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學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的目的、意義和方法 一、為什么要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)
高等數(shù)學(xué)是高等學(xué)校中經(jīng)濟(jì)類、理工類專業(yè)學(xué)生必修的重要基礎(chǔ)理論課程。
數(shù)學(xué)主要是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式。在現(xiàn)實世界中，一切事物都在不斷地變化
著，并遵循量變到質(zhì)變的規(guī)律。凡是研究量的大小、量的變化、量與量之間的關(guān)系以及這些關(guān)系的變化，就少不了數(shù)學(xué)。同樣，一切實在的物皆有形，客觀世界中存在著各種不同的空間形式。因此，宇宙之大，粒子之微，光速之快，世界之繁， …. ，無處不用到數(shù)學(xué)。
數(shù)學(xué)不但研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，還研究各種各樣的抽象的 “ 數(shù) ” 和 “ 形 ” 的模式結(jié)構(gòu)。
恩格斯說 ： “ 要辨證而又唯物地了解自然，就必須掌握數(shù)學(xué)。 ” 英國著名哲學(xué)家培根說： “ 數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙。 ” 著名數(shù)學(xué)家霍格說： “ 如果一個學(xué)生要成為完全合格的、多方面武裝的科學(xué)家，他在其發(fā)展初期就必定來到一座大門并且通過這座門。在這座大門上用每一種人類語言刻著同樣一句話 :‘ 這里使用數(shù)學(xué)語言 ' 。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們越來越深刻地認(rèn)識到：沒有數(shù)學(xué)，就難于創(chuàng)造出當(dāng)代的科學(xué)成就。科學(xué)技術(shù)發(fā)展越快越高，對數(shù)學(xué)的需求就越多。
如今，伴隨著計算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展、自然科學(xué)各學(xué)科數(shù)學(xué)化的趨勢、社會科學(xué)各部門定量化的要求，使許多學(xué)科都在直接或間接地，或先或后地經(jīng)歷了一場數(shù)學(xué)化的進(jìn)程（在基礎(chǔ)科學(xué)和工程建設(shè)研究方面，在管理機(jī)能和軍事指揮方面，在經(jīng)濟(jì)計劃方面，甚至在人類思維方面，我們都可以看到強(qiáng)大的數(shù)學(xué)化進(jìn)程）。聯(lián)合國教科文組織在一份調(diào)查報告中強(qiáng)調(diào)指出： “ 目前科學(xué)研究工作的特點(diǎn)之一是各門學(xué)科的數(shù)學(xué)化。 ”
為了使大家了解 “ 高等數(shù)學(xué) ” 在數(shù)學(xué)中的地位，我們簡要地介紹一點(diǎn)數(shù)學(xué)的歷史。
從最一般的觀點(diǎn)來看，數(shù)學(xué)的歷史可以分為四個基本的、在性質(zhì)上不同的階段。當(dāng)然精確的劃分這些階段是不可能的，因為每一個相繼的階段的本質(zhì)特征都是逐步形成的，而且在每一個 “ 前期 ” 內(nèi)，都孕育乃至萌發(fā)了 “ 后期 ” 的內(nèi)容；而每一個 “ 后期 ” 又都是其 “ 前期 ” 內(nèi)容的持續(xù)發(fā)展階段。不過這些階段的區(qū)別和它們之間的過渡都能明顯地表示出來。
第一階段：數(shù)學(xué)萌芽時期
這個時期從遠(yuǎn)古時代起，止于公元前 5 世紀(jì)。這個時期，人類在長期的生產(chǎn)實踐中積累了許多數(shù)學(xué)知識，逐漸形成了數(shù)的概念，產(chǎn)生了數(shù)的運(yùn)算方法。由于田畝度量和天文觀測的需要，引起了幾何學(xué)的初步發(fā)展。這個時期是算術(shù)、幾何形成的時期，但它們還沒有分開，彼此緊密地交織在一起。也沒有形成嚴(yán)格、完整的體系，更重要的是缺乏邏輯性，基本上看不到命題的證明、演繹推理和公理化系統(tǒng)。
第二階段：常量數(shù)學(xué)時期
