20世紀的數(shù)學（黃金時代），抽象浪潮席卷全球，不斷突破知識的邊緣
20世紀數(shù)學的典型特征，在很大程度上就是到19世紀末已經(jīng)變得越來越明顯的那些趨勢。這些趨勢包括強調共同的基礎結構，這樣的結構凸顯了此前一直被認為毫不相干的不同數(shù)學領域當中一致性。它們還包括世界不同地區(qū)的數(shù)學家當中日益密切的相互作用。對于某些數(shù)學流派的風行一時和優(yōu)勢地位，20世紀容易受其影響的程度絲毫不亞于數(shù)學史上此前的任何時期。這種影響可以歸因于某個數(shù)學領域的研究現(xiàn)狀，同時也要歸因于個別貢獻者的力量；但還有一些外部因素，比如 像物理學、統(tǒng)計學、計算機科學這些相關領域的發(fā)展，甚或還有經(jīng)濟和社會 壓力，這些通常起到了支持應用的作用。到19世紀末，對嚴謹性的強調導致很多數(shù)學家紛紛提出“病態(tài)”函數(shù)的實例，這些函數(shù)由于某個異乎尋常的屬性而違背了某個此前在一般情況下有效的定理。某些著名的分析學家當中有一種這樣的焦慮：對這些特例的專注， 將會使年輕的數(shù)學家分心旁騖，沒有心思去尋求當時重大的未決問題的答案。龐加萊說：然而，通過對異常特例的研究以及對長輩的質疑，兩個年輕的法國數(shù)學家實現(xiàn)了一些概念的定義，而這些概念，對于20世紀數(shù)學某些最一般化的理論的發(fā)展至關重要。亨利·勒貝格受過通常的數(shù)學訓練，但他的學位論文卻是最不尋常的，幾乎是重建了積分領域。他的作品是如此嚴重背離了人們普遍接受的觀點，以至于最初，像康托爾一 樣，勒貝格遭到了痛擊，既有來自外部的批評，也有內心的自我懷疑；但他的觀點的價值越來越被人們所認可，1910年，他被任命為巴黎大學的教授。然而，他并沒有創(chuàng)立一個“學派”，也沒有專注于他所開拓的那個領域。勒貝格擔心：后來的發(fā)展似乎表明，他對數(shù)學中一般化的有害影響的擔心并非毫無道理。在勒貝格之前一直主宰積分研究的黎曼積分。但到19世紀末，三角級數(shù)的研究和康托爾的集合論使得數(shù)學家們更敏銳地意識到，函數(shù)中的基本觀念在更新的意義上應該是逐點對應或 “映射”，而不是變化的平滑性?？低袪柹踔粮蓽y集的概念作斗爭， 根據(jù)他的定義，兩個集合的并集的測度可以小于這兩個集合的測度之和?？低袪柖x中的缺陷被勒貝格在測度論研究上的直接前輩埃米爾 · 博雷爾給消除了。新的積分理論與20世紀另一個明顯特征緊密相聯(lián)：點集拓撲學的迅速發(fā)展。如果沒有對集合論的總體考量，函數(shù)理論將不再有用武之地。而這個集合未必是數(shù)的集合，而是任意性質元素的集合，比如曲線或點，在這樣的任意集合的基礎上，構建了一套 “函數(shù)演算”：這里關注的不是集合E的特例，而是那些跟集合元素的性質毫無關系的集合論結果。在這個非常籠統(tǒng)的演算中, 極限的概念比我們先前定義的極限要寬泛得多，前者包括后者作為特例。20世紀的數(shù)學，最引人注目的方面，大概莫過于程度越來越高的一般化。在某種意義上，一個積分方程可以被視為一個有n個未知數(shù)的n個方程所組成的系統(tǒng)擴展為一個有無窮多個未知數(shù)的無窮多個方程所組成的系統(tǒng)。當希爾伯特在1904至1910年間研究積分函數(shù)的時候，他并沒有明確提到無限維空間，但他發(fā)展出了一個有無窮多個變量的函數(shù)的連續(xù)性的概念。希爾伯特究竟在何種程度上正式構建了后來以他的名字命名的那個 “希爾伯特空間”，這是一個懸而未決的問題，但它們對數(shù)學界的影響是巨大的。他在積分方程上的工作很快就被弗里德里?！だ锼购投魉固亍べM希爾擴展到了更一般的函數(shù)和抽象空間。在希爾伯特關注積分方程的那些年里，阿達馬正在從事變分計算的研究，他的門生弗雷歇則在1906年有意識地試圖通過他所說的函數(shù)演算對這一領域的方法進行一般化。