笛卡爾認為這個公式只是一個小小的發(fā)現(xiàn)，并沒有發(fā)表。直到很久以后，數(shù)學家們才把這個簡單的方程式看作是邁向拓撲學的第一步。在19世紀，純數(shù)學的三大支柱是代數(shù)、分析和幾何。到了20世紀末，變成了代數(shù)、分析和拓撲學。拓撲學通常被描述為“橡皮泥幾何”，線條可以彎曲、收縮或拉伸，而圓形可以被擠壓，從而變成三角形或正方形，重要的是要保持連續(xù)性。連續(xù)性是自然世界的一個基本方面，也是數(shù)學的一個基本特征。今天，我們主要是間接地使用拓撲。量子場論和標志性分子DNA的一些性質(zhì)需要通過拓撲來理解。歐拉在1750年和1751年證明并發(fā)表了這一關系。F - E + V的表達式看起來相當隨意，但它有一個非常有趣的結(jié)構(gòu)。面(F)是二維多邊形；邊(E)是線，是一維；頂點(V)是點，是0維。表達式+F-E+V中“+”表示偶數(shù)維，“-”表示奇數(shù)維。這意味著可以通過合并面或刪除邊和頂點來簡化實體，這些變化不會改變F - E + V的結(jié)果。現(xiàn)在，我來解釋一下。如圖所示：
首先，把固體變成一個圓球，它的邊就是球上的曲線。如果兩個面共邊，然后你可以刪除這條邊并將這兩個面合并成一個。因為這個合并使F和E都減少了1，它不會改變F - E + V的結(jié)果。一直這樣做，直到得到一個面，它幾乎覆蓋了整個球面（除了這個面，只剩下邊和頂點）。它們必須形成一個沒有閉合環(huán)的網(wǎng)絡，因為球面上的任何閉合環(huán)都至少分開兩個面：一個在閉合環(huán)內(nèi)部，另一個在閉合環(huán)外部。這個過程會一直持續(xù)下去，直到只剩下一個頂點在一個沒有任何特征的球體上?，F(xiàn)在V =1，E = 0，F(xiàn) =1。F - E + V =1 - 0 + 1 = 2。但由于每一步F - E + V不變，它一開始的值也一定是2，這就是我們想要證明的。這個證明有兩個成分。一個是簡化過程：刪除一個面和一個相鄰的邊，或者刪除一個頂點和一個與之相交的邊。另一個是不變式，即無論何時執(zhí)行簡化過程中的某一步，它都保持不變的數(shù)學表達式。只要這兩種成分同時存在，就可以通過盡可能地簡化任何初始對象的不變式的值，然后計算這個簡化版本的不變式的值。因為它是一個不變量，所以這兩個值必須相等。因為最終結(jié)果很簡單，所以不變量很容易計算。事實上，笛卡爾的公式并不適用于任何固體。最常見的不適用的固體是相框。想象一個由木頭制成的四邊相框，每條邊的橫截面都是矩形，在四個角上用45°的斜面連接起來，如下圖所示。每條邊的木頭貢獻4個面，所以F = 16。每條木頭也貢獻了4條邊，但是斜接在每個角上創(chuàng)造了4條邊，所以E = 32。每個角包含4個頂點，所以V = 16。因此F - E + V =0。問題出在哪里？
左：F-E + V =0的相框。右圖：對相框進行平滑化簡后的最終結(jié)構(gòu) 。
