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您好！您的文章“立體幾何題型與方法”深受廣大館友的喜愛(ài)，于2012年8月14日進(jìn)入“閱覽室”頻道的“教育/學(xué)習(xí)”下“高中/高考”類(lèi)別的精華區(qū)。360doc代表全體館友感謝您的辛勤勞動(dòng)和慷慨分享！
1．平面
平面的基本性質(zhì)：掌握三個(gè)公理及推論，會(huì)說(shuō)明共點(diǎn)、共線、共面問(wèn)題。
（1）證明點(diǎn)共線的問(wèn)題，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)（依據(jù)：由點(diǎn)在線上，線在面內(nèi) ，推出點(diǎn)在面內(nèi)）， 這樣可根據(jù)公理2證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的公共直線上。
（2）證明共點(diǎn)問(wèn)題，一般是先證明兩條直線交于一點(diǎn)，再證明這點(diǎn)在第三條直線上，而這一點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，這第三條直線是這兩個(gè)平面的交線。
（3）證共面問(wèn)題一般先根據(jù)一部分條件確定一個(gè)平面，然后再證明其余的也在這個(gè)平面內(nèi)，或者用同一法證明兩平面重合
2. 空間直線
（1）空間直線位置關(guān)系三種：相交、平行、異面. 相交直線：共面有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：共面沒(méi)有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任一平面內(nèi)，無(wú)公共點(diǎn)
注：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（×）（也可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等）
②直線在平面外，指的位置關(guān)系是平行或相交
③若直線a、b異面，a平行于平面α，b與α 的關(guān)系是相交、平行、在平面α內(nèi).
④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).
⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（×）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）
⑥在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等.（×）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段）
⑦a、b是夾在兩平行平面間的線段，若a=b，則a、b的位置關(guān)系為相交或平行或異面.
⑧異面直線判定定理：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）
（2）平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如下圖）.
（直線與直線所成角）（向量與向量所成角)
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.
（3）兩異面直線的距離：公垂線段的長(zhǎng)度.
空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.
注：是異面直線，則過(guò)外一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且與都平行平面有一個(gè)或沒(méi)有，但與
距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi). （或在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫與平行的平面）
3. 直線與平面平行、直線與平面垂直.
（1）空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).
（2）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行線面平行”）
注：①直線a與平面α內(nèi)一條直線平行，則a∥α. （×）（平面外一條直線）
②直線a與平面α內(nèi)一條直線相交，則a與平面α相交. （×）（平面外一條直線）
③若直線a與平面α平行，則α內(nèi)必存在無(wú)數(shù)條直線與平行. （√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）
④兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面. （×）（可能在此平面內(nèi)）
⑤平行于同一個(gè)平面的兩直線平行.（×）（兩直線可能相交或者異面）
⑥直線l與平面α、β所成角相等，則α∥β.（×）（α、β可能相交）
直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行線線平行”）
（4）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.
若PA⊥a，a⊥AO，得a⊥PO（三垂線定理），三垂線定理的逆定理亦成立.
直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直線面垂直”）
直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.
性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.
（5）a.垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短.
注：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn). [一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（×）]
b.射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上。
4. 平面平行與平面垂直.
（1）空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.
（2）平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行面面平行”）
推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.
注：一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面.
（3）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行線線平行”）
（4）兩個(gè)平面垂直判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.
兩個(gè)平面垂直判定二：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直面面垂直”）
注：如果兩個(gè)二面角的平面分別對(duì)應(yīng)互相垂直，則兩個(gè)二面角沒(méi)有什么關(guān)系.
（5）兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.
推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.
簡(jiǎn)證：如圖，在平面內(nèi)過(guò)O作OA、OB分別垂直于，
（6）兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：）
（7）a.最小角定理：
b.最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）
簡(jiǎn)記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條.
成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.
成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.
成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒(méi)有.
5. 棱柱. 棱錐
（1）棱柱.
a.①直棱柱側(cè)面積：S=Ch（C為底面周長(zhǎng)，h是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形得出的.
②斜棱住側(cè)面積：（C1是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，l是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖為平行四邊形得出的.
c.棱柱具有的性質(zhì)：
①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.
②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.
③過(guò)棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.
注：①棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱. （×）（直棱柱不能保證底面是矩形,可如圖）
?、冢ㄖ崩庵x）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.
d.平行六面體：
定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.
注：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).
定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.
推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為α,β, γ，則 .
推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為α,β, γ，則.
注：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四棱柱的兩個(gè)平行的平面可以為矩形）
?、诟鱾?cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）
③對(duì)角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長(zhǎng)方體.（×）（只能推出對(duì)角線相等，推不出底面為矩形）
④棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直. （兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）
（2）棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.
注：①一個(gè)三棱錐四個(gè)面可以都為直角三角形.
?、谝粋€(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以
a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心.
注：i. 正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）
ii. 正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正三角形，側(cè)棱與底棱不一定相等
iii. 正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.
?、谡忮F的側(cè)面積：（底面周長(zhǎng)為，斜高為）
?、劾忮F的側(cè)面積與底面積的射影公式：（側(cè)面與底面成的二面角為α）
附：
注：S為任意多邊形的面積（可分別求多個(gè)三角形面積和的方法）.
b.棱錐具有的性質(zhì)：①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.
?、谡忮F的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.
c.特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：
①棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.
?、诶忮F的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.
?、劾忮F的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.
?、芾忮F的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.
?、萑忮F有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.
?、奕忮F的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.
?、呙總€(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑；
?、嗝總€(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心I是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.
注：i. 各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（×）（各個(gè)側(cè)面的等腰三角形不知是否全等）
ii. 若一個(gè)三棱錐，兩條相對(duì)棱互相垂直，則第三組相對(duì)棱必然垂直.
iii. 空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.
6．球：
a.球的截面是一個(gè)圓面.
b.緯度、經(jīng)度：
①緯度：地球上一點(diǎn)P的緯度是指經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).
②經(jīng)度：地球上A,B兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是B點(diǎn)的經(jīng)度.
附：
①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，，得.
注：球內(nèi)切于四面體：。
②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.
7. 空間向量.
（1）a.共線向量：共線向量亦稱(chēng)平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.
注：
b.共線向量定理：
c.共面向量：
d.四點(diǎn)共面的充要條件。
注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.
（2）
推論：
注：
（3）a.空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱坐標(biāo)），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.
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