普通微積分處理的是函數(shù)，而函數(shù)演算關注的是泛函數(shù)。函數(shù)是一個數(shù)集S1與另一個數(shù)集S2之間的對應，而反函數(shù)則是一個函數(shù)類 C1與另一個函數(shù)類C2之間的對應。弗雷歇闡述了一些一般化的定義，大致相當于普通微積分中諸如極限、導數(shù)和連續(xù)性這樣的術語，適合于他所創(chuàng)造的函數(shù)空間，在很大程度上為新的形式引入了一套新的詞匯表。有人說，拓撲學是從龐加萊的開始的，另一些人則聲稱，它始于康托爾的集合論，或者說，多半始于抽象空間的發(fā)展。還有人把布勞威爾視為拓撲學的創(chuàng)立者，尤其是因為他在1911年提出的拓撲不變性理論，因為他把康托爾的方法跟拓撲學的方法融合了起來。無論如何，持續(xù)至今的拓撲學的集中發(fā)展是從布勞威爾開始的。在這個拓撲學的 “黃金時代”，美國數(shù)學家做出了引人注目的貢獻。有人說，“拓撲學開始的時候是很多的幾何學和很少的代數(shù)學，現(xiàn)如今，它是很多的代數(shù)學和很少的幾何學?！?而拓撲學一旦可以被描述為沒有度量的幾何學，代數(shù)拓撲學就開始主宰這一 領域。在哥廷根大學講授黎曼曲面的赫爾曼·外爾也強調了一個曲面（二維流形）的抽象性。他聲稱，流形的概念不應該跟點空間（通常的幾何學意義上）聯(lián)系起來，而應該賦予更寬泛的意義。我們只不過從一種被稱作 “點”的事物（可以是任何對象）的集合開 始，并通過恰當?shù)亩x引入連續(xù)性的概念。豪斯道夫1914年出版的《集合論基礎》的第一部分是對集合論典型特征的系統(tǒng)闡述，在他的闡述中，元素的性質無關緊要，只有元素之間的關系才是重要的。在此書的后半部分，我們發(fā)現(xiàn)，“豪斯道夫拓撲空間”從一個公理集中清晰地發(fā)展了。作者把一個拓撲空間理解為一個由元素x和某些子集S（被稱作x 的鄰域）所組成的集合。如果說有哪本書標志著點集拓撲學作為單獨一門學科出現(xiàn)的話，那這本書就是豪斯道夫的 《集合論基礎》。有趣的是，我們注意到，盡管正是分析學的算術化開始了從康托爾通向豪斯道夫的思想路徑，但到最后，數(shù)的概念被徹底淹沒在更加一般的觀點之下。此外，盡管 “點”這個詞被用在它的名稱中，但這門新學科跟普通幾何學中的點沒多大關系，正如它跟普通算術中的數(shù)也沒多大關系一樣。拓撲學在20世紀的出現(xiàn)，是作為一門統(tǒng)一幾乎整個數(shù)學的學科，有點像哲學試圖把一切知識協(xié)調起來一樣。因為它的本原性，拓撲學成為絕大部分數(shù)學的基礎，為數(shù)學提供了意想不到的凝聚性。在20世紀初進入了分析學、幾何學和拓撲學的那種高度的形式抽象, 不能不入侵代數(shù)學的地盤。結果是一種新類型的代數(shù)學，有時候被不恰當?shù)孛枋鰹?“現(xiàn)代代數(shù)學”，它主要是20世紀20年代的產(chǎn)物。誠然，代數(shù)學算術化的漸進過程在19世紀就開始發(fā)展，但在20世紀，抽象程度急劇向上。在韋德伯恩的一篇文中，他把他的課題從對特定數(shù)域的依賴中抽象了出來。韋德伯恩在這篇論文中提出了很有影響的結構定理。這些定理是這樣陳述的：- 任何代數(shù)都可以表示為冪零代數(shù)和半單代數(shù)之和。
- 任何不是單代數(shù)的半單代數(shù)都是單代數(shù)的直和。
- 任何單代數(shù)都是本原代數(shù)與單矩陣代數(shù)的直積。
