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一、隨機(jī)現(xiàn)象

在自然界和人類社會(huì)中存在著兩類現(xiàn)象．

第一類，在一定條件下某種現(xiàn)象必定發(fā)生或必定不會(huì)發(fā)生，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象． 例如:自由落體在經(jīng)過t秒鐘后，落下的距離s必定是；在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水到60沸騰．第一種是必然會(huì)發(fā)生的，稱為必然事件，記作Ω． 第二種是必然不會(huì)發(fā)生的，稱為不可能事件，記作φ．

另一類，在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生也可能不發(fā)生，稱這類現(xiàn)象為隨機(jī)現(xiàn)象． 例如：杭州明年正月初一下雪；播種1000顆種子，有850顆發(fā)芽；發(fā)射一枚炮彈，彈著點(diǎn)與目標(biāo)之間的距離為15米．

對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象，在基本相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)或觀察，可能出現(xiàn)各種不同的結(jié)果；試驗(yàn)共有哪些結(jié)果事前是知道的，但每次試驗(yàn)出現(xiàn)哪一種結(jié)果卻是無法預(yù)見的，這種試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)（random experiment)． 每次試驗(yàn)不能預(yù)測(cè)其結(jié)果，這反映隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有偶然性；但如果進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，所出現(xiàn)結(jié)果又具有某種規(guī)律性­——統(tǒng)計(jì)規(guī)律性． 例如各次發(fā)射炮彈，彈著點(diǎn)與目標(biāo)之間的距離可能各不相同，但如果射手技術(shù)較好，多次發(fā)射中距離近的必定是多數(shù)． 概率論就是研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支． 由于隨機(jī)現(xiàn)象的廣泛性，決定了這門學(xué)科的重要性． 即使在一定條件下某類現(xiàn)象可以視為確定性的，但在作更為深入的考察時(shí)，又應(yīng)看作是隨機(jī)的了． 例如對(duì)上面提到的自由落體運(yùn)動(dòng)，當(dāng)我們考慮空氣阻力、空氣流動(dòng)等因素時(shí)，物體下落的距離就不一定恰好是了．

隨機(jī)試驗(yàn)的某一可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件(random event)，簡(jiǎn)稱事件． 一次試驗(yàn)中，某事件A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，發(fā)生的可能性有大有?。?/span> 這一可能性大小的數(shù)量指標(biāo)就是我們所要研究的事件的概率．

二、概率的統(tǒng)計(jì)定義

在相同條件下重復(fù)作N次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)互不影響． 考察事件A出現(xiàn)的次數(shù)(頻數(shù)) n，稱

為A在N次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率(frequency)． 頻率一般與試驗(yàn)次數(shù)N有關(guān)；并且在N固定時(shí), 作若干組N次試驗(yàn)，各組頻率一般也不相同． 但當(dāng)N很大時(shí)，頻率卻呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性，即在某常數(shù)附近擺動(dòng)；且當(dāng)N無限增大時(shí)，一般說來，頻率會(huì)“趨向”這個(gè)常數(shù)． 這種規(guī)律稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律． 很自然，把頻率所穩(wěn)定到的那個(gè)常數(shù)表示事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大小，稱作概率(probability), 記為P(A)． 概率的這種定義稱為統(tǒng)計(jì)定義．

例1  擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面． 記A={出現(xiàn)正面}，當(dāng)硬幣均勻時(shí)，在大量試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的頻率應(yīng)接近50%． 歷史上有不少數(shù)學(xué)家作過試驗(yàn)，結(jié)果如右表．

自然地，我們認(rèn)為對(duì)均勻硬幣來說，P(A)=1/2．

例2  英文字母使用頻率的研究，對(duì)于信息的編碼、密碼的破譯等是十分有用的． 大量統(tǒng)計(jì)表明，字母E的使用頻率最高，約為0．105；其次為字母T、O；字母J、Q與Z的使用頻率最低，僅為0．001． 據(jù)此可以認(rèn)為，在英語(yǔ)中，字母E出現(xiàn)的概率最高，約為0．105．

日常生活與生產(chǎn)實(shí)踐中，諸如一批種子的“發(fā)芽率”，某人射擊的“命中率”，某產(chǎn)品的“次品率”等等，都是用頻率來近似概率的例子．

這里我們并沒有給出“頻率穩(wěn)定性”的確切含義． 在第四章里，通過對(duì)概率論中著名的“大數(shù)定律”的討論我們將會(huì)對(duì)上述含義有較深入的理解．

雖然我們并不能由概率的統(tǒng)計(jì)定義確切地定出一個(gè)事件的概率，但是它提供了一種估計(jì)概率的方法． 頻率與概率的關(guān)系就像物體長(zhǎng)度的測(cè)量值與該長(zhǎng)度之間的關(guān)系：物體的長(zhǎng)度是客觀存在的，是該物體的固有屬性，測(cè)量值是它的某種程度的近似值． 同樣，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小——概率是隨機(jī)事件的客觀屬性，多次隨機(jī)試驗(yàn)所得的頻率則是它的某種程度的近似．

必須注意，應(yīng)用概率的統(tǒng)計(jì)定義時(shí)，各次試驗(yàn)是在基本相同的條件下獨(dú)立進(jìn)行的，而且次數(shù)要足夠的多．

從頻率的統(tǒng)計(jì)定義立即可以看出，頻率具有下述三個(gè)性質(zhì)：

1． 非負(fù)性：;

2． 規(guī)范性：對(duì)必然事件Ω，=1;

3． 可加性：若A與B是兩個(gè)不會(huì)同時(shí)發(fā)生的事件，以A+B表示A或

B至少出現(xiàn)其一這個(gè)事件，則=+．

   性質(zhì)3可以推廣到任意有限個(gè)事件．