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前言

要理解和掌握絕大部分機(jī)器學(xué)習(xí)算法和理論，尤其是對(duì)做工程應(yīng)用的人而言，所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)大學(xué)數(shù)學(xué)老師已經(jīng)給你了：

1. 微積分
2. 線性代數(shù)
3. 概率論
4. 最優(yōu)化方法

關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)

微積分

先說(shuō)微積分/高等數(shù)學(xué)。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，微積分主要用到了微分部分，作用是求函數(shù)的極值，就是很多機(jī)器學(xué)習(xí)庫(kù)中的求解器（solver）所實(shí)現(xiàn)的功能。在機(jī)器學(xué)習(xí)里會(huì)用到微積分中的以下知識(shí)點(diǎn)：

• 導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)的定義與計(jì)算方法梯度向量的定義極值定理，可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)或梯度必須為0雅克比矩陣，這是向量到向量映射函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的矩陣，在求導(dǎo)推導(dǎo)中會(huì)用到Hessian矩陣，這是2階導(dǎo)數(shù)對(duì)多元函數(shù)的推廣，與函數(shù)的極值有密切的聯(lián)系凸函數(shù)的定義與判斷方法泰勒展開(kāi)公式拉格朗日乘數(shù)法，用于求解帶等式約束的極值問(wèn)題

其中最核心的是記住多元函數(shù)的泰勒展開(kāi)公式，根據(jù)它我們可以推導(dǎo)出機(jī)器學(xué)習(xí)中常用的梯度下降法，牛頓法，擬牛頓法等一系列最優(yōu)化方法：

線性代數(shù)

相比之下，線性代數(shù)用的更多。在機(jī)器學(xué)習(xí)的幾乎所有地方都有使用，具體用到的知識(shí)點(diǎn)有：

• 向量和它的各種運(yùn)算，包括加法，減法，數(shù)乘，轉(zhuǎn)置，內(nèi)積向量和矩陣的范數(shù)，L1范數(shù)和L2范數(shù)矩陣和它的各種運(yùn)算，包括加法，減法，乘法，數(shù)乘逆矩陣的定義與性質(zhì)行列式的定義與計(jì)算方法二次型的定義矩陣的正定性矩陣的特征值與特征向量矩陣的奇異值分解線性方程組的數(shù)值解法，尤其是共軛梯度法

機(jī)器學(xué)習(xí)算法處理的數(shù)據(jù)一般都是向量、矩陣或者張量。經(jīng)典的機(jī)器學(xué)習(xí)算法輸入的數(shù)據(jù)都是特征向量，深度學(xué)習(xí)算法在處理圖像時(shí)輸入的2維的矩陣或者3維的張量。掌握這些知識(shí)會(huì)使你游刃有余。

概率論

如果把機(jī)器學(xué)習(xí)所處理的樣本數(shù)據(jù)看作隨機(jī)變量/向量，我們就可以用概率論的觀點(diǎn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行建模，這代表了機(jī)器學(xué)習(xí)中很大一類(lèi)方法。在機(jī)器學(xué)習(xí)里用到的概率論知識(shí)點(diǎn)有:

• 隨機(jī)事件的概念，概率的定義與計(jì)算方法隨機(jī)變量與概率分布，尤其是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)條件概率與貝葉斯公式常用的概率分布，包括正態(tài)分布，伯努利二項(xiàng)分布，均勻分布隨機(jī)變量的均值與方差，協(xié)方差隨機(jī)變量的獨(dú)立性最大似然估計(jì)

這些知識(shí)不超出普通理工科概率論教材的范圍。

最優(yōu)化方法

最后要說(shuō)的是最優(yōu)化，因?yàn)閹缀跛袡C(jī)器學(xué)習(xí)算法歸根到底都是在求解最優(yōu)化問(wèn)題。求解最優(yōu)化問(wèn)題的指導(dǎo)思想是在極值點(diǎn)出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/梯度必須為0。因此你必須理解梯度下降法，牛頓法這兩種常用的算法，它們的迭代公式都可以從泰勒展開(kāi)公式中得到。如果能知道坐標(biāo)下降法、擬牛頓法就更好了。

凸優(yōu)化是機(jī)器學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)提及的一個(gè)概念，這是一類(lèi)特殊的優(yōu)化問(wèn)題，它的優(yōu)化變量的可行域是凸集，目標(biāo)函數(shù)是凸函數(shù)。凸優(yōu)化最好的性質(zhì)是它的所有局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解，因此求解時(shí)不會(huì)陷入局部最優(yōu)解。如果一個(gè)問(wèn)題被證明為是凸優(yōu)化問(wèn)題，基本上已經(jīng)宣告此問(wèn)題得到了解決。在機(jī)器學(xué)習(xí)中，線性回歸、嶺回歸、支持向量機(jī)、logistic回歸等很多算法求解的都是凸優(yōu)化問(wèn)題。

拉格朗日對(duì)偶為帶等式和不等式約束條件的優(yōu)化問(wèn)題構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，將其變?yōu)樵瓎?wèn)題，這兩個(gè)問(wèn)題是等價(jià)的。通過(guò)這一步變換，將帶約束條件的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成不帶約束條件的問(wèn)題。通過(guò)變換原始優(yōu)化變量和拉格朗日乘子的優(yōu)化次序，進(jìn)一步將原問(wèn)題轉(zhuǎn)換為對(duì)偶問(wèn)題，如果滿(mǎn)足某種條件，原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題是等價(jià)的。這種方法的意義在于可以將一個(gè)不易于求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成更容易求解的問(wèn)題。在支持向量機(jī)中有拉格朗日對(duì)偶的應(yīng)用。

KKT條件是拉格朗日乘數(shù)法對(duì)帶不等式約束問(wèn)題的推廣，它給出了帶等式和不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題在極值點(diǎn)處所必須滿(mǎn)足的條件。在支持向量機(jī)中也有它的應(yīng)用。

如果你沒(méi)有學(xué)過(guò)最優(yōu)化方法這門(mén)課也不用擔(dān)心，這些方法根據(jù)微積分和線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)可以很容易推導(dǎo)出來(lái)。如果需要系統(tǒng)的學(xué)習(xí)這方面的知識(shí)，可以閱讀《凸優(yōu)化》，《非線性規(guī)劃》兩本經(jīng)典教材。

各種算法和理論用到的數(shù)學(xué)知識(shí)

下面我們來(lái)看典型算法和理論結(jié)論所用到的數(shù)學(xué)知識(shí)：

除流形學(xué)習(xí)需要簡(jiǎn)單的微分幾何概念之外，深層次的數(shù)學(xué)知識(shí)如實(shí)變函數(shù)，泛函分析等主要用在一些基礎(chǔ)理論結(jié)果的證明上，即使不能看懂證明過(guò)程，也不影響我們使用具體的機(jī)器學(xué)習(xí)算法。概率圖模型、流形學(xué)習(xí)中基于圖的模型會(huì)用到圖論的一些基本知識(shí)，如果學(xué)習(xí)過(guò)離散數(shù)學(xué)或者數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，這些概念很容易理解。