艾米·諾特在1921年把代數(shù)數(shù)域的理想數(shù)分解定理轉變成任意環(huán)中理想子環(huán)的分解定理。在這項工作的基礎上，沃爾夫岡·克魯爾發(fā)表了一系列論述環(huán)的代數(shù)理論的論文，實現(xiàn)了與施泰尼茨那篇論述域的論文類似的結果。諾特和她的學生們對環(huán)論做出了另外 一些重要貢獻，這之后，她便轉向了從理想論的觀點處理有限群的表示。通過諾特的影響力，這些代數(shù)學概念跟拓撲學聯(lián)系了起來，確定了拓撲學的研究方向。20世紀初的微分幾何提供了一個有趣的實例，可以用來研究外部力量如何影響了人們對一個數(shù)學分支不斷改變的態(tài)度。這一領域的研究者做出了一些次要的貢獻，闡述了一些有趣的可選方案，但它明顯是一個注定只有專家才感興趣的領域。然而，在阿爾伯特·愛因斯坦宣布了他的廣義相對論之后，這種情況得到 了戲劇性的改變。1915年，愛因斯坦介紹了他的引力方程的發(fā)現(xiàn)，他指出，這標志著“高斯、黎曼、里奇等人所創(chuàng)立的一般微分學方法的一次真正的勝利?！比藗儗V義相對論的興趣導致了大量的出版物，旨在闡明或拓展廣義相對論和微分幾何。1916 年。研究集合論的德國數(shù)學家格哈德 · 赫申伯格提出了連接的概念。列維—齊維塔在1917年提出了平行的概念，并于1920年代初在羅馬大學講授他繼續(xù)稱之為絕對微積分的這門學科，隨后出現(xiàn)了多維微幾何原理和里奇微積分等專著。在超過一代人的時間里，相對較少的數(shù)學家認識到了，研究微分幾何的新方法的種子已經(jīng)播下。20世紀初，赫爾曼·外爾講授黎曼的函數(shù)理論，把黎曼的作品建立在滿足嚴謹性需要的從集合論上嚴格證明的基礎上?，F(xiàn)在，概念和定義，比如復流形的初步定義，成了后來大多數(shù)流形研究的基礎。此后，外爾還探索了線性連接的概念，有一段時間認為，把這跟相似群聯(lián)系起來可能導致統(tǒng)一場論。1920年代中期，人們撰寫了一批論述李群的線性表示的經(jīng)典論文，部分程度上是他的這項工作的結果。與此同時，從研究李群開始自己的職業(yè)生涯的埃利·嘉當對微分幾何進行了改進。嘉當在他研究工作的早期便發(fā)展出了外微分形式的微積分。他把這打造成了一個強有力的工具，既用于微分幾何，也用于很多其他數(shù)學領域。他的主要成就是建立在兩個概念的基礎上：- 一個是他對連接的定義，這個定義被微分幾何學家廣泛采用。
- 另一個是對稱黎曼空間的。在這樣一個空間里，每個點都被假定為被 “對稱”所環(huán)繞，亦即某種使該點固定不變的保距變換。
更早，嘉當成功地對實單李代數(shù)進行了分類, 并成功地確定了單李代數(shù)的不可簡化的線性表示。結果證明，單李群的分類可以用于對稱黎曼空間的描述。第二次世界大戰(zhàn)之后的很多數(shù)學分支代表了一次全新的出發(fā)，預示了一個新時代的來臨。集合論和測度論在整個20世紀侵入了不斷拓寬的數(shù)學領域，很少有哪個數(shù)學分支像概率論那樣完全不受這一趨勢的影響，對這一領域，博雷爾貢獻了他的《概率論原理》。新世紀的頭一年對于概率論來說是幸運的一年，無論是在物理學中，還是在遺傳學中，因為吉布斯在1901年出版了他的 《統(tǒng)計力學的基本原理》，同年，卡爾·皮爾森創(chuàng)辦了《生物統(tǒng)計學》雜志。龐加萊眾多的頭銜當中有一個是“概率演算教授”，顯示了他對這一學科的興趣。在俄國，切比雪夫的學生馬爾可夫開始了關聯(lián)事件鏈的研究。在氣體分子運動論中,以及在很多社會和生物學現(xiàn)象中，一個事件的概率常常依賴于之前的結果，尤其是自20世紀中葉之后，馬爾可夫的關聯(lián)概率鏈得到了廣泛的研究。作為不斷擴張的概率論的數(shù)學基礎，統(tǒng)計學家們找到了一個近在手邊的恰當工具，概率論的任何嚴謹表述，如果不使用可測函數(shù)和現(xiàn)代積分理論的概念，都是不可能的。古典分析學一直關注連續(xù)函數(shù)，而概率問題通常涉及到分離的實例。測度論和積分概念的擴展十分適合在分析學與概率論之間建立起更緊密的聯(lián)系，尤其是在20世紀中葉、當巴黎大學的洛朗·施瓦茨通過分布理論把微分的概念一般化之后。原子物理學中的迪拉克delta函數(shù)顯示，長期以來讓數(shù)學家們頭痛不已的病態(tài)函數(shù)在科學中也很有用。