即 “ 初等數(shù)學(xué) ” 時期。這個時期開始于公元前 6 、 7 世紀(jì)，止于 17 世紀(jì)中葉，延續(xù)了 2000 多年。在這個時期，數(shù)學(xué)已由具體的階段過渡到抽象的階段，并逐漸形成一門獨(dú)立的、演繹的科學(xué)。在這個時期里，算術(shù)、初等幾何、初等代數(shù)、三角學(xué)等都已成為獨(dú)立的分支。 這個時期的基本成果，已構(gòu)成現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)課本的主要內(nèi)容。
第三階段：變量數(shù)學(xué)時期
即 “ 高等數(shù)學(xué) ” 時期。這個時期以 17 世紀(jì)中葉笛卡兒的解析幾何的誕生為起點(diǎn)，止于 19 世紀(jì)中葉。這個時期和前一時期的區(qū)別在于，前一時期是用 靜止 的方法研究客觀世界的 個別 要素，而這一時期是運(yùn)用 運(yùn)動 和 變化 的觀點(diǎn)來探究事物變化和發(fā)展的規(guī)律。
在這個時期，變量與函數(shù)的概念進(jìn)入了數(shù)學(xué)，隨后產(chǎn)生了 微積分 。這個時期雖然也出現(xiàn)了概率論和射影幾何等新的數(shù)學(xué)分支，但似乎都被微積分過分強(qiáng)烈的光輝掩蓋了它們的光彩。這個時期的基本成果是解析幾何、微積分、微分方程等，它們是現(xiàn)今高等院校中的基礎(chǔ)課程。
第四階段：現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段
這個時期始于 19 世紀(jì)中葉。這個時期是以代數(shù)、幾何、數(shù)學(xué)分析中的深刻變化為特征。幾何、代數(shù)、數(shù)學(xué)分析變得更為抽象。可以說在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)中， “ 數(shù) ” 、 “ 形 ” 的概念已發(fā)展到很高的境地。比如，非數(shù)之 “ 數(shù) ” 的眾多代數(shù)結(jié)構(gòu)，像群、環(huán)、域等；無形之 “ 形 ” 的一些抽象空間，像線性空間、拓?fù)淇臻g、流形等。
在人類智能活動的研究領(lǐng)域里也有數(shù)學(xué)的身影。產(chǎn)生于 19 世紀(jì)末，現(xiàn)在已經(jīng)得到廣泛發(fā)展的新學(xué)科 —— 數(shù)理邏輯，用數(shù)學(xué)的方法研究命題的結(jié)構(gòu)、研究推理的過程。
隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使各數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)科之間、數(shù)學(xué)和物理、經(jīng)濟(jì)等其它學(xué)科之間相互交叉和滲透，形成了許多邊緣學(xué)科和綜合性學(xué)科。集合論、計算數(shù)學(xué)、電子計算機(jī)等的出現(xiàn)和發(fā)展，構(gòu)成了現(xiàn)在豐富多彩、滲透到各個科學(xué)技術(shù)部門的現(xiàn)代數(shù)學(xué)。
“ 初等 ” 數(shù)學(xué)與 “ 高等 ” 數(shù)學(xué)之分完全是按照慣例形成的。可以指出習(xí)慣上稱為 “ 初等數(shù)學(xué) ” 的這門中學(xué)課程所固有的兩個特征。
第一個特征在于其所研究的對象是不變的量（常量）或孤立不變的規(guī)則幾何圖形；第二個特征表現(xiàn)在其研究方法上。初等代數(shù)與初等幾何是各自依照互不相關(guān)的獨(dú)立路徑構(gòu)筑起來的，使我們既不能把幾何問題用代數(shù)術(shù)語陳述出來，也不能通過計算用代數(shù)方法來解決幾何問題。
16 世紀(jì)，由于工業(yè)革命的直接推動，對于運(yùn)動的研究成了當(dāng)時自然科學(xué)的中心問題，這些問題和以往的數(shù)學(xué)問題有著原則性的區(qū)別。要解決它們 ，初等數(shù)學(xué)以不夠用了，需要創(chuàng)立全新的概念與方法，創(chuàng)立出研究現(xiàn)象中各個量之間的變化的新數(shù)學(xué)。變量與函數(shù)的新概念應(yīng)時而生，導(dǎo)致了初等數(shù)學(xué)階段向高等數(shù)學(xué)階段的過渡。
