數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)（張興華）
上個世紀60-70年代，國際心理學(xué)領(lǐng)域發(fā)生了兩件大事：1.出現(xiàn)了認知心理學(xué)的革命，心理學(xué)研究開始由對動物行為的研究轉(zhuǎn)向?qū)θ说母呒壵J知的研究，認知心理學(xué)替代了行為心理學(xué)，成為主導(dǎo)。2.教育心理學(xué)中出現(xiàn)了專門研究學(xué)科課堂教學(xué)的學(xué)科教學(xué)心理學(xué)。
小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)是一門實踐性、應(yīng)用性很強的微觀理論學(xué)科。它主要研究兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理特點和認知規(guī)律。研究如何根據(jù)兒童的心理特點和認知規(guī)律進行有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，研究如何有效地激發(fā)兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。一句話，它是研究數(shù)學(xué)教學(xué)過程中學(xué)與教的心理活動規(guī)律。
我們不妨留意一下，近年來省級和省級以上教育報刊發(fā)表的數(shù)學(xué)教學(xué)論文中已經(jīng)很少有“數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)”的核心詞。即使有，也是很成問題的。最近常見到“表象”這個詞，但多作表面現(xiàn)象講，如“從表象看，……”列舉了一些表面現(xiàn)象后說“……這此都是表象，透過表象，其實質(zhì)是……”天哪！表象是感知過的事物留在腦中的形象……，怎么能望文生義說成是表面現(xiàn)象呢？再一個就是“變式”。變式只是心理學(xué)理論滄海之一粟，不知什么時候引得大家的熱捧和關(guān)注，談得不少。有上升為“變式理論”的，有總結(jié)為“變式教學(xué)模式”的，也還有解釋為變化了的式子的，像45÷9＝45×3÷（9×3)之類，只要式子變化了就是變式！學(xué)科教學(xué)心理學(xué)這塊剛被開墾的處女地，現(xiàn)在又是雜草叢生，滿目荒蕪了。但是，耐人尋味的是，每每經(jīng)典的、引人注目的教學(xué)設(shè)計，在其背后都能找到數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)的內(nèi)核。我們不妨來看看張齊華老師“認識分數(shù)”的一個片段：
一開始，通過分蛋糕和簡短的討論，讓學(xué)生知道：把一個蛋糕平均分成兩份，每份是它的l/2。接著，張老師給每位學(xué)生準備了同樣的長方形紙，讓學(xué)生“動手折一折”，并“涂出它的l/2”。學(xué)生折啊，涂啊。交流的時候，有的學(xué)生橫著對折，涂出了其中的1/2：
有的學(xué)生豎著對折，涂出它的l/2：
有的斜著平均折成兩份，涂出了它的l/2：
張老師指著這些不同形狀的陰影部分問學(xué)生：“這些陰影部分形狀不同，為什么都是這張紙的1/2？"學(xué)生一一回答：“我把這張紙橫著對折，就是把它平均分成兩份，其中這一份當(dāng)然是它的l/2。”“我把這張紙豎著對折，就是把它平均分成兩份，每一份是它的1／2。”“我雖然是斜著折的，但是是把這張紙平均折成了兩份，這一份雖然形狀不同，但也是這張紙的1/2。”張老師說，不管把紙怎樣折，也不管折成的每一份是什么形狀，只要是把這張紙平均分成兩份，每一份就是它的1/2。后來，認識1/4時，張老師給學(xué)生準備了各種不同形狀的紙，要求學(xué)生折一折，并涂出其中的l/4，學(xué)生折啊，涂啊，出現(xiàn)了這些情況：