然而，在更困難的實例中，可微性失靈了，結果導致微分方程的解———數(shù)學與物理學之間的主要聯(lián)系環(huán)節(jié)之一———的問題，尤其是在牽涉到奇解的情況下。為了戰(zhàn)勝這個困難，施瓦茨提出了更寬泛地看待可微性，通過巴拿赫、弗雷歇等人在20世紀上半葉對廣義向量空間的發(fā)展，使這一觀點成為可能。一個線性向量空間是一個滿足某些條件的元素a、b、c … 的集合，尤其是包括這樣一個條件：如果L的元素是函數(shù)，則這個線性向量空間被稱作線性空間，這種情況下的映射被稱作線性泛函。施瓦茨所說的 “分布”，指的是可微且滿足其他條件的函數(shù)空間上的線性連續(xù)泛函。接下來，施瓦茨發(fā)展出了一個分布的導數(shù)的恰當定義，使得一個分布的導數(shù)本身始終是一個分布。這提供了對微積分的強有力的一般化,以及對概率論和物理學的直接應用。泛函分析———尤其是對變分計算的一般化———和分布理論自20世紀中葉以來一直都是數(shù)學研究的重要課題。現(xiàn)代代數(shù)（或抽象代數(shù)）、拓撲學和向量空間的基本概念是在1920至1940年間定下的，但接下來的20年目睹了蔓延到代數(shù)學和分析學領域的代數(shù)拓撲學方法中名副其實的巨變。結果是一門被稱作同調代數(shù)的新學科，亨 利·嘉當和塞繆爾·艾倫伯格 撰寫的論述這一課題的第一部專著出版于1955年，在接下來的12年里緊隨其后的還有幾部專著，其中包括桑德斯·麥克萊恩的《同調》。同調代數(shù)是抽象代數(shù)的發(fā)展，涉及的結果對很多不同種類的空間都有效———這是代數(shù)拓撲對純代數(shù)地盤的一次入侵，抽象代數(shù)與代數(shù)拓撲之間這種普遍而有力的交叉，其速度變得越來越快。此外,這一領域的結果的適用性是如此廣泛，以至于古老的代數(shù)學、分析學和幾何學等標簽幾乎都不適合最近的研究成果。數(shù)學此前從未像今天這樣徹底地統(tǒng)一起來了。
這一趨勢的征兆，就是艾倫伯格和麥克萊恩在1942年提出函子和范疇的概念。20世紀50年代后，大多數(shù)巨大的發(fā)展都跟自然科學沒多大關系，而是被純數(shù)學本身之內的問題所激發(fā)；然而，在同一時期，數(shù)學對科學的應用有了極大的增加。對這一異常情況的解釋似乎很清楚：對模式的抽象和洞察在自然研究中扮演著越來越重要的角色，正如它們在數(shù)學中一 樣。因此，即使在超抽象思維的今天，數(shù)學也依然是科學的語言，正如它在古代一樣。經(jīng)驗現(xiàn)象與數(shù)學結構之間存在著一種密切的聯(lián)系，這一點似乎被當代物理學的最新發(fā)現(xiàn)以一種出人意料的方式證實了，盡管這種一致性的根本理由依然很模糊。從公理的觀點看，數(shù)學因此顯得像是一座抽象形式（數(shù)學結構）的倉庫；碰巧的是———我們不知道為什么———經(jīng)驗現(xiàn)實的某些方面很適合這些形式，仿佛是通過了某種預適應一樣。布爾巴基這個名字代表一群數(shù)學家，幾乎完全是法國人，他們組成了一個小集團。布爾巴基的《分析學基礎》包含6個子標題：(1)集合論，(2)代數(shù)學，(3)一般拓撲學，(4)實變函數(shù)論，(5)拓撲向量空間，(6)積分。這些標題表明，這些書中所包含的數(shù)學只有很少一 部分在一個世紀之前存在。布爾巴基對這一學科的展示，其典型特征就是毫不妥協(xié)地忠誠于公理方法，忠實于清晰地描繪邏輯結構的完全抽象的一般形式。希望通過對結構的強調實現(xiàn)思想的極大節(jié)約。20世紀初，數(shù)學中的浪漫主義者擔心貧瘠的形式主義在邏輯主義的鼓勵下接管他們的學科。到這個世紀中葉，形式主義者和直覺主義者之間的爭執(zhí)偃旗息鼓了，布爾巴基覺得沒有必要在這場論戰(zhàn)中偏袒哪一方。