高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)相反，它是在代數(shù)法與幾何法密切結(jié)合的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。這種結(jié)合首先出現(xiàn)在法國著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡兒所創(chuàng)建的解析幾何中。笛卡兒把變量引進(jìn)數(shù)學(xué)，創(chuàng)建了坐標(biāo)的概念。有了坐標(biāo)的概念，我們一方面能用代數(shù)式子的運(yùn)算順利地證明幾何定理，另一方面由于幾何觀念的明顯性，使我們又能建立新的解析定理，提出新的論點(diǎn)。笛卡兒的解析幾何使數(shù)學(xué)史上一項劃時代的變革，恩格斯曾給予高度評價： “ 數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就成為必要的了 …. 。 ”
有人作了一個粗淺的比喻：如果將整個數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干就是 “ 高等分析、高等代數(shù)、高等幾何 ” （ —— 它們被統(tǒng)稱為高等數(shù)學(xué)）。這個粗淺的比喻，形象地說明這 “ 三高 ” 在數(shù)學(xué)中的地位和作用，而微積分學(xué)在 “ 三高 ” 中又有更特殊的地位。學(xué)習(xí)微積分學(xué)當(dāng)然應(yīng)該有初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，而學(xué)習(xí)任何一門近代數(shù)學(xué)或者工程技術(shù)都必須先學(xué)微積分。
英國科學(xué)家牛頓和德國科學(xué)家萊布尼茨在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分，與其說是數(shù)學(xué)史上，不如說是科學(xué)史上的一件大事。恩格斯指出： “ 在一切理論成就中，未必再有什么像 17 世紀(jì)下半葉微積分學(xué)的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了。 ” 他還說； “ 只有微積分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程、運(yùn)動。 ” 時至今日，在大學(xué)的所有經(jīng)濟(jì)類、理工類專業(yè)中，微積分總是被列為一門重要的基礎(chǔ)理論課。
二、高等數(shù)學(xué)的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容和教學(xué)目的
我們要學(xué)習(xí)的《高等數(shù)學(xué)》這門課程包括極限論、微積分學(xué)、無窮級數(shù)論和微分方程初步，最主要的部分是微積分學(xué)。
微積分學(xué)研究的對象是函數(shù)，而極限則是微積分學(xué)的基礎(chǔ)（也是整個分析學(xué)的基礎(chǔ)）。 通過學(xué)習(xí)的《高等數(shù)學(xué)》這門課程要使學(xué)生獲得：
（ 1 ）函數(shù)、極限、連續(xù) ;
（ 2 ）一元函數(shù)微積分學(xué)；
（ 3 ）多元函數(shù)微積分學(xué)；
（ 4 ）無窮級數(shù)（包括傅立葉級數(shù)）；
（ 5 ）常微分方程。
等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，為學(xué)習(xí)后繼課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 通過各個教學(xué)環(huán)節(jié)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯推理能力和自學(xué)能力，還要特別注意培養(yǎng)學(xué)生比較熟練的運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識去分析問題和解決問題的能力。
三、怎樣才能學(xué)好高等數(shù)學(xué)
1 、要學(xué)好高等數(shù)學(xué)，首先了解高等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)
高等數(shù)學(xué)有三個顯著的特點(diǎn)：高度的抽象性；嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?；廣泛的應(yīng)用性。
（ 1 ）高度的抽象性