張老師又問學(xué)生：這里圖形的形狀也不相同了，陰影部分形狀和大小也都不同，為仆么都是原來這個圖形的1/4。學(xué)生一一回答，都是說我把這張紙平均分成了4份，每一份是這張紙的l／4。最后老師總結(jié)道：不管是什么形狀的紙，也不管涂色部分是什么形狀，只要把它平均分成4份，每份就是這張紙的l/4。這樣，學(xué)生對1/2、l/4分數(shù)的認識達到了概括化程度很高的理解。為什么呢，就是因為運用了心理學(xué)變式原理！
然而，當(dāng)我私下里與老師們溝通時，卻發(fā)現(xiàn)大家對這一片段的認識多著眼于當(dāng)下時髦的學(xué)習(xí)方式的改善上。有的說這是讓學(xué)生動手實踐得好，折出那么多的1/2、l/4；有的說這是讓學(xué)生自主探索得好，這是算法多樣化，折法多樣化，涂法多樣化；有的說這是合作交流得充分。有老師甚至不理解張老師兩次運用變式的奧妙，覺得兩次操作后兩次發(fā)問幾乎一樣，是不是有重復(fù)和雷同感……他們不知道，張老在這里兩次運用了變式原理，而兩次的著眼點不同，第一次用同一張紙、第二次用不同的紙，樣本更多了，學(xué)生能夠從更廣泛的事物中去抽取事物的更本質(zhì)的特征。
青年教師的理論比較缺乏。趣話幾個話題：
一．變式
瑞士心理學(xué)家皮亞杰的思維發(fā)展階段論把7-11歲的孩子都歸為具體運算階段。他指出具體運算階段的兒童還缺乏抽象思維。他們的思維還帶著很大的具體形象性，但是他們能夠帶著具體形象思維的支撐進行抽象思維。感性材料
抽象的概念需要熟悉廣泛、眾多的事物才得以形成。
變式就是變換事物的非本質(zhì)特征，從不同角度組織感性材料，在各種表現(xiàn)形式中突出事物的本質(zhì)特征。從而使學(xué)生對概念的理解達到越來越高的概括化程度。
張老師是深諳此理的，為了使學(xué)生能深刻認識l/2、1/4,變換非本質(zhì)屬性，讓學(xué)生用不同方法折出、涂出各種形狀的1/2、1／4，從而突出不管用什么紙折，不管怎樣折，只要把紙平均分成2份，每份就是它的l/2，只要把紙平均分成4份，每份就是它的1／4。理論的光芒是普照的。你真正掌握了變式原理，就可以普遍地運用于概念教學(xué)中。比如學(xué)習(xí)垂直既念， 教師開始往往出現(xiàn)標準的垂直圖形。
在概念教學(xué)中，說到變式，常常還要說到“反例”?，F(xiàn)在的教育心理學(xué)已把反例整合到變式中去了，請允許我在這里仍然沿用反例的說法。什么是反例呢？反例就是故意變換事物的本質(zhì)特征、使之質(zhì)變?yōu)榕c之形似的他事物，在比較與思辯中反襯和突出事物的本質(zhì)特征，從而更準確地認識概念，在教學(xué)中，反例常常和變式一并提供。
例如讓學(xué)生辨析：下面的圖形，哪些是角，哪些不是角？
例子：1找反比例；2.認識正比例的意義；3.畫圓的直徑，認識直徑。這里老師故意以各種非直徑的畫法引起學(xué)生一次次的反向思辨，使得原本模糊的、未及言明的直徑概念被反向摩擦得分外鮮亮，但隨著學(xué)生一次次被非直徑狀態(tài)的能動否定，直徑的特征意義十分清晰、有意義地被學(xué)生理解掌握。
二．表象
學(xué)習(xí)面積單位（平方分米）后，學(xué)生還不能清晰地表示出15平方分米的大小。
張老師是這樣教的：學(xué)生學(xué)過平方厘米，知道邊長是1厘米的正方形，面積是l平方厘米，而且已經(jīng)形成了平方厘米的空間表象，之后我讓學(xué)生用平方厘米度量相關(guān)圖形的面積、郵票的面積，然后不露聲色地讓學(xué)生度量課始出現(xiàn)的鏡框玻璃或凳面的面積，有的學(xué)生有點猶豫，有的學(xué)生還真的一平方厘米一平方厘米地度量，等到大家都覺得這樣量很麻煩時，我問大家有什么想法，學(xué)生說：最好有一個大一點的面積單位來度量，我趁勢讓學(xué)生創(chuàng)造一個大一點的面積單位。有學(xué)生創(chuàng)造出了平方分米，我就說：“好，就用平方分米。”那什么是1平方分米呢？