歷史的諷刺之一是，就在布爾巴基及其他純數(shù)學家追求以觀念取代計算這個目標的同時，工程師和應用數(shù)學家們發(fā)展出了一個工具，它重新點燃了人們對數(shù)值計算和代數(shù)技術的興趣，并強烈影響了很多數(shù)學系的構成，這就是計算機。在20世紀的上半葉，計算機的歷史更多地牽涉到統(tǒng)計學家、物理學家和電子工程師，而不是數(shù)學家。臺式計算機和穿孔卡控制系統(tǒng)對商業(yè)、 銀行和社會科學是不可或缺的。計算尺成了工程師的象征；各種類型的積分儀被物理學家、測地學家和統(tǒng)計學家所使用。紙和筆依然是數(shù)學家們的主要工具。盡管大多數(shù)重要努力是物理學家和工程師推動的，但很多年輕的數(shù)學家在自動數(shù)字電子計算機的發(fā)展中扮演了積極的角色。其中大多數(shù)數(shù)學家在他們涉足計算機的時候都處在他們職業(yè)生涯的早期階段，很多人在1930年代獲得了博士學位。我們妨看看三個對新興計算機領域做出貢獻的數(shù)學家。約翰·馮·諾依曼在21歲那年發(fā)表的一篇論文中，給出了序數(shù)的新定義；兩年后，他為集合論提出了一套公理系統(tǒng)，提供了在策梅洛和弗蘭克爾的體系之外的可選方案。1926年，他發(fā)表了一篇關于博弈論的開拓性論文。馮·諾依曼是20世紀最有創(chuàng)造力、最多才多藝的數(shù)學家之一，他是數(shù)理經(jīng)濟學新方法的開拓者。計量經(jīng)濟學長期以來利用數(shù)學分析，但正是通過馮·諾依曼和奧斯卡·摩根斯特恩在1944年出版的 《博弈論與經(jīng)濟行為》，所謂的有窮數(shù)學開始在社會科學中扮演一個越來越重要的角色。麻省理工學院的諾伯特·維納在1948年出版了他的《控制論》一書，這本書確立了一門新的學科，致力于研究動物和機器中的控制與溝通。馮·諾依曼和維納都深深地卷入了量子論，前者在1955年被任命為原子能委員會的成員。然而，得出下面這個結論將是錯的：像這樣一些人只不過是應用數(shù)學家而已。他們對純數(shù)學至少做出了同 樣廣泛的貢獻———對集合論、群論、運算微積分、概率論以及數(shù)理邏輯與基 礎。事實上，正是馮·諾依曼，在1929年前后賦予了希爾伯特空間以它現(xiàn)在的名稱、它最早的公理化以及它目前的高度抽象的形式。在20世紀初，現(xiàn)代線性空間理論的起源上，尤其是在巴拿赫空間的發(fā)展上，維納都很重要。艾倫·圖靈是1934年畢業(yè)于劍橋大學的國王學院。次年，他解決了數(shù)理邏輯中一個懸而未決的問題，從而創(chuàng)造了歷史。包含這一成果的論文發(fā)表于1937年，題為《論可計算數(shù)及其在判定問題上的應用》。1936年，圖靈去了美國，在普林斯頓從事研究。他在那里與邏輯學家丘奇一起工作，提出了自己對判定問題的證明，并結識了約翰·馮·諾依曼。后來，他深深卷入了密碼分析活動，電子計算機的設計，以及編程系統(tǒng)的設計。在當代數(shù)學更值得注意方面，最明顯的特征包括：幾何學的復興，以及在很多著名問題的解決上所取得的進步，從龐加萊猜想，到有限群的分類。到20世紀快要結束的時候，人們的態(tài)度既沒有表現(xiàn)出18世紀末一些思想家的那種悲觀，這些人曾經(jīng)聲稱，大多數(shù)重要問題已經(jīng)得到解決；也沒有表現(xiàn)出希爾伯特在19世紀末的那種樂觀，當年他曾宣布，一切問題都能夠得到解決。有時候，看上去最重要的問題好像是，數(shù)學問題是不是應該解決。因為在很多領域，數(shù)學的教學和研究都面臨進退維谷的境地。未來的偉大數(shù)學家，就像過去的一樣，將會逃離人們慣走到老路。正是通過意料之外的和解，他將在給它們帶來又一次轉變的過程中，解決我們留給他的重大問題。在未來，正像在過去一樣，偉大的觀念必定是令人滿意的觀念。
本站僅提供存儲服務，所有內容均由用戶發(fā)布，如發(fā)現(xiàn)有害或侵權內容，請
點擊舉報。