數(shù)學(xué)的抽象性在簡單的計算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來。我們運(yùn)用抽象的數(shù)字，卻不是每次都把它們同具體的對象聯(lián)系起來。在數(shù)學(xué)的抽象中只留下量的關(guān)系和空間形式，而舍棄了其他一切。它的抽象程度大大超過了自然科學(xué)中一般的抽象。
（ 2 ）嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?div style="height:15px;">
數(shù)學(xué)中的每一個定理，不論驗證了多少實例，只有當(dāng)它從邏輯上被嚴(yán)格地證明了的時候，才能在數(shù)學(xué)中成立。在數(shù)學(xué)中要證明一個定理，必須是從條件和已有的數(shù)學(xué)公式出發(fā)，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评矸椒▽?dǎo)出結(jié)論。
（ 3 ）廣泛的應(yīng)用性
高等數(shù)學(xué)具有廣泛的應(yīng)用性。例如，掌握了導(dǎo)數(shù)概念及其運(yùn)算法則，就可以用它來刻畫和計算曲線的切線斜率、曲線的曲率等等幾何量；就可以用它來刻畫和計算速度、加速度、密度等等物理量；就可以用它來刻畫和計算產(chǎn)品產(chǎn)量的增長率、成本的下降率等等經(jīng)濟(jì)量； …… 。掌握了定積分概念及其運(yùn)算法則，就可以用它來刻畫和計算曲線的弧長、不規(guī)則圖形的面積、不規(guī)則立體的體積等等幾何量；就可以用它來刻畫和計算變速運(yùn)動的物體的行程、變力所做的功、物體的重心等等物理量；就可以用它來刻畫和計算總產(chǎn)量、總成本等等經(jīng)濟(jì)量； …… 。
高等數(shù)學(xué)既為其它學(xué)科提供了便利的計算工具和數(shù)學(xué)方法，也是學(xué)習(xí)近代數(shù)學(xué)所必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。
2 、高等數(shù)學(xué)的教學(xué)特點(diǎn)
對于大學(xué)課程，特別是作為基礎(chǔ)理論課的高等數(shù)學(xué)，課堂教學(xué)是重要環(huán)節(jié)。高等數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)相比，有下述三個顯著的差別。
（ 1 ）課堂大
高等數(shù)學(xué)課堂是一、二百人的大課堂，在這種大課堂上不可能經(jīng)常讓同學(xué)們提問題。同學(xué)們在學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上、水平上、理解接受能力上肯定存在差異，但是教師授課的基點(diǎn)只能是照顧大多數(shù)，不可能給跟不上、聽不全懂的少數(shù)同學(xué)細(xì)講、重復(fù)講。
（ 2 ）時間長
每次授課兩節(jié)，共 100 分鐘。
（ 3 ）進(jìn)度快
高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容極為豐富，而學(xué)時又相對很少（同中學(xué)數(shù)學(xué)課相比），平均每次課要講授教材內(nèi)容一至兩節(jié)（甚至更多）。另外，大學(xué)與中學(xué)的教學(xué)要求有很大的不同，教師講課主要講重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)，講分析問題的方法，講解題的思路，而例題要比中學(xué)少得多，不象中學(xué)上數(shù)學(xué)課那樣，對一個重要的定理，教師要仔細(xì)講、反復(fù)講，講完之后又舉大量典型的例子。
3 、注意抓好學(xué)習(xí)的六個環(huán)節(jié)
高等數(shù)學(xué)這門課是同學(xué)們進(jìn)入大學(xué)后遇到的第一門課，也是一門最重要的基礎(chǔ)課。由于在教學(xué)方法上、在對學(xué)生能力的培養(yǎng)目標(biāo)上與中學(xué)時有很大的不同，因此，同學(xué)們在一開始會感到很不適應(yīng)。為了盡快適應(yīng)這種環(huán)境，要注意抓好下述六個學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。
（ 1 ）預(yù)習(xí)