學(xué)生猜想（實際上是類比推理）：邊長1分米的正方形，面積是l平方分米。我隨即出示一個平方分米的模型，橘紅色的（這里還有感知原理），指著比劃著說：“哎！邊長1分米的正方形，面積是1平方分米，現(xiàn)在我們來仔細觀察平方分米這個面積單位。這里，平方分米是什么形狀的？(生答：正方形，）它有多大？（生答：邊長1分米的正方形這么大?。┛辞辶藛?？（生答：看清了）看清了，就請大家把眼晴閉起來，在腦子里面想：剛才看到的平方分米是什么形狀的？有多大？"（全體學(xué)生閉眼回想。）一會兒，我說：大家在腦子里留下了平方分米了嗎？（學(xué)生仍閉著眼睛回想，答：留下了。）留下了就把眼睛睜開。現(xiàn)在請把信封里的平面圖形拿出來（每個人的信升里預(yù)先都裝著三四個正方形，邊長1.2分米的、邊長1分米的、邊長0.8分米的……）我說：誰能很快地把平方分米挑出來。很多學(xué)生都很快地把平方分米挑了出來，相互交流。也有少數(shù)學(xué)生挑錯了，我再引導(dǎo)糾正。
這個教學(xué)案例中實際上有五、六個心理學(xué)原理：如何激發(fā)學(xué)習(xí)動機，如何引起聯(lián)想，如何激發(fā)再造想象，如何組織首次感知，如何建立表象。但是，課上下來，老師們卻較多地關(guān)閉眼回想的環(huán)節(jié)，都覺得讓學(xué)生“先觀察，再閉眼晴回想，又在一堆圖形中挑出”特別好，說是把平方分米的意義教活了。至上平方分米的顏色為何是顯眼的橘紅色，為何要閉眼，為何要挑選圖形，則不知底里！有的老師在后來自已的教學(xué)中竟也樂于讓學(xué)生閉眼。有一次在隨意聽課時，我就看到這種情況，老師教的是應(yīng)用題。通過例題教學(xué)，得出了一個數(shù)量關(guān)系式：總數(shù)量÷相對應(yīng)的份數(shù)＝平均數(shù)，課講得很好！但是接著就見老師講：清大家把這個數(shù)量關(guān)系式仔細觀察下，然后把眼睛閉起來，在腦子里想一想，剛才我們觀察的數(shù)量關(guān)系式是怎樣的，在腦子里留下來了嗎？學(xué)生答：留下了。老師說：留下了就把眼睛睜開。天哪！我讓學(xué)生閉眼回想是為了讓學(xué)生把感知過的平方分米的樣子留在腦子里，形成表象。兒童認知概念是循著“形象一表象一抽象”的過程進行的。數(shù)量關(guān)系式已是抽象規(guī)則，怎能再拽回到形象、表象的階段，讓學(xué)生閉眼回想呢？
那什么是表象呢？表象是客觀事物經(jīng)過主體感知以后在頭腦中所留下的形象。表象具有直觀形象性和抽象概括性雙重特點。直觀形象性是指大腦中剛剛我們感知過的那些事物，這些事件的形象、過程、情境就像歷歷在目那樣清晰、逼真。抽象概括性是指表象綜合了多次感知的結(jié)果，概括了多次感知的內(nèi)容。表象源于感知，卻高于感知，成為人們認識事物由感知向抽象思維過渡的中介環(huán)節(jié)。
關(guān)于表象的三個問題：
1、要幫助學(xué)生建立和獲得表象。
對于抽象的數(shù)學(xué)知識，生動的直觀形象畢竟只能為兒童提供理解的起點，表象的建立才能更有利于他們很快的擺脫具體事物的束縛，順利地向抽象思維過渡。有經(jīng)驗的老師在學(xué)生感知了具體事物或模型以后，常常隱去實物或模型（有時讓學(xué)生閉起雙眼），在腦中回想剛感知過的事物或經(jīng)歷過的情境，已建立準確、鮮明的表象，而且以此為中介，進行抽象思維。“形象—表象—抽象”表象的作用是中介作用。
對靜止事物感知后在頭腦中留下的形象是靜態(tài)表象。經(jīng)演示、操作、活動等在頭腦中留下的形象、情境是動態(tài)表象，這種動態(tài)表象除了跟靜態(tài)表象一樣在認知過程中發(fā)揮中介作用外，它所反映的情境、過程更能引起人們對知識經(jīng)驗的前因后果和來龍去脈的深入思考，有利于人們在進一步展開的抽象思維中更好地把握過程和結(jié)論的關(guān)系。