F - E + V不變性是沒有問題的。簡化過程也沒有問題。但如果你對框架進行處理，總是在一條邊上消去一個面，或者在一條邊上消去一個頂點，那么最終的簡化構(gòu)型就不是單個頂點在單個面上了。如上圖的右圖：F =1, V =1, E =2。在這個階段，移除一條邊只是將剩下的唯一一個面與它本身合并，所以對數(shù)字的更改不再抵消。這就是我們停下來的原因，但我們還是得到了答案：對于這個構(gòu)型，F(xiàn) - E + V = 0。因此，該方法執(zhí)行得很完美。它只是對相框產(chǎn)生了不同的結(jié)果。相框和立方體之間一定有一些基本的區(qū)別，不變量F - E + V將其體現(xiàn)了出來。前面，我告訴過你把固體“變形成一個圓球”。但這對相框來說是不可能的。即使經(jīng)過簡化，它的形狀也不像一個球體。它是一個環(huán)面，看起來像一個輪胎，中間有個洞。然而，F(xiàn)-E + V仍然是不變的。這個證明告訴我們，任何可變形為環(huán)面的固體都滿足稍微不同的方程：F - E +V = 0。因此，我們有了嚴格證明環(huán)面不能變形為球體的基礎，也就是說，這兩個表面在拓撲結(jié)構(gòu)上是不同的。當然這在直覺上是顯而易見的，但現(xiàn)在我們可以用邏輯來支持直覺。正如歐幾里得從點和線的明顯性質(zhì)出發(fā)，并將它們形式化為嚴格的幾何理論一樣，19世紀和20世紀的數(shù)學家發(fā)展出了嚴格形式的拓撲理論。
左：2孔環(huán)面。右：3孔環(huán)面。
像環(huán)面這樣的實體，有兩個或更多的孔，如圖上圖所示。結(jié)果表明，任何可變形為2孔環(huán)面的固體滿足F - E + V = - 2，任何可變形為3孔環(huán)面的固體滿足F - E + V = - 4，一般而言，任何可變形為g孔環(huán)面的固體滿足F - E + V = 2- 2g。沿著笛卡爾和歐拉的思路，我們發(fā)現(xiàn)了固體的數(shù)量性質(zhì)（面、頂點和邊的數(shù)量）和具有孔的性質(zhì)之間的聯(lián)系。我們稱F - E + V為立方體的歐拉示性數(shù)。我們計算孔的數(shù)量，這是一種定量操作，但“孔”本身是定性的，因為它根本不是固體的特征。直覺上，它是空間中的一個區(qū)域而固體不是。事實上，你越開始思考孔（洞）是什么，你就越會意識到定義一個洞是相當棘手的，比如下圖：
這是我最喜歡的一個例子，它被稱為“孔中之孔”，顯然你可以把一個洞穿過另一個洞。情況變得越來越復雜。到了19世紀末，它們在數(shù)學中隨處可見——在復分析、代數(shù)幾何和黎曼微分幾何中。更糟糕的是，在純數(shù)學和應用數(shù)學的所有領域中，高維的固體類似物占據(jù)了中心地位。太陽系的動力學需要每一個物體有6個維度。它們有更高維度的孔類似物。無論如何，有必要給這個新的領域帶來一點秩序。答案是：不變量。拓撲不變量的思想可以追溯到高斯關于磁性的研究。他對磁力線和電力線如何相互連接感興趣，他定義了連接數(shù)，即一個磁力線繞另一個磁力線的次數(shù)。這是一個拓撲不變量：如果曲線連續(xù)變形，它保持不變。高斯的學生約翰·李斯特和高斯的助手奧古斯特·莫比烏斯的首次深入了解了高斯的研究。李斯特在1847年的“拓撲研究”中引入了“拓撲”這個詞，而莫比烏斯則明確了連續(xù)變形的作用。李斯特想尋求歐拉公式的推廣。表達式 F- E + V是一個組合不變式。孔的數(shù)量g是一個拓撲不變量：無論固體如何變形，只要變形是連續(xù)的，它都不會改變。拓撲不變量捕捉形狀的定性概念特征；組合函數(shù)提供了一種計算方法。這兩者結(jié)合起來是非常強大的，因為我們可以用概念不變量來考慮形狀，用組合不變量來確定我們要討論的內(nèi)容。事實上，這個公式讓我們完全避開了定義“洞”這個棘手的問題。相反，我們將“洞數(shù)”定義為一個包，既不定義洞也不計算有多少個洞。具體怎么做？就是把歐拉公式F - E + V = 2-2g改寫成這種形式：
