè)量數(shù)值,氫在可見光范圍的四條明亮譜線的波長(zhǎng)分別為6562.10(紅色),4860.74(水綠色),4340.10(藍(lán)色)和4101.20(紫 色),單位為10-8 cm(圖1)。巴爾末老師發(fā)現(xiàn)這四個(gè)數(shù)是3645.6的

和倍(這是個(gè)趨于1的數(shù)列)。那這四個(gè)分?jǐn)?shù) 

和 有什么奇特的地方嗎?有!它們分別是

和，

 ,或者說是一般表達(dá)式的 m = 3,4,5,6 的四種情形。也就是說,如果這四條譜線真的來自一個(gè)線系或曰家族,描述它們之間關(guān)系的公式就在這兒。那么,m = 7呢?可以算出它對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)約是3969.6,而在這個(gè)地方竟然確實(shí)有氫的一根譜線,只是這是一條弱的紫色譜線(或者紫外線),不易看清而已。巴爾末老師的公式,隱隱地讓人們覺得還有大用。 

后來,里德堡(Johannes Rydberg)參照巴爾末老師的公式,給出了譜線波長(zhǎng)的倒數(shù)(現(xiàn)在被稱為波數(shù))的一般表達(dá)式  

，其中R_H是里德堡常數(shù)，n 和 m(> n)都是常數(shù)。巴爾末老師的公式只是里德堡公式的 n = 2 的特例。 

人們從里德堡公式能看出什么呢?這個(gè)公式最具內(nèi)涵的地方,或者說是通向自然奧秘的地方,是它是兩項(xiàng)之差。設(shè)想你從一個(gè)臺(tái)階往下跳到另一個(gè)臺(tái)階,你的落差就是臺(tái)階的高度差,你若是摔到臺(tái) 階上,估計(jì)你的尖叫聲的頻率會(huì)正比于這個(gè)落差。1911—1913年間,一個(gè)丹麥人玻爾把原子的發(fā)光過程理解為電子自一個(gè)能量臺(tái)階到另一個(gè)能量臺(tái)階的跳躍(我們的中文物理學(xué)故意將之翻譯成文縐縐的 “躍遷”)引起的,臺(tái)階之間的能量差就是光譜線對(duì)應(yīng)的能量。如果這個(gè)解釋成立的話,那就要求電子有穩(wěn)定的能量臺(tái)階(這一點(diǎn)好辦,我們可以簡(jiǎn)單 地假設(shè)它必須這樣就行,且穩(wěn)定的能量臺(tái)階對(duì)應(yīng)的能量應(yīng)該包含一個(gè)正比于整數(shù)平方倒數(shù)的項(xiàng)。如何做到這后一點(diǎn)呢?在1913年,人們能求助的就是經(jīng)典力學(xué)了。經(jīng)典力學(xué)里有遵循平方反比律的引力, 有牛頓力學(xué)已經(jīng)成功解決的太陽(yáng)系軌道問題?？梢詫湓舆@個(gè)電子–質(zhì)子的體系類比于行星–太陽(yáng)的 體系,行星–太陽(yáng)體系的經(jīng)典力學(xué)問題是清楚的, 體系的能量(以及能量如何決定行星的軌道)、角動(dòng)量是有公式表達(dá)的。如果要將這樣的體系的能量 限制為正比于整數(shù)平方的一些孤立的值,能通過什么限制條件實(shí)現(xiàn)呢?除了角動(dòng)量,還能有什么選擇呢?于是,玻爾假設(shè)電子穩(wěn)定能量臺(tái)階對(duì)應(yīng)之軌道的角動(dòng)量是普朗克常數(shù)(真巧,普朗克常數(shù)的量綱 就是角動(dòng)量的量綱)的整數(shù)倍,即 

，此即 為所謂的玻爾量子化條件,玻爾驚奇地發(fā)現(xiàn)得到的軌道能量竟然正比于 ，也就是說,只要假設(shè)軌道的角動(dòng)量服從玻爾的量子化條件,那么所得到的軌 道能量的表達(dá)式就能給出氫原子光譜線(對(duì)應(yīng)的能量,或者波長(zhǎng),或者波數(shù),或者頻率)。提醒各位讀者,玻爾這里用到的n其實(shí)是薛定諤那里的l 。

等到1926年薛定諤方程出來了以后,玻爾關(guān)于氫原子的行星–太陽(yáng)模型就顯得太簡(jiǎn)單了些,但是玻爾引入的靜態(tài)軌道和躍遷的概念卻在量子力學(xué)中保留了下來,實(shí)際上,躍遷是量子力學(xué)的關(guān)鍵性基礎(chǔ)概念之一。薛定諤的波動(dòng)力學(xué)揭示了氫原子中電子軌道(能量)的更多秘密;海森堡的矩陣力學(xué)嘗試去理解譜線的強(qiáng)度,發(fā)現(xiàn)譜線強(qiáng)度取決于躍遷過程涉及的兩個(gè)軌道的某些性質(zhì)。1926年,關(guān)于光的研究也取得更多進(jìn)展,有了有別于此前的“光的能量量子”的光子概念。從此,量子力學(xué)的發(fā)展一發(fā)不可收拾,伴隨而來的譜學(xué)技術(shù)和群論的發(fā)展更在人 們的意料之外。 

巴爾末這位中學(xué)老師對(duì)量子力學(xué)建立的貢獻(xiàn),鮮有文獻(xiàn)給出中肯的評(píng)價(jià)。其實(shí),就算是量子力學(xué)文獻(xiàn)中總要提及的普朗克,對(duì)其貢獻(xiàn)的評(píng)價(jià)也未能說到點(diǎn)兒上。物理學(xué)是一條思想的河流。欣賞這條閃光的智慧河流,除了敬畏心,還要在知道更多細(xì)節(jié)的基礎(chǔ)上慢慢品味。 

本文為作者授權(quán)，引自《一念非凡——科學(xué)巨擘是怎樣煉成的》

參考文獻(xiàn)：

1. S. Sternberg. Group Theory and Physics. Cambridge University Press, 1994: Appendix F.