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)精心組織直觀演示與操作活動，展示清晰的過程和程序，并通過回顯、復(fù)述、提問等辦法，幫助學(xué)生把相關(guān)情境、過程留在腦中，形成動態(tài)表象。這不僅對于學(xué)習(xí)抽象的概念、性質(zhì)、規(guī)律與方法極其有利，而且能使學(xué)生在“知其所以然”上獲得深刻的理解和牢固的記憶。值得指出的是，這種動態(tài)表象的獲得在日后的問題情境中?？赏ㄟ^原型啟發(fā)而爆發(fā)出奇異的解題設(shè)想來。如教學(xué)圓柱的體積計算公式時，某教師引導(dǎo)學(xué)生動手操作，把圓柱切割、拼補成近似的長方體，推導(dǎo)圓柱體體積計算公式。有些學(xué)生在桌子上把變形后的近似長方體一會兒豎放、一會兒橫放，在橫放時觀察到其底面為圓柱體側(cè)面的一半，其高為圓柱體的底面半徑……獲得了這一情境表象后，在解答“一個圓柱體的側(cè)面積為314平方厘米，底面半徑為5厘米，求這個圓柱體的體積”時，這些學(xué)生不僅能按一般方法3.14×52×[3.14÷(5×2×3.14)]解答，而且能憑借動態(tài)表象復(fù)現(xiàn)的操作過程；給出3.14÷2×5的巧妙解法。
2、喚起和提取表象，實現(xiàn)問題的有效解決
學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中，通過觀察與活動，獲得并儲備了各種表象。在解決問題時，卻往往因為有關(guān)的表象不能及時浮現(xiàn)而茫然不知所措。教師要善于引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)表述問題的文字或語言，喚起學(xué)生頭腦中相應(yīng)的表象，必要時還可以外化具體的形象或情境以幫助學(xué)生解決問題。
如：一年級學(xué)生在解答“小朋友排隊，從前數(shù)起或從后數(shù)起，小明都排在第6位，這隊小朋友共有多少人”時，常常感到困難。教師就可引導(dǎo)學(xué)生先將“從前數(shù)起或從后數(shù)起，小明都排在第6位“變成”從前數(shù)起，小明排在第6位；從后數(shù)起，小明也排在第6位”。然后，問學(xué)生：“從前面數(shù)起，小明排在第6位是什么意思?如果用★代表小明，用O代表排在小明前面的小朋友，你們能畫出排隊的情況嗎?”學(xué)生畫出示意圖后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生用●代表排在小明后面小朋友畫出整隊學(xué)生排隊的情況：○○○○○○★●●●●●。通過畫圖，幫助學(xué)生有效地提取了生活表象，進而列出正確的解答式：5+1+5=11(人)。
又比如：解答”一個長32厘米、寬20厘米、高30厘米的金魚缸，前面與左邊的兩塊玻璃破了，需要配兩塊多大的玻璃”時，部分學(xué)生因為對長方體的各個面以及這些面的長、寬與長方體棱的對應(yīng)關(guān)系的表象不清晰，出覡思維障礙。教師可讓學(xué)生想象：金魚缸前面的那塊玻璃在長方體的什么部位? 它的長就是長方體的什么?寬呢?金魚缸左邊的那塊玻璃……這樣的引導(dǎo)能幫學(xué)生喚起長方體的表象，促進學(xué)生順利地解答問題。所以說有些問題學(xué)生不能從字面上把握其中的數(shù)量關(guān)系或空間位置關(guān)系，教師可讓學(xué)生回想有關(guān)形象或情境，必要時還可以出示模型或圖畫，喚起學(xué)生頭腦中既有的表象，并引導(dǎo)學(xué)生借助表象解決問題。
3、豐富和積累表象。