為了提高聽課效果，每次上課前應(yīng)對教師要講的內(nèi)容進(jìn)行預(yù)習(xí)。預(yù)習(xí)的重點(diǎn)是 閱讀 一下要講的定義、定理和主要公式。預(yù)習(xí)的主要目的是：第一，使聽課時心里有個底，不至于被動地跟著教師的 “ 腳后跟 ” 跑；第二，知道哪些地方是重點(diǎn)和自己的難點(diǎn)疑點(diǎn)，從而在聽課時能提高效率；第三，可以彌補(bǔ)由于基礎(chǔ)、理解力上的差異所造成的聽課困難。形象地說，預(yù)習(xí)就象要到某個名勝游覽之前，先買個旅游圖及其說明來看一看，以便在旅游時更主動，收獲更大。
（ 2 ）聽課
聽課是在大學(xué)中獲取知識的主要環(huán)節(jié)。因此，應(yīng)帶著充沛的精力、帶著獲取新知識的濃厚興趣、帶著預(yù)習(xí)中的疑點(diǎn)和難點(diǎn)，專心致志地聆聽教師如何提出問題、分析問題和解決問題，并且積極主動地思考。
在聽課時常會遇到某些問題沒聽懂情況，這時千萬不要在這些問題上持續(xù)徘徊而影響繼續(xù)聽課，應(yīng)承認(rèn)它并在教材上或筆記上相應(yīng)處作上記號，繼續(xù)跟上教師的講授。遺留的問題、疑點(diǎn)待課后復(fù)習(xí)時再思考、鉆研，或找同學(xué)討論，或找教師答疑，或看參考書。
（ 3 ）記筆記
教師講課并非 “ 照本宣科 ” 。教師主要講重點(diǎn)、講難點(diǎn)、講疑點(diǎn)、講思路、講方法，還會提出一些應(yīng)注意的問題、補(bǔ)充一些教材上沒有的內(nèi)容和例子。因此，記好課堂筆記是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的一個重要的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。但是要注意的是，課堂學(xué)習(xí)的中心任務(wù)是聽、看、想，記筆記的目的是便于課后復(fù)習(xí)，便于消化課上所講的內(nèi)容。因此，記筆記不應(yīng)占用過多的課堂時間。筆記不必工整，不必全面，不必連貫，但應(yīng)預(yù)留較多的空白以便課后補(bǔ)充、寫心得、記疑問。
（ 4 ）復(fù)習(xí)
學(xué)習(xí)包括 “ 學(xué) ” 與 “ 習(xí) ” 兩個方面。 “ 學(xué) ” 是為了獲取知識， “ 習(xí) ” 是為了消化、掌握、鞏固知識。每次課后的當(dāng)天都應(yīng)結(jié)合課堂筆記和教材及時復(fù)習(xí)課上所講的內(nèi)容。但是，在翻開教材與筆記之前，應(yīng)先回顧一下課上所講的主要內(nèi)容。另外，應(yīng)該經(jīng)常地、反復(fù)地復(fù)習(xí)前面所講過的內(nèi)容，這樣一方面是為了避免邊學(xué)邊忘，另一方面可以加深對以前所學(xué)內(nèi)容的理解，使知識水平上升到更高的層次。
（ 5 ）做作業(yè)
要把高等數(shù)學(xué)學(xué)到手，及時、認(rèn)真地完成作業(yè)是一個必不可少的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)。每次的作業(yè)最好在當(dāng)天完成，但是應(yīng)該在復(fù)習(xí)完當(dāng)天的內(nèi)容之后進(jìn)行。做作業(yè)不僅是檢驗學(xué)習(xí)效果的手段，同時也是培養(yǎng)、提高綜合分析問題的能力、筆頭表達(dá)的能力以及計算能力的重要手段。
特別強(qiáng)調(diào)，認(rèn)真完成作業(yè)是培養(yǎng)同學(xué)們嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的一個環(huán)節(jié)。因此，要求作業(yè) “ 字跡工整、繪圖準(zhǔn)確、條理清楚、論據(jù)充分 ” 。切忌抄襲，盡量不先看書后的答案。
（ 6 ）答疑
答疑是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要的環(huán)節(jié)。遇到疑問時應(yīng)該及時地與同學(xué)討論，或者及時地向教師請教，切不可將問題放置一旁不理。打個比喻，如果把大學(xué)各個課程比做一各個建筑物群，那么，高等數(shù)學(xué)就是這些建筑物中的那座需要最先建造的、最高的建筑物，而且它不是 “ 建筑群 ” 。如果在建造的過程中質(zhì)量不好，那么這座建筑物是無法建成的，后面的建筑物也難以建好。
除了要重視上述學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)之外，還有一點(diǎn)應(yīng)該大力提倡，那就是互助合作、共同研討、共同提高。團(tuán)隊精神對于學(xué)好高等數(shù)學(xué)同樣重要。