三．數(shù)學(xué)是用數(shù)量關(guān)系與空間形式來反映客觀世界的，具備豐富的表象是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要前提。心理學(xué)家曾對一批弱智兒童就表象問題進行過專門的測查，發(fā)現(xiàn)他們大腦中有大片“空白”，一般兒童腦中所具有的表象在他們的腦子里面很少反映，因而嚴重影響了他們的抽象思維和直覺思維。他們中的大多數(shù)人感知遲鈍，腦中儲備的表象數(shù)量少。與此相反，一些思維品質(zhì)好的學(xué)生大腦中存儲了豐富的表象。學(xué)習(xí)新知時，他們能說出、畫出許多與新知相關(guān)聯(lián)的不在眼前的事物、情境。這些學(xué)生大多感知、敏銳、留意觀察身邊的事物，對什么事物都喜歡看一看、聽一聽、摸一摸。所以從孩子幼年開始，我們的教師和家長要盡可能讓學(xué)生接觸周圍的事物，以積累各種各樣的表象；要盡可能讓學(xué)生接觸生活中的數(shù)學(xué)活動，如讓學(xué)生利用實物數(shù)數(shù)，接觸與擺弄各種幾何形體的物品、玩具，經(jīng)歷購物、付錢、分物等活動……當(dāng)積累了越來越多的數(shù)學(xué)表象以后，學(xué)生就能在學(xué)習(xí)中得心應(yīng)手，提高學(xué)習(xí)效率。
三、遷移
遷移是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響。就小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)而言，遷移主要指先前學(xué)習(xí)的知識、技能對后來學(xué)習(xí)新的知識、技能所施加的影響。如果已有的知識技能對新學(xué)習(xí)的知識技能起著促進作用與積極的影響，稱為正遷移（或簡稱“遷移”）；如果已有的知識技能對新學(xué)習(xí)的知識產(chǎn)生干擾，起消極的影響，稱為負遷移（或稱“干擾”）。由于數(shù)學(xué)知識都是內(nèi)在聯(lián)系著的，所以，遷移現(xiàn)象普遍存在于學(xué)生的學(xué)習(xí)活動中。從教學(xué)任務(wù)看，我們所期望并努力實現(xiàn)的當(dāng)然是促進性的正遷移（并注意避免干擾性負遷移）。把握遷移原理的教師十分注意利用學(xué)生先前獲得的認知結(jié)構(gòu)對后繼學(xué)習(xí)施以積極影響，順應(yīng)或同化為新的認知結(jié)構(gòu)，并使原有認知結(jié)構(gòu)得以擴展和壯大。
比如學(xué)習(xí)異分母分數(shù)加減法時，教師先讓學(xué)生計算：456+36，3.45+33.8,3/8+ 5/8，然后逐題討淪：(1)在豎式中整數(shù)加減法為什么要數(shù)位對齊？（突出：計數(shù)單位相同才能相加）（2）在豎式中計算小數(shù)加減法為什么要把小數(shù)點對齊？（突出：小數(shù)點對齊數(shù)位就對齊，計數(shù)單位相同才能加。）(3)同分母分數(shù)加減法為什么分母相同分子可直接相加？（突出：分母相同，表示分數(shù)單位相同，分子可以直接相加。）此時，學(xué)生已然明白，所有的加減法計算，只有在計數(shù)單位相同時才能直接相加。接著，出示異分母分數(shù)加法1/2+1/3 ，問學(xué)生：分子能直接相加嗎？生答：不能。師問：為什么呢？生答：分母不同，分子不能直接相加，還有學(xué)生說：分母不同就是計數(shù)單位不同，一個1/2和一個1/3是2個什么呢？所以不能直接相加。師問：那怎么辦呢？學(xué)生經(jīng)過討論，終于想到了通分的辦法，分數(shù)的計算單位相同的分數(shù)了再相加，老師結(jié)合書上的圖作了適當(dāng)?shù)难a充，學(xué)生學(xué)會了正確計算，這就是教師應(yīng)用了遷移的理論進行了教學(xué)。
再比如說，教學(xué)“平行四邊形的面積”，為了誘導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)割補方法，教師先出示了下面以方格紙為背景的圖形：
現(xiàn)代認知論關(guān)于遷移的研究表明，學(xué)習(xí)的正遷移量越大，說明學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)適應(yīng)新的學(xué)習(xí)情境或解決新的問題的能力越強。所謂正遷移量，就是認識主體原有的認知結(jié)構(gòu)，就是學(xué)生已有觀念的全部內(nèi)容及其組織。學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)遷移的最關(guān)鍵因素。研究表明，直接影響學(xué)生遷移過程的主要有三個認知結(jié)構(gòu)變量(所謂認知結(jié)構(gòu)變量，就是學(xué)習(xí)者應(yīng)用它的原有觀念遷移新知識時，原有認知結(jié)構(gòu)在內(nèi)容和組織方面的特征)：一是可利用性。就是在新的學(xué)習(xí)任務(wù)面前學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)中是否有適當(dāng)?shù)钠鸸潭ㄗ饔玫挠^念可以利用？二是可辨別性。就是在新的學(xué)習(xí)任務(wù)面前，新的有潛在意義的學(xué)習(xí)任務(wù)與同化它的原有的概念系統(tǒng)的可辨別的程度如何？也就是說，學(xué)習(xí)者原有知識與要學(xué)習(xí)的新知識之間的異同是否分辨清楚；三是穩(wěn)定性。就是在新的學(xué)習(xí)任務(wù)面前，原有的起固定作用的觀念的穩(wěn)定性和清晰性如何？原有觀念越概括、越穩(wěn)固，越有助于遷移。
知道了這一點，組織學(xué)生學(xué)習(xí)時就要注意：在學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)中尋找和確定可以固定新知的相關(guān)舊知，為新的學(xué)習(xí)提供最佳關(guān)系和固定點。例如，除數(shù)是小數(shù)的除法計算，應(yīng)該有除數(shù)是整數(shù)的除法為基礎(chǔ)，還要有除法的商不變規(guī)律、小數(shù)點位置移動引起小數(shù)大小變化等知識參與作用；異分母分數(shù)加減法的計算，應(yīng)該有同分母分數(shù)加減法，特別是“計數(shù)單位相同，才能相加減”這一包攝性、概括性很強的觀念為基礎(chǔ)；學(xué)生掌握了三角形面積計算的推導(dǎo)方法，再學(xué)習(xí)梯形面積，可利用拼合圖形推導(dǎo)這－共同染道，誘導(dǎo)學(xué)生自行遷移到梯形面積的推導(dǎo)中來。
所以只有當(dāng)相關(guān)舊知的確定和充分利用才能促進新知和舊知的相互作用，構(gòu)成聯(lián)系新舊知識的橋梁，實現(xiàn)知識的正確應(yīng)用。
所學(xué)的新知識由于符合原有的認知結(jié)構(gòu)，從而順利地為原有認知結(jié)構(gòu)所接納，即為知識同化。有些知識一時無法被個體原有認知結(jié)構(gòu)所直接接受，必須進行調(diào)整、重組乃至改造，重建新的認知結(jié)構(gòu)，這便是順應(yīng)。
數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)對于數(shù)學(xué)教學(xué)實踐來說，雖然是永恒的理論支柱之，但不等于數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)的理論建設(shè)可以停滯不前。歌德有句名言，理論是灰色的，唯生活之樹常青。廣大教師鮮活的教學(xué)實踐完全可以走在理論發(fā)展的前面，給理論建設(shè)提出新的命題，帶來新的理性思考，反哺理論的發(fā)展。課改實驗越往深處，類似這樣的新思考會越多。老師們，你們既是數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)的踐行者，相信也是數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)的發(fā)展者！
